1.3.3函数的最值与导数-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2课件（29张PPT）

1.3.3 函数最大(小)值与导数
1、函数极值的定义
(1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近其它各点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一个极小值.点a叫做极小值点．
(2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附近其它各点的函数值都大，我们就说f(b)是函数的一个极大值，点b叫做极大值点．
一、复习回顾
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0，那么f(x0)是极小值．
一般地，当函数f(x)在点x0处及x0附近有定义，判断f(x0)是极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0，那么f(x0)是极大值．
注：极值点导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点．
2、函数极值与导数的关系
一、复习回顾
(3)如果在x0两侧f'(x)的符号相同，则f(x0)不是极值．
(1) 确定函数的定义域 (一般可省) ；
3、求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤：
(2) 求出导数 f'(x)；
(3) 令f'(x)=0，解方程；
(4) 列表：把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f'(x) 的符号，
判断f (x)的单调性从而确定极值点;
(5) 下结论，写出极值。
一、复习回顾
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。
在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.
二、新课——函数的最值
在区间上的函数的最大值是______，最小值是
_______。
x3
x2
a
b
x1
x
O
y
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.
可以发现图中__________是极小值，_________
是极大值。
1、问题探究
x
o
y
b
a
y=f(x)
o
y
x
y=f(x)
a
b
x1
x2
x4
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。
只要把所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值
2、探究新知
x3
观察[a，b]上的函数y=f(x)的图象，它们在[a，b]上有最大最小值吗？如果有，分别是什么？
3、拓展提高
我们知道，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间[a，b]换成开区间(a,b)是否一定有最值呢？
o
x
y
a
b
o
x
y
a
b
o
x
y
a
b
o
x
y
a
b
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值，在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.
函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。
a
b
a
b
解:因为y'=x2-4
当x变化时，y'，y的变化情况如下表:
令y'=0，解得x=2或x=-2(舍去)
又由于f(0)=4，f(3)=1
三、例题
函数在区间[0,3]上最大值为4,最小值为
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
y'
-
0
+
y
4
↘
极小值
↗
1
设函数f(x)在[a,b]上有定义,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值；
③结论.
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).
练习1、求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.
解:y'=4x3-4x=4x(x2-1)
令y'=0,解得x=-1,0,1.
当x变化时,y'，y的变化情况如下表:
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
y'
-
0
+
0
-
0
+
y
13
↘
4
↗
5
↘
4
↗
13
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间[-1,1]上的最值。
解：∵f(x)=x3-3x2+6x-2
∴f'(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3
因为f'(x)在[-1,1]内恒大于0,
所以 f(x)在[-1,1]上是增函数，
故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；
当x=1时，f(x)取得最大值2。
例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a
(1)求f(x)的单调减区间
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求该区间上的最小值
所以函数的单调减区间为(-∞,-1)，(3,+∞)
解:(1)f'(x)=-3x2+6x+9
令f'(x)<0，即-3x2+6x+9<0
解得x<-1或x>3
已知函数的最值求参数
所以函数的最大值为f(2)=22+a,最小值为f(-1)=-5+a
(2)f'(x)=-3x2+6x+9
令f'(x)=0，解得x=-1或x=3(舍去)
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,2)
2
f'(x)
-
0
+
f(x)
2+a
↘
极小值-5+a
↗
22+a
所以22+a=20，即a=-2
所以最小值为-5-2=-7
练习1、已知三次函数f(x)=ax?-6ax?+b.问是否存在实数a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由。
解：因为f(x)是三次函数，所以a≠0
因为f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)．
令f′(x)=0，得x=0或x=4(舍去)
若a>0，则f′(x)，f(x)随x变化情况如下表：
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
+
0
-
f(x)
-7a+b
↗
极大值b
↘
-16a+b
∴f(x)max=f(0)=b，∴b＝3.
又∵f(-1)=-7a+3，f(2)=-16a+3∴f(x)min=f(2)，即-16a+3=-29，∴a=2，
∴a=2，b=3.
若a<0，则f′(x)，f(x)随x变化情况如下表：
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
-
0
+
f(x)
-7a+b
↘
极小值b
↗
-16a+b
∴f(x)min=f(0)=b，∴b=-29.
又∵f(-1)=-7a-29，f(2)=-16a-29>f(-1)
∴f(x)max=f(2)，即-16a-29=3，∴a=-2，
∴a=-2，b=-29.
综上，a=2，b=3或a=-2，b=-29
练习2、已知函数f(x)=-x3+3x+a，x∈[-2,3]
(1)求f(x)的极值，最大值和最小值
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴总有交点
解：(1)f'(x)=-3x2+3
令f'(x)=0，解得x=-1或x=1
当x变化时，f'(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
(-2,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,3)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
-2+a
↗
极大值
2+a
↘
所以函数的极大值为2+a，极小值为-2+a
又因f(-2)=2+a，f(3)=-18+a
所以函数的最大值为2+a，最小值为-18+a
(2)由(1)可知，函数在区间[-2,3]上的最大值为2+a，最小值为-18+a，
曲线y=f(x)与x轴总有交点
与最值有关的恒成立问题
x
-1
1
(1,2)
2
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
↘
↗
7
1、函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f'(x)( )
A、等于0 B、大于0 C、小于0 D、以上都有可能
2、函数 ,在[-1,1]上的最小值为( )
A、0 B、-2 C、-1 D、
四、课外练习
A
A
3、已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为 ，则a等于( )
C
4、函数f(x)=ax2+4x-3在x∈[0,2]上有最大值f(2)，求实数a的取值范围.
5、已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)在[-2,2]上的最大值.
8、已知函数
(1)求函数f(x)在区间[1，e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值；
(2)求证：在区间(1，+∞)上，函数f(x)的图象在函数 的图象的下方．
9、设函数f(x)=ax3+bx+c(a>0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f′(x)的最小值为-12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0，∴c=0.
∵f′(x)=3ax2+b的最小值为-12，且a>0，
∴b=-12.
又直线x-6y-7=0的斜率为 ,
因此f′(1)=3a+b=-6，解得a=2，
故a=2，b=-12，c=0.
(2)由(1)知f(x)=2x3-12x，∴f'(x)=6x2-12
x
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
10、已知a≠0，且函数y=ax2+x+a有最大值0，则a= ( )
C
11、已知f(x)=ax3+bx2-2x+c,x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值。
1)求a,b,c的值
2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值