北师大版九年级下册第3章全圆全章讲学稿
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册第3章全圆全章讲学稿 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 698.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-03-03 22:49:17 | ||
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文档简介
第三章 圆
第1节 车轮为什么做成圆形
本节内容：
圆的定义（重点） 点和圆的位置关系（难点）
圆的定义（重点）
圆的定义有以下两种：
（1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个O旋转一周，另一个P所经过的封闭曲线叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
①这是圆的描述性定义，由定义也可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；
②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”。
（2）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点叫做圆心，定长叫做半径。
这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）；
②到顶点距离等于定长的点都在圆上。
■例1
以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）。
A．1个 B.2个 C.3个 D.无数个
点和圆的位置关系（难点）
点和圆的位置关系有：点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定的。如果圆半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么：
点在圆外d>r ；
点在圆上d=r ；
点在圆内d注意：
上述结论中，符号“”读作“等价于”，“AB”具有两方面含义：一方便表示AB，由田间A推出结论B的因果关系；另一方面表示BA，由条件B推出结论A的因果关系。
上述结论在运用时，“向右推出”是由点与圆的位置关系，确定d与r的大小关系；“向左推出”是由已知d与r的数量关系判定点与圆的位置关系。
■例2
已知⊙O的半径为10厘米，根据下列点P到圆心的距离，判定点P与圆的位置关系，并说明理由。
（1）8厘米 （2）10厘米 （3）12厘米
解：r=_______厘米。
（1）当d=8厘米时，∵____________，∴点P在___________。
（2）当d=10厘米时，∵____________，∴点P在___________。
（3）当d=12厘米时，∵____________，∴点P在___________。
典型例题：
例3 利用圆的定义证明多点共圆问题
菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，那么E、F、G、H是否在同一个圆上？
例4 确定点与圆的位置关系
在ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM是AB边上的中线，一点C为圆心，cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有___________，在圆上的有___________，在圆内的有__________.
应用点与圆的位置关系作图
设AB=4cm，作图说明满足下列要求的图形。
到点A的距离等于3cm的所有点组成的图形，到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形；
到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形；
到点A的距离小于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形；
到点A的距离大于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形。
例6 点与圆位置关系在生活中的应用
一片草地上有两点A、B，AB=6米，在点A处拴了一头牛，拴牛绳长5米，在点B处拴了一只羊，拴羊绳长3米，请华出牛和羊都可以吃到草的区域。
本节作业：
1、海军部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A 2 km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应该哪条射线方向航行？请给予证明。
2、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是________________。
3、（1）以已知点O为圆心，已知线段r为半径作圆，可以作______个；
（2）圆心都为O的甲、乙两圆，半径分别为和，且已知⊙O的半径为r，设点P是圆外的任一点，它到圆心O的距离为d，则d的取值范围为（ ）。
A．d>r B. d≥r C. d在RtABC中，∠C=90°，AC=2cm，BC=4cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C_________，点B在⊙C_________；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O_________。
矩形的四个顶点能否在同一个圆上，若在同一个圆上，请你指出来并加以证明。
第2节 圆的对称性
本节内容：
圆的旋转不变性 与圆有关的概念 垂径定理及其推论（重点） 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系
1、圆的旋转不变性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（通过折叠可发现此性质）。
圆是中心对称图形，对称中心是圆心（利用旋转的方法可以得到此性质）。
圆具有旋转不变性。一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能于原来的图形重合。由此可见，圆的中心对称是选抓那边线性的特例。
注意：
（1）圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；
（2）圆的对称轴有无数条。
■例1
世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，如图是来自现实生活中的圆。他们看上去多么美丽、和谐，这正是因为圆具有轴对称性和中心对称性。
请问以下三个图形中是轴对称图形的有____________，是中心对称图形的有____________（分别用上面三个图形的代号填空）。
请你在下图所示的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案（草图）。（用尺规画或徒手均可，但要尽可能准确些、美观些）
是轴对称图形，但不是中心对称图形；
既是轴对称图形，又是中心对称图形。
2、与圆有关的概念
（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的2倍。
注意：
直径是弦，但弦不一定是直径。
（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A、B为短点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
圆的任意一条直径的两个短点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
（3）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
同心圆的圆心相同，等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。
注意：
1）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两个圆。
2）等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的弧，不一定是等弧。
（4）顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
注意：
在圆中一条弦所对的弧有两条。
■例２1
下列语句中不正确的有（ ）。
①直径是弦； ②弧是半圆；
③经过圆内一定点可以作无数条弦； ④长度相等的弧是等弧。
A．①③④ B. ②③ C. ②④ D. ①④
3、垂径定理及其推论（重点）
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：
（1）定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；
（2）该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，
则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧。
推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
注意：
（1）对于一个圆和一条直线来说，如果要以①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧这五个条件中任何两个作为题设，那么其他三个就是结论。
（2）在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构建直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：。根据此公式，在a、r、d三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量。
■例3
如果⊙O的直径为10cm，弦AB=6cm，求圆心O到弦AB的距离。
4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系
在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条陷或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则不成立；
（2）结合图形深刻理解定理中“所对应”这一词的含义。
■例4
如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB与CD相交于点P，你认为PA与PD有什么大小关系？为什么？
本节作业：
在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则⊙O的半径为________cm。
在直径为650mm的圆柱形油槽中装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
3、⊙O的半径为5cm弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，你能求出AB和CD间的距离吗？
第3节 圆周角和圆心角的关系
本节内容：
圆周角的定义 圆周角定理（重点） 圆周角定理的推论（难点）
1、圆周角的定义
如图，顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角，叫做圆周角。如∠ABC，∠ADC都是圆周角，而∠AEC与∠BED均不是圆周角，因为它们的顶点E不在圆上。
注意：
圆周角要具备两个特征：①角的顶点在圆上；
②角的两边都与圆相交（相交指的是角两边与圆除了顶点外还有公共点）
■例1
判断图中的角是不是圆周角：
2、圆周角定理（重点）
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
注意：
（1）不能把定理中“同一条弧所对的”去掉，而简单说成“圆周角等于圆周角的一半”；
（2）本定理证明与前面的定理证明不同，它是分情况进行的。
对于各类所要证明的命题，应不应该分情况证明，主要看各类情况的证明方法是否相同。如果相同，则不需要分情况证明，如果不同，则必须分情况证明，而且情况要分正确，不能重复或遗漏。
本定理的证明，可以通过画图观察，以圆上任意一点为顶点的园周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况：
①圆心在角的一边上；
②圆心在角的内部；
③圆心在角的外部。因此本定理的证明要分为三种情况。
（3）由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
■例2
如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数。
3、圆周角定理的推论（难点）
推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：
（1）若将“同弧或等弧”改为同弦或等弦“结论不成立，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况下不相等。
（2）推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——指教；如果需要指教或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的方法。
■例3
如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=70°，求∠ABC的度数。
本节作业：
已知直线AB交⊙O于A、B两点，点M在圆上，点P在圆外，且点M、P在AB的同侧，∠AMB=50°，
设∠APB=x，当点P移动时，求x的变化范围，并说明理由。
2、点A、B、C在半径为2cm的⊙O上，若BC=2cm，求∠A的度数。
如图，⊙O的弦AB=16，点C在⊙O上且sin∠C=，求⊙O的半径的长。
如图，A、B、C三点都在⊙O上AE是ABC的直径，AD是ABC的高，⊙O的半径R=4cm，AD=6cm，试说明AB·ＡＣ的值是一个常数。
第4节 确定圆的条件
本节内容：
确定圆的条件（难点） 外接圆、外心的定义
确定圆的条件（难点）
由圆的定义可知，圆有两个原色：圆心&半径。
作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。
过一定点A作圆
所求作的圆的圆心和半径都没有限制条件，因此只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆，有无数多个。
过两个定点A、B作圆。
如果要作经过A、B两个点的圆，那么就必须以与点A、B距离相等的点为圆心，因此，以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点（圆心）与点A（或点B）的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个。
（3）经过不在同一直线上的三个已知点作圆。
因为所求的圆要经过A、B、C三点，所以圆心到这三点的距离相等。因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上。显然，这两条垂直平分线的交点到这三点的距离相等。
■例1
汶川大地震过后，社会各界踊跃捐款，汶川县某镇接到一笔“希望工程”捐款，决定在三个村庄之间建一所小学，使三个村庄的学生到学校距离相等，三个村庄A、B、C的位置如图，试确定学校的位置。
外接圆、外心的定义
外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三侥幸的外接圆。
外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
注意：
（1）三角形三个顶点不在同一直线上，因此任意一个三角形都有外接圆，且其圆心是此三角形垂直平分线的交点。
（2）“接”是说明三角形的顶点与圆的关系，圆经过三角形的各顶点（或三角形的各顶点都在圆上)。而“内”、“外”是相对位置关系，是以一个图形为准，说明另一个图形在它的里面或外面。如“三角形的外接圆”是以三角形为准，说明圆在它的外面。
（3）锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部，无论哪种三角形，它们的外心都是三角形任意两边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等。只要三角形确定，那么它的外心与外接圆的半径就确定了。
■例2
等边三角形的边长为a，求这个三角形外接圆的面积。
本节作业：
1、如图，已知三角形ABC，AC=10，BC=8，AB=6，求三角形ABC外接圆的半径R。
本节作业：
1、现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
2、已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆
3、下列命题不正确的是
A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆
4、三角形的外心具有的性质是
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
判断：
1、经过三点一定可以作圆。（ ）
2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。（ ）
3、三角形的外心到三边的距离相等。（ ）
4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。（ ）
第5节 直线和圆的位置关系
本节内容：
直线和圆的位置关系（重点） 切线的性质与判定（难点） 内切圆和内心
1、直线和圆的位置关系（重点）
直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交。
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离；
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；这时直线叫做呀的切线，唯一公共点叫做切点；
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点。
■例1
在ΔABC中， ∠C为直角，AC=6 cm,BC=8cm,以C为圆心，4 cm长为半径的圆与斜边AB的位置关系
为（ ）
A、相切 B、相交且交点在BC的延长线上
C、相离 D、相交且交点在BC边上
2、切线的性质与判定（难点）
1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
2、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线除定理外共有两种判定方法：
1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
■例2
AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线。
内切圆和内心
内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内心：内切圆的圆心是三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心。
■例3
如图， ⊙O是RtΔABC的内切圆，且AC=5cm ，BC=12cm ，求⊙O的半径。
本节作业：
已知线段 a, b 求作：线段c，使c =ab.
2、已知：AB与⊙O切于A，OB交⊙O于C，AD ⊥BO于D。求证： ∠CAD= ∠CAB。
3、如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AD ⊥CD于D，延长AD交BC的延长线于E，求证：AB=AE。
4、已知AC、AB是⊙O的弦。AB>AC。
（1）如图①，能否在AB上确定一点E，使AC =AE AB，为什么？
（2）如图②，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系？
（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？
图1 图2
5、AB是⊙O的直径， ⊙O过AC的中点D，DE ⊥BC，垂足为E。
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）
（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。
第6节 圆和圆的位置关系
本节内容：
圆与圆的位置关系（重点） 两圆相切与相交的性质
1、圆与圆的位置关系（重点）
在同一平面内，两个不等圆有五种位置关系，可总结如下：
总结：
(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．
(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一．
(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离 (外离和内含)、相交、相切(外切和内切)．
(4)如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．
■例1
圆O1和圆O2的半径分别为3厘米和4厘米，
设 :(1)O1O2＝8厘米； (2)O1O2＝7厘米；
(3)O1O2＝5厘米； (4)O1O2＝1厘米；
(5)O1O2＝0.5厘米； (6)O1和O2重合.
2、两圆相切与相交的性质
（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；
（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。
■例1
如图，圆O的半径为5厘米，点P是圆O外一点，OP =8厘米，求：
(1)以P为圆心作圆P与圆O外切，小圆P的半径是多少
(2)以P为圆心作圆P与圆O内切，大圆P的半径是 多少
本节作业：
6、
第7节 弧长及扇形的面积
本节内容：
弧长公式（重点） 扇形面积公式（难点）
1、弧长公式（重点）
所以，在半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长是：
在公式中、180 都常数，圆心角n，半径R，弧长是变量。
■例1
已知圆弧的度数为60°，弧长为6.28㎝ 。求圆的半径。（取3.14）
2、扇形面积公式（难点）
所以，在半径为R 的圆中，圆心角是n°的扇形面积S是
■例2
①已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，它的弧长为＿＿＿＿ .
②已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为＿＿.
③已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，扇形的面积为＿＿ .
④一个弧长与面积都是 π的扇形，它的半径为＿＿＿＿＿ .
本节作业：
若正三角形的边长为6，则它的内切圆的周长为＿＿＿＿＿＿.△ABC的外接圆半径为2，∠BAC＝60°，则弧BC的长为＿＿＿＿＿.
△ABC的外接圆半径为2，∠BAC＝60°，则弧BC的长为＿＿＿＿＿.
若正六边形的边长为3，分别以A、B、D、E、F为圆心，1为半径的圆，求形成的阴影部分的面积之和.
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线.C为切点，设AB的长为d，圆环面积为S，则S与d之间有怎样的数关系？
如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心 为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2弧O2O3弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.
第8节 圆锥的侧面积
本节内容：
圆锥的侧面积（重点） 圆锥的全面积计算公式
1、圆锥的侧面积（重点
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆，侧面是一个曲面。
把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。
连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。
圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系:
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积.
2、圆锥的全面积计算公式
圆锥的全面积=侧面积+底面积.
■例1
一个圆锥形零件的母线长为10，底面的半径为4，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
本节作业：
4、已知: 圆锥的母线长AB=6cm, 底面半径OB=2cm.
求: (1)圆锥的高;
(2)锥角∠CAB.
5、
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第1节 车轮为什么做成圆形
本节内容：
圆的定义（重点） 点和圆的位置关系（难点）
圆的定义（重点）
圆的定义有以下两种：
（1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个O旋转一周，另一个P所经过的封闭曲线叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
①这是圆的描述性定义，由定义也可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；
②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”。
（2）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点叫做圆心，定长叫做半径。
这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）；
②到顶点距离等于定长的点都在圆上。
■例1
以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）。
A．1个 B.2个 C.3个 D.无数个
点和圆的位置关系（难点）
点和圆的位置关系有：点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定的。如果圆半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么：
点在圆外d>r ；
点在圆上d=r ；
点在圆内d
上述结论中，符号“”读作“等价于”，“AB”具有两方面含义：一方便表示AB，由田间A推出结论B的因果关系；另一方面表示BA，由条件B推出结论A的因果关系。
上述结论在运用时，“向右推出”是由点与圆的位置关系，确定d与r的大小关系；“向左推出”是由已知d与r的数量关系判定点与圆的位置关系。
■例2
已知⊙O的半径为10厘米，根据下列点P到圆心的距离，判定点P与圆的位置关系，并说明理由。
（1）8厘米 （2）10厘米 （3）12厘米
解：r=_______厘米。
（1）当d=8厘米时，∵____________，∴点P在___________。
（2）当d=10厘米时，∵____________，∴点P在___________。
（3）当d=12厘米时，∵____________，∴点P在___________。
典型例题：
例3 利用圆的定义证明多点共圆问题
菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，那么E、F、G、H是否在同一个圆上？
例4 确定点与圆的位置关系
在ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM是AB边上的中线，一点C为圆心，cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有___________，在圆上的有___________，在圆内的有__________.
应用点与圆的位置关系作图
设AB=4cm，作图说明满足下列要求的图形。
到点A的距离等于3cm的所有点组成的图形，到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形；
到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形；
到点A的距离小于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形；
到点A的距离大于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形。
例6 点与圆位置关系在生活中的应用
一片草地上有两点A、B，AB=6米，在点A处拴了一头牛，拴牛绳长5米，在点B处拴了一只羊，拴羊绳长3米，请华出牛和羊都可以吃到草的区域。
本节作业：
1、海军部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A 2 km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应该哪条射线方向航行？请给予证明。
2、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是________________。
3、（1）以已知点O为圆心，已知线段r为半径作圆，可以作______个；
（2）圆心都为O的甲、乙两圆，半径分别为和，且
A．d>r B. d≥r C. d
矩形的四个顶点能否在同一个圆上，若在同一个圆上，请你指出来并加以证明。
第2节 圆的对称性
本节内容：
圆的旋转不变性 与圆有关的概念 垂径定理及其推论（重点） 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系
1、圆的旋转不变性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（通过折叠可发现此性质）。
圆是中心对称图形，对称中心是圆心（利用旋转的方法可以得到此性质）。
圆具有旋转不变性。一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能于原来的图形重合。由此可见，圆的中心对称是选抓那边线性的特例。
注意：
（1）圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；
（2）圆的对称轴有无数条。
■例1
世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，如图是来自现实生活中的圆。他们看上去多么美丽、和谐，这正是因为圆具有轴对称性和中心对称性。
请问以下三个图形中是轴对称图形的有____________，是中心对称图形的有____________（分别用上面三个图形的代号填空）。
请你在下图所示的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案（草图）。（用尺规画或徒手均可，但要尽可能准确些、美观些）
是轴对称图形，但不是中心对称图形；
既是轴对称图形，又是中心对称图形。
2、与圆有关的概念
（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的2倍。
注意：
直径是弦，但弦不一定是直径。
（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A、B为短点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
圆的任意一条直径的两个短点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
（3）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
同心圆的圆心相同，等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。
注意：
1）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两个圆。
2）等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的弧，不一定是等弧。
（4）顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
注意：
在圆中一条弦所对的弧有两条。
■例２1
下列语句中不正确的有（ ）。
①直径是弦； ②弧是半圆；
③经过圆内一定点可以作无数条弦； ④长度相等的弧是等弧。
A．①③④ B. ②③ C. ②④ D. ①④
3、垂径定理及其推论（重点）
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：
（1）定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；
（2）该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，
则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧。
推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
注意：
（1）对于一个圆和一条直线来说，如果要以①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧这五个条件中任何两个作为题设，那么其他三个就是结论。
（2）在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构建直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：。根据此公式，在a、r、d三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量。
■例3
如果⊙O的直径为10cm，弦AB=6cm，求圆心O到弦AB的距离。
4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系
在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条陷或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则不成立；
（2）结合图形深刻理解定理中“所对应”这一词的含义。
■例4
如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB与CD相交于点P，你认为PA与PD有什么大小关系？为什么？
本节作业：
在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则⊙O的半径为________cm。
在直径为650mm的圆柱形油槽中装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
3、⊙O的半径为5cm弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，你能求出AB和CD间的距离吗？
第3节 圆周角和圆心角的关系
本节内容：
圆周角的定义 圆周角定理（重点） 圆周角定理的推论（难点）
1、圆周角的定义
如图，顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角，叫做圆周角。如∠ABC，∠ADC都是圆周角，而∠AEC与∠BED均不是圆周角，因为它们的顶点E不在圆上。
注意：
圆周角要具备两个特征：①角的顶点在圆上；
②角的两边都与圆相交（相交指的是角两边与圆除了顶点外还有公共点）
■例1
判断图中的角是不是圆周角：
2、圆周角定理（重点）
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
注意：
（1）不能把定理中“同一条弧所对的”去掉，而简单说成“圆周角等于圆周角的一半”；
（2）本定理证明与前面的定理证明不同，它是分情况进行的。
对于各类所要证明的命题，应不应该分情况证明，主要看各类情况的证明方法是否相同。如果相同，则不需要分情况证明，如果不同，则必须分情况证明，而且情况要分正确，不能重复或遗漏。
本定理的证明，可以通过画图观察，以圆上任意一点为顶点的园周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况：
①圆心在角的一边上；
②圆心在角的内部；
③圆心在角的外部。因此本定理的证明要分为三种情况。
（3）由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
■例2
如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数。
3、圆周角定理的推论（难点）
推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：
（1）若将“同弧或等弧”改为同弦或等弦“结论不成立，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况下不相等。
（2）推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——指教；如果需要指教或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的方法。
■例3
如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=70°，求∠ABC的度数。
本节作业：
已知直线AB交⊙O于A、B两点，点M在圆上，点P在圆外，且点M、P在AB的同侧，∠AMB=50°，
设∠APB=x，当点P移动时，求x的变化范围，并说明理由。
2、点A、B、C在半径为2cm的⊙O上，若BC=2cm，求∠A的度数。
如图，⊙O的弦AB=16，点C在⊙O上且sin∠C=，求⊙O的半径的长。
如图，A、B、C三点都在⊙O上AE是ABC的直径，AD是ABC的高，⊙O的半径R=4cm，AD=6cm，试说明AB·ＡＣ的值是一个常数。
第4节 确定圆的条件
本节内容：
确定圆的条件（难点） 外接圆、外心的定义
确定圆的条件（难点）
由圆的定义可知，圆有两个原色：圆心&半径。
作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。
过一定点A作圆
所求作的圆的圆心和半径都没有限制条件，因此只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆，有无数多个。
过两个定点A、B作圆。
如果要作经过A、B两个点的圆，那么就必须以与点A、B距离相等的点为圆心，因此，以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点（圆心）与点A（或点B）的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个。
（3）经过不在同一直线上的三个已知点作圆。
因为所求的圆要经过A、B、C三点，所以圆心到这三点的距离相等。因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上。显然，这两条垂直平分线的交点到这三点的距离相等。
■例1
汶川大地震过后，社会各界踊跃捐款，汶川县某镇接到一笔“希望工程”捐款，决定在三个村庄之间建一所小学，使三个村庄的学生到学校距离相等，三个村庄A、B、C的位置如图，试确定学校的位置。
外接圆、外心的定义
外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三侥幸的外接圆。
外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
注意：
（1）三角形三个顶点不在同一直线上，因此任意一个三角形都有外接圆，且其圆心是此三角形垂直平分线的交点。
（2）“接”是说明三角形的顶点与圆的关系，圆经过三角形的各顶点（或三角形的各顶点都在圆上)。而“内”、“外”是相对位置关系，是以一个图形为准，说明另一个图形在它的里面或外面。如“三角形的外接圆”是以三角形为准，说明圆在它的外面。
（3）锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部，无论哪种三角形，它们的外心都是三角形任意两边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等。只要三角形确定，那么它的外心与外接圆的半径就确定了。
■例2
等边三角形的边长为a，求这个三角形外接圆的面积。
本节作业：
1、如图，已知三角形ABC，AC=10，BC=8，AB=6，求三角形ABC外接圆的半径R。
本节作业：
1、现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
2、已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆
3、下列命题不正确的是
A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆
4、三角形的外心具有的性质是
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
判断：
1、经过三点一定可以作圆。（ ）
2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。（ ）
3、三角形的外心到三边的距离相等。（ ）
4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。（ ）
第5节 直线和圆的位置关系
本节内容：
直线和圆的位置关系（重点） 切线的性质与判定（难点） 内切圆和内心
1、直线和圆的位置关系（重点）
直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交。
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离；
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；这时直线叫做呀的切线，唯一公共点叫做切点；
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点。
■例1
在ΔABC中， ∠C为直角，AC=6 cm,BC=8cm,以C为圆心，4 cm长为半径的圆与斜边AB的位置关系
为（ ）
A、相切 B、相交且交点在BC的延长线上
C、相离 D、相交且交点在BC边上
2、切线的性质与判定（难点）
1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
2、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线除定理外共有两种判定方法：
1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
■例2
AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线。
内切圆和内心
内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内心：内切圆的圆心是三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心。
■例3
如图， ⊙O是RtΔABC的内切圆，且AC=5cm ，BC=12cm ，求⊙O的半径。
本节作业：
已知线段 a, b 求作：线段c，使c =ab.
2、已知：AB与⊙O切于A，OB交⊙O于C，AD ⊥BO于D。求证： ∠CAD= ∠CAB。
3、如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AD ⊥CD于D，延长AD交BC的延长线于E，求证：AB=AE。
4、已知AC、AB是⊙O的弦。AB>AC。
（1）如图①，能否在AB上确定一点E，使AC =AE AB，为什么？
（2）如图②，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系？
（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？
图1 图2
5、AB是⊙O的直径， ⊙O过AC的中点D，DE ⊥BC，垂足为E。
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）
（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。
第6节 圆和圆的位置关系
本节内容：
圆与圆的位置关系（重点） 两圆相切与相交的性质
1、圆与圆的位置关系（重点）
在同一平面内，两个不等圆有五种位置关系，可总结如下：
总结：
(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．
(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一．
(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离 (外离和内含)、相交、相切(外切和内切)．
(4)如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．
■例1
圆O1和圆O2的半径分别为3厘米和4厘米，
设 :(1)O1O2＝8厘米； (2)O1O2＝7厘米；
(3)O1O2＝5厘米； (4)O1O2＝1厘米；
(5)O1O2＝0.5厘米； (6)O1和O2重合.
2、两圆相切与相交的性质
（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；
（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。
■例1
如图，圆O的半径为5厘米，点P是圆O外一点，OP =8厘米，求：
(1)以P为圆心作圆P与圆O外切，小圆P的半径是多少
(2)以P为圆心作圆P与圆O内切，大圆P的半径是 多少
本节作业：
6、
第7节 弧长及扇形的面积
本节内容：
弧长公式（重点） 扇形面积公式（难点）
1、弧长公式（重点）
所以，在半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长是：
在公式中、180 都常数，圆心角n，半径R，弧长是变量。
■例1
已知圆弧的度数为60°，弧长为6.28㎝ 。求圆的半径。（取3.14）
2、扇形面积公式（难点）
所以，在半径为R 的圆中，圆心角是n°的扇形面积S是
■例2
①已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，它的弧长为＿＿＿＿ .
②已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为＿＿.
③已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，扇形的面积为＿＿ .
④一个弧长与面积都是 π的扇形，它的半径为＿＿＿＿＿ .
本节作业：
若正三角形的边长为6，则它的内切圆的周长为＿＿＿＿＿＿.△ABC的外接圆半径为2，∠BAC＝60°，则弧BC的长为＿＿＿＿＿.
△ABC的外接圆半径为2，∠BAC＝60°，则弧BC的长为＿＿＿＿＿.
若正六边形的边长为3，分别以A、B、D、E、F为圆心，1为半径的圆，求形成的阴影部分的面积之和.
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线.C为切点，设AB的长为d，圆环面积为S，则S与d之间有怎样的数关系？
如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心 为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2弧O2O3弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.
第8节 圆锥的侧面积
本节内容：
圆锥的侧面积（重点） 圆锥的全面积计算公式
1、圆锥的侧面积（重点
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆，侧面是一个曲面。
把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。
连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。
圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系:
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积.
2、圆锥的全面积计算公式
圆锥的全面积=侧面积+底面积.
■例1
一个圆锥形零件的母线长为10，底面的半径为4，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
本节作业：
4、已知: 圆锥的母线长AB=6cm, 底面半径OB=2cm.
求: (1)圆锥的高;
(2)锥角∠CAB.
5、
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