1.3.1函数的单调性与导数2-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2课件（18张PPT）

1.3.1函数的单调性与导数
1、用函数的导数判断函数单调性的法则：
①如果在区间(a,b)内，f'(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a,b)为f(x)的单调增区间；
②如果在区间(a,b)内，f'(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a,b)为f(x)的单调减区间；
一、复习回顾
2、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
①求定义域
②求f'(x)
③令f'(x)>0解不等式?f(x)的递增区间
f'(x)<0解不等式?f(x)的递减区间
④求单调区间
例1、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(A)
(B)
(C)
(D)
h
t
O
h
t
O
h
t
O
h
t
O
(B)
(A)
(D)
(C)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图，函数y=f(x)在(0,b)或(a,0)内的图象“陡峭”，
在(-∞,a)或(b,+∞)内的图象“平缓”.
3、导数与单调性的关系：
对于能否取到等号的问题需要单独验证
f'(x)>0?f(x)在区间(a,b)上是增函数；
f'(x)<0?f(x)在区间(a,b)上是减函数；
反之，
若f(x)在区间(a,b)上是增函数，则f'(x)≥0；
若f(x)在区间(a,b)上是减函数，则f'(x)≤0；
二、求参数的取值范围
例2、若函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞，+∞)上单调递增，求a的取值范围
练习、已知函数f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax，求函数f(x)的单调区间.
在某个区间上f'(x)>0(或<0)?f(x)单调递增(递减)；
但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f'(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调，因此在已知f(x)在这个区间上单调递增(递减)时；应令f'(x)≥0(或≤0)恒成立，解出参数的范围。
注：
本题用到一个重要的转化：(恒成立问题)
例4、证明不等式ex≥1＋x.(x ≥ 0)
提示：构造函数f(x)＝ex－1－x，利用导数证明函数f(x)＝ex－1－x是增函数，∴ex≥1＋x.
三、证明不等式
三、课堂练习
1、已知函数f(x)=2ax-x3，x∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围
x
y
o
B
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
2
(A)
(B)
(C)
(D)
C
4、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( )
5、设函数f(x)=xekx (k≠0)
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间.
6、已知函数f(x)=x3+ax2+x+1，
(1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在区间 内是减函数，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)=x3+2x2+x+1，f′(x)=3x2+4x+1，
令f′(x)＞0，解得：
令f′(x)＜0，解得：
1、已知函数 f(x)=ax?+3x?-x+1 在R上是减函数，求a的取值范围。
a≤-3
四、课外练习
2、已知函数 f(x)=ax-lnx，x∈(0,1]，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围。
[-1,+∞)