8.3.2
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课是第2课时，本节课主要学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式。
本节课从圆柱、圆锥、圆台的展开图推出它们的表面积，然后比较它们的表面积公式，
让学生更容易记忆公式。类比棱台的体积公式，进而得到圆台的体积公式，再进一步比较圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的体积公式，找到它们公式之间的关系。类比初中圆的面积公式的推导，从而推导球的体积公式。
课程目标
学科素养
A.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法；
B．会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积；
C.会用球的体积与表面积公式解决实际问题；
D．会解决球的切、接问题．
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2.逻辑推理：圆柱、圆锥、圆台、的表面积，球的体积公式；
3.数学运算：求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积；
4.直观想象：球的切、接问题。
1.教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积；
2.教学难点：与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积会解决球的切、接问题。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1.学生回答
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥的体积公式
二、探索新知
思考1：圆柱的展开图是什么？怎么求它的表面积？
【答案】圆柱的侧面展开图为矩形
思考2：圆锥的展开图是什么？怎么求它的表面积？
【答案】圆锥的侧面展开图是扇形
思考3：参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么
，它的表面积是什么？
【答案】圆台的侧面展开图是扇环
思考4：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
【答案】
思考5：根据圆台的特征，如何求圆台的体积？
由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台的体积公式(过程略)．
其中S
，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．
思考6：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？
1.球的表面积公式：（R为球的半径）
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？
解：一个浮标的表面积为
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
思考7：在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？
【分析】第一步，分割
球面被分割成n个网格，连接球心O和每个
小网格的顶点。
设“小锥体”的体积为：
则球的体积为：
第二步，求近似和
所以
如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥。的值就趋向于球的半径R，
因为，所以球的体积为
例2.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过思考，让学生更好地理解圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，总结圆柱、圆台、圆锥的表面积公式的关系，提高学生分析问题、概括能力。
通过思考，推导圆台的体积公式，让学生更好的理解公式。
通过思考，让学生理解圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系，提高学生分析问题的能力。
通过例题，让学生更好的熟悉圆柱、球的表面积公式，提高学生解决问题的能力。
通过思考，了解球的体积公式的推导，更好的理解球的体积公式。提高学生的分析、概括能力。
通过例题的讲解，让学生进一步理解球、圆柱的体积公式，提高学生解决与分析问题的能力。
三、达标检测
1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶
C．1∶
D.∶2
【答案】C
【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶.
2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6 C．5 D．3
【答案】A
【解析】设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为
．
【答案】7π
【解析】由已知圆台上、下底面积分别为
S上＝π，S下＝4π.
则V圆台＝·(π＋＋4π)·3＝7π.
4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为
．
【答案】6π
【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.
5．一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上，则正方体的表面积为
．
【答案】8
【解析】设球的半径为R，正方体的棱长为a，
则πR3＝π，故R＝1，由a＝2R＝2，所以a＝，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×＝8.
6．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积．
【解析】由题意V锥体＝Sh＝πr2·h＝.
7．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；
(2)已知球的体积为，求它的表面积．
【解析】 (1)由R＝1，所以S球＝4πR2＝4π，V＝πR3＝π.
(2)由V＝πR3＝π，
所以R＝3，所以S＝4πR2＝36π.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积；
2.圆柱、圆锥、圆台、球的体积。
五、作业
习题8.3
4,5题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
对于旋转体的表面积公式的推导，应让学生多动手，让学生更好的理解旋转体的表面积。在教学过程中，应逐渐培养学生空间想象能力。8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.
课程目标
1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．
2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
数学学科素养
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；
3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；
难点：圆台的体积公式的理解.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本116-119页，思考并完成以下问题
1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？
2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？
3．球的表面积与体积公式各式什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
（一）
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱(底面半径为r，母线长为l)
圆锥(底面半径为r，母线长为l)
圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)
侧面展
开图
底面积
S底＝2πr2
S底＝πr2
S底＝π(r′2＋r2)
侧面积
S侧＝2πrl
S侧＝πrl
S侧＝π(r′＋r)l
表面积
S表＝2πr(r+l)
S表＝πr(r+l)
S表＝π(r′2＋r2)+
π(r′＋r)l
（二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h.
(三)
球的体积公式与表面积公式
1．球的体积公式V＝
(其中R为球的半径)．
2．球的表面积公式S＝.
四、典例分析、举一反三
题型一
圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4
cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
【答案】8π 12π.
【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4
cm的等边三角形，
∴OB＝2
cm，PB＝4
cm，
∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π
(cm2)，
表面积S表＝8π＋π×22＝12π
(cm2)．
解题技巧（求旋转体表面积注意事项）
旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．
跟踪训练一
1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A．81π
B．100π
C．168π
D．169π
【答案】C
【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，
所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
题型二
圆柱、圆锥、圆台的体积
例2
如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）
【答案】423.9kg
【解析】一个浮标的表面积是，
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料.
解题技巧(求几何体积的常用方法)
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
跟踪训练二
1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
【答案】10π.
【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
2. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．
【答案】见解析
【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．
在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝a，
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝DD′＝a.
由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，
∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·a＝4πa3，
V锥＝·π·a2·a＝πa3.
∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.
题型三
球的表面积与体积
例3
如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
【答案】
【解析】
设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
球的体积，圆柱的体积，
.
例4 平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π
B．4π
C．4π
D．6π
【答案】B
【解析】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，
则OO′＝，O′M＝1.∴OM＝＝.
即球的半径为.∴V＝π()3＝4π.
解题技巧（与球有关问题的注意事项）
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2．球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图(2)．
3．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝
，如图(3)．
4．正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
5．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.
6、有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
跟踪训练三
1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A.
【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V球＝×π×13＝.
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B.πa2
C.πa2
D．5πa2
【答案】B.
【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
8.3.2
圆柱、圆锥、圆台
、球的表面积和体积
1、圆柱、圆锥、圆台表面积公式
例
1
例
2
2、圆柱、圆锥、圆台体积公式
例3
例4
3
、球的表面积与体积公式
)
七、作业
课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.
本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.8.3.1
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。
教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。
课程目标
学科素养
A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．
B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；
2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；
3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；
4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。
1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；
2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1.北京奥运会场馆图
2.
北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？
3.学生回答下列公式
矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积
4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
二、探索新知
探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。
思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积。
思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。
1.结论：
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
例1.四面体P-ABCD的各棱长均为a，求它的表面积。
解：因为是正三角形，其边长为a，
所以，
因此，四面体P-ABC
的表面积
2.一般棱柱的体积公式也是V
=
Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
3.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一。。
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。
思考4：根据台体的特征，如何求台体的体积？
【答案】
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式。
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作
垂线，这点与垂足之间的距离。
思考5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到0.01m3）？
解：由题意知
所以这个漏斗的容积。
通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过思考，得到棱柱的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，得到棱锥、棱台的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过例题，熟悉棱柱的表面积的求法，提高学生解决问题的能力。
通过思考，推出棱台的体积公式，提高学生的分析、概括问题的能力。
通过思考，推出棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系，提高学生的分析、概括问题的能力。
通过例题巩固棱柱、棱锥的体积求法，提高解决问题的能力。
三、达标检测
1．判断正误
(1)锥体的体积等于底面积与高之积．( )
(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．( )
(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
2．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1?ACD的体积是( )
A.
B.
C.
D．1
【答案】A
【解析】三棱锥D1?ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.故选A。
3．已知高为3的棱柱ABC?A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1?ABC的体积为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为
．
【答案】18a2
【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝a2×6＝a2，所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2.
5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P?ABC的体积V.
【解析】三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．
故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
棱柱、棱锥、棱台的表面积；
2.棱柱、棱锥、棱台的体积。
五、作业
习题8.3
1,2题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
本节应多让学生动手，多做几个模型，从而能更好地理解及记忆棱柱、棱锥、棱台的侧面积、体积公式。
