8.6.3
平面与平面垂直
第2课时
平面与平面垂直的性质
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习平面与平面垂直的性质及其应用。
课本从两垂直平面内的一个平面内找一条直线，考虑该直线与两面的交线，另一个平面之间的关系，引入平面与平面垂直的性质定理。空间中平面与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多,而且是空间问题平面化的典范空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点:(1)它是立体几何中最难、最高级”的定理(2)它往往又是一个复杂问题的开端,即先由面面垂直转化为线面垂直,否则无法解决问题因此,面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理教学目标。
课程目标
学科素养
A.掌握平面与平面垂直的性质定理；
B.运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题；
C.了解平面与平面垂直的判定定理与性质定理之间的关系。
1.逻辑推理：用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题；
2..直观想象：平面与平面垂直的性质定理；
1.教学重点：平面与平面垂直的性质定理及其应用；
2.教学难点：用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1、平面与平面垂直的定义
2、平面与平面垂直的判定定理
【答案】一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
二、探索新知
思考1
如图，长方体中，α⊥β,
(1)α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
【答案】（1）不一定
（2）与AD垂直
思考2
，
垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？
为什么？
【答案】垂直
证明：在平面内作BE⊥CD,垂足为B，
则∠ABE就是二面角的平面角.
∵,
∴AB⊥BE
又由题意知AB⊥CD,且BECD=B，
1.平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
符号表示：
α⊥β，α∩β＝l，
?a⊥β
关键点：①线在平面内；②线垂直于交线
作用：
①它能判定线面垂直.
②
它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线.
例1.如图，已知平面，直线，，判断的位置关系。
例2.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，
求证：BC⊥平面PAB.
通过复习平面与平面垂直的定义和判定定理，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过思考，引入平面与平面存在的额性质定理，提高学生分析问题的能力。
通过例题讲解，让学生进一步理解平面与平面垂直的性质定理的运用，提高学生解决问题的能力。
三、达标检测
1．在空间中，下列命题正确的是( )
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】 A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.
2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A.m∥l
B.m∥n
C.n⊥l
D.m⊥n
【答案】C
【解析】 因为α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.
3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形.
【答案】直角
【解析】解析 设P在平面ABC上的射影为O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.
∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∴△ABC是直角三角形.
4.如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.
求证：BF⊥平面ACFD。
【证明】 延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC?平面ABC，所以AC⊥平面BCK，
因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.
又CK∩AC＝C，CK，AC?平面ACFD，
所以BF⊥平面ACFD.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.平面与平面垂直的性质定理
；
2、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直；
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。
五、作业
习题8.6
10,20题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
本节课在介绍性质定理或结论前,让学生观察模型,自己猜想结论,然后引导学生对猜想结行证明,引导过程中巧设问题,及时组织学生思考,交流,讨论。通过模型演示激发学生索新知的欲望,通过“探究”、“猜想”等活动多维度构建学生“自主参与、自主探索活动,通过学生思考、交流、讨论、发言多形式提供学生“展示自我、发展自我”的教平台,在突破重难点的同时,注重培养学生空间概念,空间想象能力以及逻辑推理能力。
不同层次学生有所收获。遇到学生表述不准确或有错误时及时纠正,对待学生大胆的尝试,给予充分的肯定,借此引导学生学会必要的思维策略,展现问题解决的途径,揭示研究问题的基本方法,注重数学思想方法的渗透。
当然这节课还存在着很多不足之处,如课堂时间不足,导致该问题学生难以消化,未到预期效果,等等,在这里就不再赘述。通过这次活动,我觉得自己在教学上收获很大,特别是很多老师给我提出了许多宝贵意见,让我收益非浅。我期盼学校以后能多提供给我们年轻教师展示自我的平台、提高教学水平的机会。8.6.1
直线与直线垂直
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课是第2课时，本节课主要学习直线与直线垂直。
课本从空间两条直线的位置关系入手，引如异面直线所成的角的定义，进而在正方体中找互相垂直的异面直线及求异面直线的夹角，本节是证明两条异面直线垂直的一种方法。求异面直线的夹角为90度可以证明两异面直线垂直。直线与直线垂直是立体几何中证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的基础，是后续所学知识的基础。
课程目标
学科素养
A.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．
B.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．
1.数学抽象：异面直线所成的角的定义；
2.逻辑推理：作异面直线所成的角；
3.数学运算：求异面直线所成的角；
1.教学重点：异面直线所成角的定义；
2.教学难点：用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1.空间两直线的位置关系：
【答案】相交、平行、异面
2.在平面内，两直线所成的角是什么？
【答案】在平面内,两条直线相交成四个角,
其中不大于90度的角称为它们的夹角,
用以刻画两直线的错开程度
二、探索新知
观察：如图，在正方体中，直线与直线AB，直线与直线AB都是异面直线，直线与相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
【答案】不同
思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找
出这个夹角？
1.异面直线所成角的定义:
如图,已知两条异面直线a，b,经过空间任一点O作直线a′//a，b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
思考
:
这个角的大小与O点的位置有关吗
?
即O点位置不同时,
这一角的大小是否改变?
【答案】无关，不改变。
2.异面直线所成角的范围：
例1
如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
（2）求直线BA′与CC′所成的角大小。
（3）求直线BA′与AC
所成的角大小。
例2
如图，在正方体中，为底面的中心。求证：
。
通过复习前面所学两条直线位置关系，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过观察与思考，引入异面直线所成角的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，进一步理解异面直线所成的角，提高学生分析问题、概括能力。
通过例题讲解，让学生理解怎样求两异面直线所成的角，提高学生解决问题的能力。
通过例题讲解，让学生理解怎样证两异面直线垂直，提高学生解决问题的能力。
三、达标检测
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上都有可能
【答案】D
【解析】当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面．
2．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
【答案】B
【解析】取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF綊IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.
3．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是
．
【答案】60°
【解析】连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°.
4．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是
．
【答案】90°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠PAB是PA与CD所成的角．
又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.
5．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
【解析】 因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
异面直线所成角定义；
2.异面直线所成角的求法：
一作(找)、二证、三求
五、作业
习题8.6
4题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
求异面直线所成的角，应让学生明白怎样做异面直线所成的角，进而在三角形中进行求解。8.6.2
直线与平面垂直
第1课时
直线与平面垂直的判定
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习直线与平面垂直的判定定理及其应用。
线面垂直是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的关键。同时，它又是学习直线和平面所成的角、平面与平面的距离等后续知识的基础。因此，这部分内容在教材中起着承上启下的作用。本节课的学习，可以培养学生提出猜想、验证猜想、作出数学发现的意识，增强“平面化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能力。
课程目标
学科素养
A.了解直线与平面垂直的定义．
B.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．
C.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．
D.能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明．
1.逻辑推理：判断直线与平面垂直；
2.数学运算：求直线与平面所成角；
3.直观想象：直线与平面垂直的定义；
1.教学重点：直线与平面垂直的定义，用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明；
2.教学难点：直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
空间中直线与平面有几种位置关系？
【答案】在面内、平行、相交
二、探索新知
1.观察下面实例，你能否给出直线与平面垂直的定义？
1.直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直。记作。
直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。唯一公共点P叫做垂足。
2.直线与平面垂直的画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。
思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
【答案】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。
3.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
探究：
如图，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验：
过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.
问题：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
如何翻折才能使折痕
AD
与桌面所在平面垂直？
【答案】（1）不垂直
（2）三角形BC边上的高AD
4.线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意：面内两条相交直线。
例1
求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图，
5.直线和平面所成角
和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线，斜线和平面相交的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.平面的斜线和它在平面内的射影所成的角叫做直线和平面所成的角.
直线和平面所成角的取值范围为：。
注意：关键在于作线面垂直找射影。
如图，在正方体中，求直线和平面
所成的角。
通过复习前面所学直线与平面的位置关系，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过观察实例，让学生思考直线与平面垂直的定义，提高学生的概括问题、分析问题的能力。
通过思考，进一步理解直线与平面垂直的定义，提高学生分析问题、概括能力。
通过探究，让学生更形象的得到直线与平面垂直的判定定理，提高学生分析问题的能力。
通过例题进一步理解直线与平面垂直的判定定理，提高学生解决问题的能力。
通过例题讲解，理解直线与平面所成角的求法，提高学生解决问题的能力。
三、达标检测
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
【答案】A
【解析】若l∥m，l?α，m?α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．
2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直
B．相交但不垂直
C．平行
D．不确定
【答案】A
【解析】因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°
【答案】A
【解析】∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.
故选A.
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
[证明] 如图，连接AC，
∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A?平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C?平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
直线与平面垂直的概念；
2.直线与平面垂直的判定定理；
3.线面角的概念及范围。
五、作业
152页
2,3题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
让学多观察直线与平面垂直的实例，更好的理解直线与平面的定义，证明直线与平面垂直，应强调关键是在平面内找两条相交直线与该直线垂直。
