8.2
立体图形的直观图
画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件.本节课主要介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.而水平放置的平面图形的直观图画法，是画空间几何体直观图的基础.教学的重点是斜二测画法.教材给出了正六边形、长方体、圆柱直观图画法.教学可以适当延伸，讨论正三角形、六棱柱、组合体等的直观图画法.
课程目标
1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图．
2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．
数学学科素养
1.数学抽象：斜二测画法的理解；
2.数学运算：与直观图还原的有关计算；
3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.
重点：用斜二测画法画空间几何值的直观图；
难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
前面已经学习了常见地7种空间几何体，那么如何画出他们地直观图呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本107-111页，思考并完成以下问题
1．画平面图形的直观图的步骤是什么？
2．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
3．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，
两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半.
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
四、典例分析、举一反三
题型一
水平放置的平面图形直观图的画法
例1
用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
【答案】见解析.
【解析】（1）如图（1），在正六边形中，取所在直线为x轴，
的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图（2）中，画相应的
轴与轴，两轴相交于点，使.
（2）在图（2）中，以为中点，在x轴上取，在轴上取以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中点，画平行于轴，并且等于.
（3）连接，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图图（3）.
解题技巧（画水平放置的平面图形的直观图的注意事项）
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．
跟踪训练一
1.画边长为1
cm的正三角形的水平放置的直观图.
【答案】见解析
【解析】 (1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5
cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝
cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.
题型二
几何体的直观图画法
用斜二测画法画长、宽、高分别是3
cm、2
cm、1.5
cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
【答案】见解析
【解析】 (1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝3cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5
cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．
例3
已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长为3cm的圆柱的直观图.
【答案】见解析
【解析】(1)画轴.如图所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画下底面.在x轴上取A,B两点,使OA=OB=
1
cm.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.
(3)画上底面.在Oz上截取点O′,使OO′=3cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
(4)成图.连接AA′，BB′,整理得到圆柱的直观图.
解题技巧：
(画空间几何体的直观图的注意事项)
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
跟踪训练二
1．用斜二测画法画一个底面边长为4
cm，高为6
cm的正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．
【答案】见解析
【解析】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O，如图①所示．
(2)画底面：按x′轴、y′轴画边长为4
cm的正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它们都等于6
cm.
(4)成图：顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图②所示．
2.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3
cm,高为4
cm,圆锥的高为3
cm,画出此几何体的直观图.
【答案】见解析
【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3
cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3
cm.
(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图,如图2所示.
题型三
与直观图还原有关的计算问题
例4 如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1
cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是______
cm.
【答案】
8．
【解析】将直观图还原为原图形，如图所示，可知原图形为平行四边形，且AO⊥BO.又
OA＝O′A′＝1
cm，OB＝2O′B′＝2
cm，所以AB＝＝3
cm.
故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm)．
解题技巧（直观图还原注意事项）
由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点．
(1)直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍．
(2)S直观图＝S原图．
由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换．
跟踪训练三
1、已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为
( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
【答案】D.
【解析】选D 由于S△ABC＝a2，且＝，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
8
.
2
立体图形的直观图
用斜二测画法画平
面图形的步骤
例
1
例
2
例
3
例
4
用斜二测画法画空
间几何体形的步骤
)
七、作业
课本109、111页练习，111页习题8.2.
通过本节课感知，在引导学生进行技巧归纳时，教师不要着急告知学生.学生初始的回答可能不完善，甚至有错误的见解.教师应该对于正确的及时给与肯定和鼓励.通过教师的鼓励，能大幅度地调动其他学生的积极性.这样其他学生就能自主地给与修正补充.整节课地效果事半功倍.8.2
立体图形的直观图
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要平面图形、空间几何体的直观图的画法。
画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件。本节课主要是介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法。而水平放置的平面图形的直观图画法,是画空间几何体直观图的基础。教学的重点是斜投影画平面图形直观图的方法,即斜二测画法。教材给出了正六边形、长方体、圆柱、圆柱和圆锥组合体直观图的画法。教学时可以适当延伸,讨论正五边形、圆锥、圆台、球的直观图画法。
画空间几何体的直观图，了解空间几何体的直观图，有助于提高学生的空间想象能力，是学生学习点、直线、平面之间位置关系的基础。
课程目标
学科素养
A.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．
B．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
1.数学抽象：斜二测画法；
2.逻辑推理：斜二测画法的步骤；
3.数学运算：画出一些简单平面图形和立体图形的直观图；
4.直观想象：立体图形的直观图。
1.教学重点：斜二测画法的步骤；
2.教学难点：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
请你说出下面几何体分别是什么几何体？
这些图形就是空间几何体的直观图
二、探索新知
思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
【答案】平行四边形
1.斜二测画法。利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：
练习：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．
【答案】解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系；
②建立=45°的坐标系
③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半
例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。
解：（1）在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画相应的轴和轴，两轴相交于点，使
（2）以为中心，在轴上取，在轴上
取，以点为中心，画平行与轴，并且等于BC；再以为中心，画平行于轴，并且等于EF。
（3）连接
，并擦去辅助线轴和轴，便获正六边形ABCDEF水平放置的直观图
。
规则：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的轴和轴,两轴相交于,且使,它们确定的平面表示水平面；
（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
结论：画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。
练习：
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确。
(1)
相等的线段在直观图中仍然相等。
（
）
(2)
平行的线段在直观图中仍然平行。
（
）
(3)一个角的直观图仍然是一个角。
（
）
(4)
相等的角在直观图中仍然相等。
（
）
【答案】（1）×
（2）√
（3）
√
（4）
×
例2.已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。
解：画法：（1）画轴。画三轴交于点O，使。
画底面。在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm，在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm,过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,则平行四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图。
（3）画侧棱。在z轴正半轴上取线段，使，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段
（4）成图。顺次连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线），就可得到长方体的直观图。
例3.已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。
结论：圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。
例4.某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。
解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图。
通过复习上节所学，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过思考，让学生了解平面图形的的直观图，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过讲解步骤，让学生了解注意画平面图形的直观图，提高学生分析问题、概括能力。
通过练习，进一步熟悉平面图形直观图的画法，提高学生的解决问题的能力。
通过例题进一步巩固平面图形直观图的画法，提高学生画图的能力、直观想象能力。
通过总结规律，提高学生的概括能力。
通过练习，让学生进一步理解斜二测画法，提高学生解决问题的能力。
通过例题进一步巩固空间几何体直观图的画法，提高学生画图的能力、直观想象能力。
通过例题进一步巩固空间几何体直观图的画法，提高学生画图的能力、直观想象能力。
通过例题进一步巩固简单组合体的直观图的画法，提高学生画图的能力、直观想象能力。
三、达标检测
1.判断正误
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
(1)原来相交的仍相交.
( )
(2)原来垂直的仍垂直.
( )
(3)原来平行的仍平行.
( )
(4)原来共点的仍共点.
( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．利用斜二测画法画出边长为3
cm的正方形的直观图，正确的是( )
A B C D
【答案】C
【解析】正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C.
3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为
．
【答案】10
【解析】由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10.
4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
【解析】 (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
①
② ③
(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，
四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：
画轴取轴——取点——连线成图
口诀：横不变纵减半，平行性不变
2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：
画轴——画底面——画侧棱——连线成图
口诀：横竖不变纵减半，平行性不变
3.三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同表现形式
五、作业
习题8.2
2,6题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
本节课主要是介绍空间几何体的直观图画法,可以大胆放手让学生通过自主的学习进行归纳总结。教师在此主要起的是引导和点拨的作用。如在平面图形直观图的做法里面,给学生指出确定坐标系的关键性;引导学生发现其实是确定点位置的画法。在从平面图形的直观图过渡到空间几何体的直观图中,要引导学生的是进行对比学习,通过教师的设问进行点拨,如“平面图形直观图和空间几何体直观图的画法的联系与区别”。
