8.4.1
平面
平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个基本事实,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.
课程目标
1.正确理解平面的概念；
2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.
数学学科素养
1.数学抽象：平面概念的理解；
2.逻辑推理：点线共面、多点共线，多线共点问题；
3.直观想象：点、直线、平面之间的位置关系.
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的三个基本事实和推论，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
难点：平面的三个基本事实的掌握与运用.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
问题1：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？
问题2:平面的含义是什么呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本124-127页，思考并完成以下问题
1、平面的概念是什么？怎样表示一个平面？
2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达？
3、平面有哪些基本事实？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是
无限延展的.
(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1).
②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2).
(3)平面的表示
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.
2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达
点A在直线上，则，
点A在直线外，则;
点A在平面内，则，
点A在平面外，则;
直线在平面内，则，
直线在平面外，则;
平面与平面相交直线，则.
3、平面的基本事实
文字语言
图形语言
符号语言
基本事实1
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线?存在唯一的平面α,使A,B,
C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α,P∈β?
α∩β=l,且P∈l
基本事实1的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
四、典例分析、举一反三
题型一
文字语言、图形语言、符号语言的转换
例1 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应
图形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,
P?α,Q∈l,Q∈α．
【答案】见解析.
【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1),(2),(3)所示.
解题技巧（三种语言转换的注意事项）
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.
跟踪训练一
1、A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是( )
(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α
(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α?α∩β=直线AB
(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线?α与β重合
(D)l∈α,n∈α,l∩n=A?l与n确定唯一平面
2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
【答案】1、D.
2、①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.②中,α∩β=l,a?α,
b?β,a∩l=P,b∩l=P.
【解析】1.选D，D选项的表述有问题.
2.
在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在②中,α∩β=l,a?α,
b?β,a∩l=P,b∩l=P.
题型二
点线共面
例2
如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.
【答案】见解析．
【解析】因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2?α,所以A∈α.
因为A∈l2,l2?β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
解题技巧
(证明点线共面问题的常用方法)
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.
跟踪训练二
1、空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)1或3
【答案】D．
【解析】两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D．
题型三
多点共线、多线共点问题
例3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.
【答案】
见解析．
【解析】 连接EF,D1C,A1B,
因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EFA1B.
又因为A1BD1C,所以EFD1C,
所以E,F,D1,C四点共面,
可设D1F∩CE=P.
又D1F?平面A1D1DA,CE?平面ABCD,
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,
所以据公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.
解题技巧（证明多点共线、多线共点的常用方法）
(1)证明三线共点常用的方法:
先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.
(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:
①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.
跟踪训练三
1．如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
(A)A,M,O三点共线
(B)A,M,O,A1不共面
(C)A,M,C,O不共面
(D)B,B1,O,M共面
【答案】A.
【解析】连接A1C1,AC,则A1C1∥AC.
所以A1,C1,C,A四点共面.
所以A1C?平面ACC1A1.
因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,
所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
所以A,M,O三点共线.故选A.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
平面
平面
例
1
例2
例
3
2、点、直线、平面的位置关系
3.平面的三个基本事实
基本事实1
三个推论
基本事实2
基本事实3
)
七、作业
课本128页练习，131页习题8.5的1、5、6、7、8题.
平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.而本节课对学生而言比较抽象，需要较强的空间想象力，主要抓住两点：①三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换，这是后续学习的基础；②利用三个基本事实解决点、线、面的问题，抓住基本事实1是确定一个平面的依据，基本事实2是判定直线在平面内的依据，基本事实3是两平面相交的依据.8.4.1
平面
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第三章《立体几何初步》，本节课主要学习三个基本事实及三个结论及其应用。
平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面为例，对它只是加以描述而不不定义。立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括，它的特征是无限延展性。为了更精准地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书的三个基本事实，这也是本节的重点。另外，本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译，特别注意图形语言与符号语言的转换。
课程目标
学科素养
A.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．
B．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．
C．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个基本事实的地位与作用。
1.数学抽象：平面的概念；
2.逻辑推理：三个基本事实；
3.数学运算：点、直线、平面的关系；
4.直观想象：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。
1.教学重点：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；
2.教学难点：平面的画法及表示方法，三个基本事实的地位与作用。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、情境引入
教室里的桌面、黑板面、海平面，它们呈现出怎样的形象？
二、探索新知
1.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.
2.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，
平面在空间是无限延伸的.
(1)平展性
(2)无限延展性
(3)没有厚度
练习：
判断下列各题的说法正确与否：
（1）、一个平面长
4
米，宽
2
米；
(
)
（2）、平面有边界；
(
)
（3）、一个平面的面积是
25
cm
2；
(
)
（4）、菱形的面积是
4
cm
2；
(
)
（5）、一个平面可以把空间分成两部分.
（
）
【答案】（1）×
（2）
×
（3）×
（4）
√
（5）
√
平面的画法：
当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45?，且横边长等于其邻边长的2倍。
(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：
4.平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
记作：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD
思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？
【答案】过不共线三点
基本事实1
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
图形语言：
作用：确定平面的主要依据。
5.点与直线、平面的位置关系
直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成点的集合．点在直线上和点不在直线上、点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示．
图形语言：
符号语言：
思考2：如果直线
l
与平面α有一个公共点P，直线
l
是否在平面α内？如果直线
l
与平面α有两个公共点呢？
【答案】直线与平面的关系：
直线在平面外
直线在平面内
图形：
符号语言：
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
图形语言：
符号语言：
作用：判断直线是否在平面内的依据．
思考3：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
【答案】交于一点直线。
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
图形语言：
符号语言：
作用：①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
6.两个相交平面的画法：
注意：画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画．
7.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可得下面三个推论
推论1
经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面。
作用：确定一个平面。
例1:用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
解：
如图，已知
求证：。
证明： ∵PQ∥a，∴PQ
与
a
确定一个平面β.
∴直线a?β，点
P∈β.
∵P∈b，b?α，∴P∈α.
又∵a?α，∴α与β重合．∴PQ?α.
通过观察图片，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过练习，巩固平面的概念及特征，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，引入基本事实1，提高学生分析问题、概括能力。
通过讲解，让学生明白点与直线、平面关系的数学符号表示，教给学生数学语言的运用。
通过思考，引入基本事实2，提高学生分析问题的能力。
通过思考，引入基本事实3，了解两个相交平面交于一条直线。
通过讲解，让学生能用数学语言表示基本事实3，提高学生的数学素养。
通过例题讲解，让学生进一步熟悉用数学语言表示点、直线、平面之间的关系，提高学生数学语言的运用能力。
通过例题的讲解，让学生会证明直线与平面的位置关系，提高学生解决与分析问题的能力。
三、达标检测
1．判断正误
(1)平面是处处平的面．( )
(2)平面是无限延展的．( )
(3)平面的形状是平行四边形．( )
(4)一个平面的厚度可以是0.001
cm.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．下列空间图形画法错误的是( )
A B
C D
【答案】D
【解析】遮挡部分应画成虚线．故D错，选D.
3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( )
A．A?a，a?α，B∈α
B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α
D．A∈a，a∈α，B∈α
【答案】B
【解析】点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.
4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．
证明： 因为P∈AB，AB?平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
三个基本事实的内容；
2.三个基本事实的的作用；
3.三个推论。
五、作业
习题3.1
6,7,9题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
在教学过程中，应倡导“动手实验、直观感知、归纳猜想、操作确认”学习方式，充分体现学生的“主体性”，让学生不断经历“概念及定义的探索及发现过程”。这样能降低学生学习的难度，激发学生学习兴趣。8.4.2
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是本节的重点和难点.这些位置关系是根据交点个数来定义的，本节重点是结合图形判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.
课程目标
1．了解直线与直线之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；
2．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；
3．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．
数学学科素养
1.数学抽象：异面直线的理解；
2.逻辑推理：判断空间点、直线、平面之间的位置关系；
3.直观想象：空间图形中点、直线、平面之间的位置关系.
重点：了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；
难点：会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面.观察如图所示的长方形，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本128-131页，思考并完成以下问题
1、什么是异面直线？
2、空间两条直线的位置关系？
3、直线与平面的位置关系？
4、平面与平面的位置关系？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
(2)画法:
位置关系
共面情况
(
有且只有一个公共点
)有无公共点
相交
在同一平面内
平行
在同一平面内
没有公共点
异面
不同在任何一个平面内
没有公共点
2.空间两条直线的位置关系
3.直线与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在
平面α内
(
a
?
α
)
有无数个公共的
直线a与
平面α相交
(
a∩α=A
)
有且只有一个公共的
直线a与
平面α平行
(
a
∥
α
)
无公共点
4.平面与平面的位置关系
位置关系
图形表示
(
α
∥
β
)符号表示
公共点
两平面
平行
(
α∩β=l
)
无公共点
两平面
相交
有无数个公共点,这些点在一条直线上
四、典例分析、举一反三
题型一
直线与直线的位置关系
例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC;
(3)A1C与D1B.
【答案】见解析.
【解析】(1)因为C∈平面ABCD,AB?平面ABCD,又C?AB,C1?平面ABCD,所以AB与CC1异面.
(2)因为A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.
(3)因为A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,则A1,B,C,D1在同一平面内.所以A1C与D1B相交.
解题技巧（判定两直线异面的常用方法）
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;
(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.
跟踪训练一
1、正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面且垂直的棱有( )
(A)8条
(B)6条
(C)4条
(D)3条
【答案】C
【解析】如图所示,一共有12条棱,其中有三条与AB平行,
有四条与AB相交,还剩四条,这四条是CC1,DD1,A1D1,B1C1都是
与AB异面且垂直.故选C.
题型二
直线与平面的位置关系
例2如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,试判定BC1与六个面的位置关系.
【答案】见解析．
【解析】因为B∈面BCC1B1,C1∈面BCC1B1,所以BC1?面BCC1B1.
又因为BC1与面ADD1A1无公共点,所以BC1∥面ADD1A1.
因为C1∈面CDD1C1,B?面CDD1C1,所以BC1与面CDD1C1相交,
同理BC1与面ABB1A相交,
BC1与面ABCD相交,BC1与面A1B1C1D1相交.
解题技巧
(直线与平面位置关系的解题思路)
解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.
跟踪训练二
下列说法中,正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条也和这个平面相交 ②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行 ③若直线a在平面α外,则a∥α.
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
【答案】B
【解析】由直线与平面的位置关系可知①正确;这条直线可能在经过另一条直线的平面内,所以②不正确,对于③包括两种情形,直线a∥α或直线a与α相交,故③不正确.故选B.
题型三
平面与平面的位置关系
例3
α,β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是( )
(A)平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β
(B)平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β
(C)若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β
(D)平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β
【答案】
D
【解析】 对于A,α与β可能相交或平行,错;对于Β,α与β可能相交或平行,错;对于C,α与β可能相交或平行,错;D符合面面平行的定义,正确.选D.
解题技巧（平面与平面位置关系的解题思路）
判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.
跟踪训练三
1、平面α与平面β平行且a?α,下列四种说法中,①a与β内的所有直线都平行;②a与β平行;③a与β内的无数条直线平行,其中正确的个数是( )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
【答案】C
【解析】因为α∥β,a?α,所以a与β无公共点,所以a∥β,故②正确,所以a与β内的所有直线都没有公共点,所以a与β内的直线平行或异面,故①不正确,③正确.故选C.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
异面直线
例
1
例2
例
3
2、直线与直线的位置关系
3、直线与平面的位置关系
4、平面与平面的位置关系
)
七、作业
课本131页练习，131页习题8.5的剩余题.
就本节课位置关系学生容易理解，但在做题时容易进入误区，例：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?答案:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.
所以要求学生做题时要将其所有情况考虑全面.
