6.3.3
平面向量的加、减运算的坐标表示
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量加、减运算的坐标表示。
前面学面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.学习这一节为以后学习数乘向量的坐标运算、数量积的坐标运算打下基础。
课程目标
学科素养
A.掌握平面向量加、减运算的坐标表示；
B.会用坐标求两向量的和、差；
1.数学抽象：平面向量的坐标的概念；
2.逻辑推理：平面向量加、减的坐标运算；
3.数学运算：求两个向量的和、差。
1.教学重点：平面向量加、减运算的坐标表示；
2.教学难点：根据平面向量加、减运算的坐标表示求点的坐标。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1.平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2、用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
二、探索新知
思考：已知，你能得到的坐标吗？
【答案】
即
同理可得。
这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
例1.已知的坐标。
解：
探究：如图，已知，你能得出的坐标吗？
【答案】=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
例2：如图，已知平行四边形ABCD
的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过思考，得到向量加法、减法的坐标表示，提高学生分析问题、推理能力。
通过例题讲解，让学生明白怎样求向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力。
通过探究，总结如何由向量起点、终点坐标求向量的坐标，提高学生解决问题的能力。
通过例题进一步理解向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力。
三、达标检测
1．点A(1，－3)，的坐标为(3，7)，则点B的坐标为( )
A．(4，4)
B．(－2，4)
C．(2，10)
D．(－2，－10)
【解析】 设点B的坐标为(x，y)，由＝(3，7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，得B(4，4)．
【答案】 A
2.若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则等于( )
A．(4，6)
B．(－4，－6)
C．(－2，－2)
D．(2，2)
【解析】 由＝＋＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)．故选A．
【答案】 A
3.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标.
【解】 如图，正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos
60°，2sin
60°)，
∴C(1，)，D，
∴＝(2，0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
向量加、减运算的坐标表示；
2.已知，则。
五、作业
习题6.3
3,4题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
本教案的亮点是用心设置思考题，在学生已有的知识基础上得到要学习的问题，水到渠成，讲练结合。学生在独立或小组讨论中解决问题，很好调动学生的积极性与主动性。6.3.4
平面向量数乘运算的坐标表示
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量数乘运算的坐标表示、共线向量的坐标表示。
引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.
课程目标
学科素养
A.掌握向量数乘运算的坐标表示；?
B.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；
1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示；
2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示；
3.数学运算：由向量共线求参数的值；
4.直观想象：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系；
5.数学模型：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
1.教学重点：向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线；
2.教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1.已知，则的坐标是什么？
【答案】
二、探索新知
思考：已知
，你能得到的坐标吗？
【分析】因为，所以
即。
结论：这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标.
例1.已知的坐标。
探究：设，若向量共线（其中），则这两个向量的坐标应满足什么关系？
【解析】向量共线的充要条件是存在实数，使，用坐标表示为即整理得，
这就是说，向量共线的充要条件是。
例2.已知
解：因为，解得。
例3.已知判断A，B，C三点之间的关系。
解：猜想A，B，C三点共线。
因为，
，又
所以。
又直线AB，直线AC有公共点A，
所以，A，B，C三点共线。
例4.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为
，
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
结论：中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为，
线段P1P2的中点P的坐标为，则。
探究：如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别为
，点P是直线P1P2上的一点，当时，点P的坐标是什么？
【答案】
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过例题让学生进一步识记向量加、减法、数乘的坐标运算，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过探究，掌握共线向量的坐标之间的关系，提高学生分析问题、概括能力。
通过例题练习共线向量的坐标运算，提高学生解决问题的能力。
通过例题进一步掌握向量加法、减法、数乘向量的坐标运算，提高学生的观察、概括能力。
通过探究得出一般结论，通过学生解决问题的能力。
三、达标检测
1．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a－2b的坐标是( )
A．(5，3)
B．(4，3)
C．(8，3)
D．(0，－1)
【解析】 3a－2b＝3(2，1)－2(1，0)＝(4，3)．
【答案】 B
2．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A．－9
B．9
C．3
D．－3
【解析】 因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，
若a∥b则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
【答案】 B
3．与向量a＝(1，2)平行，且模等于的向量为________．
【解析】 因为所求向量与向量a＝(1，2)平行，所以可设所求向量为x(1，2)，又因为其模为，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1.
因此所求向量为(1，2)或(－1，－2)．
【答案】 (1，2)或(－1，－2)
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．
【解】 因为a＝(1，2)，b＝(x，1)，
u＝a＋2b＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，
v＝2a－b＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)．
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，
解得x＝.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
向量数乘运算的坐标表示；
2.共线向量的坐标表示；
3.中点坐标公式;
五、作业
习题6.3
6,13题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
与好的问题设计相联系,在课堂教学中还要考虑以问题为主要载体的教学内容的选择,以及与问题的呈现时间、呈现空间和呈现方式相联系的教学情境设计,使教学过程达到最优。
1、在教学中重基础知识,重基本方法,重基本技能,重教材,重应用,重工具作用,不拔高,不选偏题和难题,遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
2、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点,提高“向量法”的运用能力,充分发挥工具作用在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示,掌握向量的数乘运算,理解向量运算和实数运算的联系和区别,强化本章基础。6.3.1
平面向量基本定理
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二次承认》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量基本定理及其应用。
本节课是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算(向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理)之后的又一重点内容,它是引入向量坐标表示,将向量的几何运算转化为代数运算的基础,使向量的工具性得到初步的体现,具有承前启后的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础
本节内容用1课时完成。
课程目标
学科素养
A.理解平面向量基本定理及其意义；?
B.会用基底表示某一向量；
C.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。
1.数学抽象：平面向量基本定理的意义；
2.逻辑推理：推导平面向量基本定理；
3.数学运算：用基底表示其它向量；
1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；
2.教学难点：平面向量基本定理的探究。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1.共线向量定理
【答案】向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。
2.向量的加法法则
【答案】三角形法则
。
特点:首尾相接，连首尾。
平行四边形法则
特点:同一起点,对角线。
二、探索新知
探究：如图6.3-2（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？
【答案】如图，
思考1.若向量与共线，还能用表示吗？
【答案】当向量与共线时，。
当向量与共线时，。
思考2.当是零向量时，还能用表示吗？
【答案】
思考3.设是同一平面内两个不共线的向量，在中，是否唯一？
【答案】假设，
即，
所以，所以唯一。
平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。
我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
说明：(1).基底的选择是不唯一的；
(2).同一向量在选定基底后，是唯一存在的。
(3).同一向量在选择不同基底时，
可能相同也可能不同。
例1.如图，不共线，且，用表示。
解：因为，所以
思考4：观察你有什么发现？
【结论】如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。
例2.如图，CD是的中线，，用向量方法证明是直角三角形。
证明：设
所以，
所以。
于是是直角三角形。
通过复习前面所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过探究，利用向量加法的平行四边形法则，用两个不共线的向量表示另一个向量，引出平面向量基本定理，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，进一步完善结论，推出平面向量基本定理。提高学生分析问题、概括能力。
通过说明，让学生进一步理解平面向量基本定理，提高学生理解问题的能力。
通过例题练习平面向量基本定理的运用，提高学生解决问题的能力。
通过思考，得到结论，提高学生的观察、概括能力。
通过例题巩固平面向量基本定理的运用，提高学生用向量知识解决问题的能力。
三、达标检测
1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A．，
B．，
C．，
D．，
【解析】 由于，不共线，所以是一组基底．
【答案】 D
2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．不确定
【解析】 ∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，
∴a＋b与c共线．
【答案】 B
3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A．(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1)
D．(5e2－3e1)
【解析】 ＝＝(＋)
＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
【答案】 A
4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ＝( )
A．
B．
C．－
D．－
【解析】 ∵A，B，D三点共线，
∴存在实数t，使＝t，则－＝t(－)，即＝＋t(－)＝(1－t)＋t，∴即λ＝－.
【答案】 C
5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
【解】 ∵a，b不共线，
∴可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又∵e1，e2不共线，
∴解得
∴c＝a－2b.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
平面向量基本定理；
2.基底；
五、作业
习题6.3
1,11（1）题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
定理部分讲解比较到位,把总结和找关键词的机会给学生,充分发挥了学生的主观能动性,掌握的效果也比较好。为了理解定理中的关键词适当插入思考巩固,效果比较好,帮助学生加深印象。平面向量基本定理的出现如果是由教师直接给出,在定理给出之后让学生观看例题板演然后练习巩固,这样就完全体现不出来新课程的数学教学理念,因为在新课程的理念中重点强调了,教师在进行数学教学时要充分考虑到数学学科的特点,针对不同水平、不同兴趣学生的学习需要,运用多种教学方法和手段引导学生积极主动的学习。6.3.2
平面向量的的正交分解及坐标表示
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj.
于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起――映射，从而实现向量的“坐标化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。
课程目标
学科素养
A.会把向量正交分解；?
B.会用坐标表示向量；
1.数学抽象：向量的正交分解；
2.逻辑推理：将一向量分解为两个垂直的向量；
3.数学运算：求向量的坐标；
1.教学重点：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；
2.教学难点：平面向量的坐标表示。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。
我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
探索新知
1.平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。
思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？
【解析】在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi+yj，则把有序数对（x，y），叫做向量a的坐标．记作a＝（x，y），此式叫做向量的坐标表示．
作向量，设，所以。
【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。
两向量相等时，坐标一样。
例1．如图，用基底
i
,
j
分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标
【解析】:由图可知,a=+=xi+yj,
∴a=(2,3).
同理,b=-2i+3j=(-2,3);
c=-2i-3j=(-2,-3);
d=2i-3j=(2,-3).[来源:学
科
网Z
X
X
K]
通过复习上节所学平面向量基本定理，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过思考，建立点的坐标和向量坐标之间的关系，提高学生分析问题、概括能力。
通过例题练习向量的坐标表示，提高学生解决问题的能力。
三、达标检测
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
【解析】 (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样．
(2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标．
(3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关．
(4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标．
2.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；________.
【解析】因为＝(－1，－1)，
由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)，
同理＝(－1，1)．
3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B和点D的坐标和与的坐标．
【解析】由题意知B,
D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，
得x1＝cos30°＝，y1＝sin30°＝，
所以B.
x2＝cos120°＝－，
y2＝sin120°＝，
所以D.
所以＝，＝.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1.
向量的正交分解；
2.向量的坐标表示；
五、作业
预习下一节。
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
本教案的亮点是用心设置思考题，在学生已有的知识基础上得到要学习的问题，水到渠成，讲练结合。学生在独立或小组讨论中解决问题，很好调动学生的积极性与主动性。
