1.3.2函数的极值与导数-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2课件（30张PPT）

1.3.2 函数的极值与导数
一、复习引入:
利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调性，其基本的步骤为:
①求函数的定义域;
②求函数的导数f'(x);
③解不等式f'(x)>0得f(x)的单调递增区间;
解不等式f'(x)<0得f(x)的单调递减区间.
t
h
a
o
h'(a)=0
单调递增
h'(t)>0
单调递减
h'(t)<0
观察高台跳水运动图象，函数在t=a处的导数是多少？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
对于一般函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢？
二、探究
如图，函数y=f(x)在a,b,d,e,f,g,h,i等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？
a
b
c
d
e
f
o
g
h
i
j
x
y
y=f(x)
y=f(x)
(1)
(2)
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)
函数极值的定义
(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)极大值与极小值统称为极值，x0叫做函数的极值点.
a
b
y=f(x)
4.极大值与极小值统称为极值.
3.极大值点,极小值点统称为极值点.
2、如果f'(b)=0，并且在b的左侧附近f'(x)>0，在b的右侧附近f'(x)<0，我们把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)是函数f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(b)
1、如果f'(a)=0，并且在a的左侧附近f'(x)<0，在a的右侧附近f'(x)>0，我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)是函数f(x)的一个极小值.记作: y极小值=f(a)
函数极值的定义
y
a
b
x1
x2
x3
x4
O
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值，并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
极大值不一定是最大值；极小值不一定是最小值。
问：函数的极大值、极小值是函数的最大值、最小值吗？
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大值未必大于极小值;
关于极值概念的几点说明
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。
(1)如果f'(x0)=0, 并且在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0, 那么f(x0)是极大值；
函数的极值与导数的关系
(2)如果f'(x0)=0, 并且在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0, 那么f(x0)是极小值；
(3)如果f'(x0)=0, 并且在x0两侧f'(x)的符号相同，则f(x0)不是极值.
三.例题选讲:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
y'
+
0
-
0
+
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值= ;
而,当x=2时有极小值,并且,y极小值= .
一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0、右侧f'(x)<0，那么f(x0)是极大值;
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0、右侧f'(x)>0，那么f(x0)是极小值.
解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时:
四、小结
(4)检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
(3)求方程f'(x)=0的根．
(2)求导数f'(x)
求可导函数f(x)的极值的步骤如下：
(1)确定函数的定义域
当x=0时，y有极小值，并且y极小值=0
无极大值
五、例题
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
y'
-
0
-
0
+
0
+
y
↘
无极值
↘
极小值0
↗
无极值
↗
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
对于可导函数而言，其极值点一定是导数为0的点，反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此：导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.
探究:
f?(x0) =0 x0是可导函数f(x)的极值点
x
(-∞,-a)
-a
(-a,0)
(0,a)
a
(a,+∞)
f'(x)
+
0
-
-
0
+
f(x)
↗
极大值-2a
↘
↘
极小值2a
↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
y'
-
0
+
0
-
y
↘
极小值-3
↗
极大值3
↘
因此,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3;
而,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3.
解：(1)因为f(x)=x3-3x2-9x+5，∴f′(x)=3x2-6x-9.
由f′(x)=0，得x1=-1，x2=3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞，-1)
-1
(-1,3)
3
(3，+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增↗
10
单调递减↘
-22
单调递增↗
因此，当x=-1时函数取得极大值，且极大值为f(-1)=10;当x=3时函数取得极小值，且极小值为f(3)=-22
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增↗
单调递减↘
x
(-∞，-2/3)
-2/3
(-2/3，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
例4.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f'(x)的图像(如图)过点(1,0),(2,0), 求：
(1)x0的值；(2)a,b,c的值；
解：(1)由图像可知，在(-∞,1)上f'(x)>0，在(1,2)上f'(x)<0，在(2,+∞)上f'(x)>0，
故f(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上递增，在(1,2)上递减，因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1
注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
x
y
O
1
2
四、课后练习
(2)由(1)知f'(x)=3x2-3x-3,∴g(x)=(3x2-3x-3)e-x，
从而有g′(x)=(-3x2+9x)e-x.
令g′(x)=0，得-3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3.
当x∈(-∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(-∞，0)上为减函数；
当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；
当x∈(3，+∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，+∞)上为减函数．
从而函数g(x)在x1=0处取得极小值g(0)=-3，在x2=3处取得极大值g(3)=15e-3.
，
解:由题设条件得：
解之得
通过验证，a=3,b=-3不符合要求，
（x=1时两边导数同号）故应选择C。
注意：f'(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
注意代入检验
C
4、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，且当x=-1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，试求函数的极小值，并求a、b、c的值
解析 :f(x)有极大值和极小值 f'(x)=0有2个不等实根,
5、已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，求a的范围
解得 a>6或a<-3
6、函数y=x3-3x2-9x(-2A、极大值5,极小值-27 B、极大值5,极小值-11
C、极大值5，无极小值 D、极小值-27，无极大值
7、f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是（ ）
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)