2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教案
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 95.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-27 09:55:12 | ||
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文档简介
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
【课题】：正弦函数、余弦函数的图象
方案二：
【教学时间】：1课时
【学情分析】：本节课之前已经学习过了正弦线、余弦线、诱导公式、以及正、余弦函数的一些性质。但这些知识往往是比较分散，没有形成系统。本节课利用正弦线画出了正弦曲线，再利用诱导公式画出余弦曲线，这为后面学习正弦函数和余弦函数的性质打下了坚实的基础。学生在学习诱导公式时，已经体会到了三角函数线的作用，本节课学生可以进一步加深对三角函数线的理解。在得到了正弦曲线和余弦曲线后，还可以通过它们的图象反向推导一些诱导公式，体会数学知识之间广泛而深刻的联系，形成知识网络。
【教学目标】：
（1）了解正弦曲线的画法及原理，理解余弦曲线与正弦曲线的联系；
（2）观察y=sinx，x［0，2］的图象，归纳出“五点法”，并推广到余弦函数以及复合函数的图象的画法；
（3）通过本节课的学习，感受数形结合、图象变换等数学思想方法的重要作用。
【教学重点】：五点法
【教学难点】：正余弦曲线间的联系；数形结合、图象变换的思想方法。
【教学突破点】：根据诱导公式确定正余弦曲线间的联系，并强调学生自主体会诱导公式（数）与图象变换（形）之间的联系。
【教法、学法设计】：讲授法，多媒体辅助教学；观察归纳法，小组讨论法。
【课前准备】：课件。
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一 复习引入 复习三角形函数线：
正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，
，有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
教师讲述：
遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性等。特别的，从前面所学的三角函数诱导公式中，我们已经看到，三角函数值具有“周而复始”的变化规律。下面我们首先来研究正弦函数和余弦函数的图象。 复习三角函数线的有关知识，为画正弦曲线做了必要的准备。
教师讲述本课研究的内容和目的，让学生明确本节课的学习任务和所学知识在整个知识体系中的作用。
二 新授课 学生阅读课本中有关简谐运动图象的内容。
教师利用课件边演示边讲述利用正弦线画比较精确的正弦函数图象的方法：
（1）如上图，将圆12等分，（每一等分都是），得到12个角（不妨称为角x）的终边；
（2）作出12个中每一个角的正弦线；
（3）将x轴从0到2这一段分成12等份；
（4）把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合；
（5）将平移后的正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，得到函数y=sinx，x［0，2］的图象。 建立单位圆中的三角函数线与三角函数图象之间的联系，引出利用正弦线作正弦函数图象的方法。
实际授课时，当完成前4步操作后，可利用几何画板课件增加等分分数，使得点越来越多，最终得到正弦曲线。这样学生可以更形象地看到正弦线的形成过程。另一方面，为了让学生经历手工操作的过程，教师也要演示如何用光滑的曲线连结13个点，特别是要讲清楚曲线的“走势”。这样学生画图时就不会画成各种奇怪的形状了。
教师提问：y=sinx的定义域为R，那么如何根据y=sinx，x［0，2］的图象得到y==sinx的图象呢？
学生代表回答，教师补充完整：由于终边相同的三角函数值相等，所以y=sinx，x［2k，2（k+1）］，kZ且k≠0的图象与y=sinx，x［0，2］的图象形状完全一致。因此我们只需将函数y=sinx，x［0，2］的图象向左（或右）平移（每次平移2个单位），就可以得到正弦函数y=sinx，xR的图象。
教师用电脑演示y=sinx，xR的图象：
教师引导学生利用正弦函数“周而复始”的变化规律作图。也可以引导学生利用诱导公式作图。
教师提问：由诱导公式我们可以知道，正弦函数与余弦函数存在着联系，那么如何根据诱导公式，以正弦函数为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象呢？
学生操作、小组讨论后得到结论：
由诱导公式可知y=cosx=sin（+x），因此函数y=cosx的图象可看作是由y=sinx的图象向左平移个单位而得到。
教师给出概念：正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。 让学生从函数解析式之间的关系得到函数图象之间的关系，体会数形结合的思想方法。
教师提问：上面的画正弦曲线的方法略显繁琐，在画图要求不高的情况下能否进一步简化作图方法呢？这就象画简笔画一样，要抓住其中的特征线、关键点。那么正弦曲线有哪些关键点呢？
学生观察后回答：
在函数y=sinx，x［0，2］的图象上，起关键作的点有以下五个：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（2，0）。
教师一边讲述，一边列表，描点，连线：
事实上，描出以上五点之后，函数y=sinx，x［0，2］的图象就基本确定了。因此，在精确度要求不高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图。这种方法称为“五点（画图）法”。 让学生从整体的角度观察图象，抓住其中的关键点，进而引出“五点法”。
实际授课时，教师也可以利用课件减少等分圆的分数，让学生体会为什么恰好选择五点（多了不必要，少了不行）。
教师提问：类似地，你能否用五点法画出函数的简图呢？
学生操作，教师用投影仪演示学生的作品可让学生到黑板上画图演示。 类比正弦函数，学会“五点法”作余弦函数的简图。
三 例题与练习 教师讲解例1：
画出下列函数的简图：
（1）y=1+sinx，x［0，2］；（2）y=－cosx，x［0，2］．
教师重点讲解：
从函数图象变换的角度来看，函数y=1+sinx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向上平移1个单位而得到；函数y=－cosx的图象可由函数y=cosx的图象沿x轴翻折而得到。
学生练习：课本P38页第2题。观察两个函数图象的关系，并思考为什么它们是这种关系。 一方面巩固“五点法”，另一方面继续让学生从图象变换的角度认识函数之间的关系。
四 课堂练习 说出下列函数图象之间的关系：
（1）、y=sinx，y=cosx； （2）、y=sinx，y=－sinx；
（3）、y=sinx，y=2+sinx。
解：（1）、函数y=cosx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向左平移个单位而得到；
（2）、函数y=－sinx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向沿着x轴翻折而得到；
（3）、函数y=2+sinx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向上平移2个单位而得到。 巩固所学内容，并在此基础上引导学生总结函数解析式变换与函数图象变换之间的关系。
五 小结 本节课我们学习了用单位圆中的正弦线正弦函数的图象，用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，从函数图象和函数解析式两个角度分析了一些函数图象之间的关系。函数性质的研究常常以图象直观为基础，因此先研究正弦函数和余弦函数的图象，下节课，我们就在此基础上再利用图象来研究它们的性质。这是非常典型的数形结合思想在数学问题研究中的应用。 简要总结本节课的主要内容，点明函数图象对函数性质研究的作用，为下节课的学习内容打下了伏笔。
【课题】：正弦函数、余弦函数的图象
方案二：
【教学时间】：1课时
【学情分析】：本节课之前已经学习过了正弦线、余弦线、诱导公式、以及正、余弦函数的一些性质。但这些知识往往是比较分散，没有形成系统。本节课利用正弦线画出了正弦曲线，再利用诱导公式画出余弦曲线，这为后面学习正弦函数和余弦函数的性质打下了坚实的基础。学生在学习诱导公式时，已经体会到了三角函数线的作用，本节课学生可以进一步加深对三角函数线的理解。在得到了正弦曲线和余弦曲线后，还可以通过它们的图象反向推导一些诱导公式，体会数学知识之间广泛而深刻的联系，形成知识网络。
【教学目标】：
（1）了解正弦曲线的画法及原理，理解余弦曲线与正弦曲线的联系；
（2）观察y=sinx，x［0，2］的图象，归纳出“五点法”，并推广到余弦函数以及复合函数的图象的画法；
（3）通过本节课的学习，感受数形结合、图象变换等数学思想方法的重要作用。
【教学重点】：五点法
【教学难点】：正余弦曲线间的联系；数形结合、图象变换的思想方法。
【教学突破点】：根据诱导公式确定正余弦曲线间的联系，并强调学生自主体会诱导公式（数）与图象变换（形）之间的联系。
【教法、学法设计】：讲授法，多媒体辅助教学；观察归纳法，小组讨论法。
【课前准备】：课件。
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一 复习引入 复习三角形函数线：
正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，
，有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
教师讲述：
遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性等。特别的，从前面所学的三角函数诱导公式中，我们已经看到，三角函数值具有“周而复始”的变化规律。下面我们首先来研究正弦函数和余弦函数的图象。 复习三角函数线的有关知识，为画正弦曲线做了必要的准备。
教师讲述本课研究的内容和目的，让学生明确本节课的学习任务和所学知识在整个知识体系中的作用。
二 新授课 学生阅读课本中有关简谐运动图象的内容。
教师利用课件边演示边讲述利用正弦线画比较精确的正弦函数图象的方法：
（1）如上图，将圆12等分，（每一等分都是），得到12个角（不妨称为角x）的终边；
（2）作出12个中每一个角的正弦线；
（3）将x轴从0到2这一段分成12等份；
（4）把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合；
（5）将平移后的正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，得到函数y=sinx，x［0，2］的图象。 建立单位圆中的三角函数线与三角函数图象之间的联系，引出利用正弦线作正弦函数图象的方法。
实际授课时，当完成前4步操作后，可利用几何画板课件增加等分分数，使得点越来越多，最终得到正弦曲线。这样学生可以更形象地看到正弦线的形成过程。另一方面，为了让学生经历手工操作的过程，教师也要演示如何用光滑的曲线连结13个点，特别是要讲清楚曲线的“走势”。这样学生画图时就不会画成各种奇怪的形状了。
教师提问：y=sinx的定义域为R，那么如何根据y=sinx，x［0，2］的图象得到y==sinx的图象呢？
学生代表回答，教师补充完整：由于终边相同的三角函数值相等，所以y=sinx，x［2k，2（k+1）］，kZ且k≠0的图象与y=sinx，x［0，2］的图象形状完全一致。因此我们只需将函数y=sinx，x［0，2］的图象向左（或右）平移（每次平移2个单位），就可以得到正弦函数y=sinx，xR的图象。
教师用电脑演示y=sinx，xR的图象：
教师引导学生利用正弦函数“周而复始”的变化规律作图。也可以引导学生利用诱导公式作图。
教师提问：由诱导公式我们可以知道，正弦函数与余弦函数存在着联系，那么如何根据诱导公式，以正弦函数为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象呢？
学生操作、小组讨论后得到结论：
由诱导公式可知y=cosx=sin（+x），因此函数y=cosx的图象可看作是由y=sinx的图象向左平移个单位而得到。
教师给出概念：正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。 让学生从函数解析式之间的关系得到函数图象之间的关系，体会数形结合的思想方法。
教师提问：上面的画正弦曲线的方法略显繁琐，在画图要求不高的情况下能否进一步简化作图方法呢？这就象画简笔画一样，要抓住其中的特征线、关键点。那么正弦曲线有哪些关键点呢？
学生观察后回答：
在函数y=sinx，x［0，2］的图象上，起关键作的点有以下五个：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（2，0）。
教师一边讲述，一边列表，描点，连线：
事实上，描出以上五点之后，函数y=sinx，x［0，2］的图象就基本确定了。因此，在精确度要求不高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图。这种方法称为“五点（画图）法”。 让学生从整体的角度观察图象，抓住其中的关键点，进而引出“五点法”。
实际授课时，教师也可以利用课件减少等分圆的分数，让学生体会为什么恰好选择五点（多了不必要，少了不行）。
教师提问：类似地，你能否用五点法画出函数的简图呢？
学生操作，教师用投影仪演示学生的作品可让学生到黑板上画图演示。 类比正弦函数，学会“五点法”作余弦函数的简图。
三 例题与练习 教师讲解例1：
画出下列函数的简图：
（1）y=1+sinx，x［0，2］；（2）y=－cosx，x［0，2］．
教师重点讲解：
从函数图象变换的角度来看，函数y=1+sinx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向上平移1个单位而得到；函数y=－cosx的图象可由函数y=cosx的图象沿x轴翻折而得到。
学生练习：课本P38页第2题。观察两个函数图象的关系，并思考为什么它们是这种关系。 一方面巩固“五点法”，另一方面继续让学生从图象变换的角度认识函数之间的关系。
四 课堂练习 说出下列函数图象之间的关系：
（1）、y=sinx，y=cosx； （2）、y=sinx，y=－sinx；
（3）、y=sinx，y=2+sinx。
解：（1）、函数y=cosx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向左平移个单位而得到；
（2）、函数y=－sinx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向沿着x轴翻折而得到；
（3）、函数y=2+sinx的图象可看作是由函数y=sinx的图象向上平移2个单位而得到。 巩固所学内容，并在此基础上引导学生总结函数解析式变换与函数图象变换之间的关系。
五 小结 本节课我们学习了用单位圆中的正弦线正弦函数的图象，用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，从函数图象和函数解析式两个角度分析了一些函数图象之间的关系。函数性质的研究常常以图象直观为基础，因此先研究正弦函数和余弦函数的图象，下节课，我们就在此基础上再利用图象来研究它们的性质。这是非常典型的数形结合思想在数学问题研究中的应用。 简要总结本节课的主要内容，点明函数图象对函数性质研究的作用，为下节课的学习内容打下了伏笔。