1.1.3导数的几何意义-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2课件（27张PPT）

1.1.3
导数的几何意义
一.复习回顾:
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,
记作f'(x0)或y'|x=x。，
即
导数的概念
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,
Δy也必须选择与之相对应的形式.
求函数的改变量
2.
求平均变化率
3.
取极限，求导数
例2、设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,
Δy也必须选择与之相对应的形式.
B
例2、设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,
Δy也必须选择与之相对应的形式.
练习1、设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
练习2、设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和
二、导数的几何意义:
如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是曲线C上的任意一点，Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点，PQ为C的割线，PM//x轴，QM//y轴，β为PQ的倾斜角.
斜率!
复均变化率的几何意义
M
β
P
y=f(x)
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
导数的几何意义:
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P，即Δx→0时,割线PQ趋近于确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
观察当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
问题:
割线PQ的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?
割线PQ的斜率:
当点Q无限趋近于点P即Δx→0时,kn无限趋近于切线PT的斜率k.
因此,函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k.
这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
③若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数f'(x0)不存在，就是切线与y轴平行
f'(x0)>0，切线倾斜角为锐角，
f'(x0)<0，切线倾斜角为钝角，
f'(x0)=0，切线与x轴平行或重合.
例1、如图，已知曲线
上一点
，求:
(1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.
y
x
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
3
4
O
P
所以点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是
,即12x-3y-16=0.
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)
②利用点斜式求切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0).(若点不知,则先求出点的坐标)
练习、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
(1)求出函数在点x0处的瞬时变化率f'(x0)，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
1.求切线方程的步骤：
小结:
例2、如图,
它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象.
根据图象,
请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况.
解:可用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时,
曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴.故在t=t0附近曲线比较平坦,
几乎没有升降.
(2)当t=t1时,
曲线h(t)在t1处的切线
l1的斜率h'(t1)<0.故在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
t
o
h
l0
t0
t1
l1
t2
l2
t4
t3
(3)当t=t2时,
曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h'(t2)<0.故在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.
从图可以看出，直线
l1的倾斜程度小于直线
l2的倾斜程度，这说明
h(t)曲线在l1附近比在l2附近下降得缓慢
解:
血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数,
从图象上看,它表示曲线
f(t)在该点处的切线的斜率.
作t=0.8处的切线,
在切线上取两点(0.7,
0.91),
(1.0,
0.48)
仿此下去得到表格:
t
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度的瞬时变化率f'(t)
0.4
0
-0.7
-1.4
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
三、导函数的定义
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数.那么，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数.即:
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)等于
函数f(x)的导(函)数f'(x)在x0处的函数值
如何求函数y=f(x)的导数?
例5、设f(x)=x2，求f'(x)、f'(-1)、f'(2)
例6、在曲线y＝x2上过哪一点的切线，
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
[归纳]　解此类题的步骤为：
①先设切点坐标(x0，y0)；
②求导函数f′(x)；
③求切线的斜率f′(x0)；
④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
1、设f(x)为可导函数,且满足条件
,
求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.
故所求的斜率为-2.
课堂练习
2、求曲线y=x2-1过点(0,-2)的切线方程
练习
P10
A组第6题
已知函数的图象，
试画出其导函数图象的大致形状.
(1)
(2)
(3)
P11
B组第3题
(3)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)，就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值，即
。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。
课堂小结:
(2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数f'(x)。
(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”
之间的区别与联系。