2020-2021学年高中数学人教A版数学必修二2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系教案
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高中数学人教A版数学必修二2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 197.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-28 14:08:07 | ||
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文档简介
2.1.2空间中直线与直线的位置关系
1.教学目标
1.1知识与技能
(1)通过学习能知道空间直线的三种位置关系;
(2)初步理解异面直线的概念,会判断两直线的异面关系;
(3)初步理解与运用公理4解决问题,初步了解等角定理;
(4)初步理解异面直线所成角的概念,运用平移的方法求异面直线所成的角.
1.2过程与方法
(1)通过学习经历异面直线的概念的形成过程，体会异面直线的直观画法；
(2)通过长方体的模型让学生发现与感知平行线的传递性质．
(3)通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角；
1.3情感、态度与价值观
(1)让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义；
(2)培养学生自主发现问题与解决问题的能力．
2.重点、难点
2.1重点：
异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．
2.2难点：
异面直线概念的理解与求法．
3.教学准备：
长方体模型，直线、平面教具，教学课件．
4.教学过程设计：
4.1复习引入：
平面三个公理和作用
设计意图：巩固上一节课的知识以及集中学生的注意力，让学生快速投入本节课的学习中
4.2异面直线
4.2.1异面直线的概念
思考1： 同一平面内的直线有哪些位置关系？
思考2：在空间中，两条直线不相交则平行吗？
思考3：在空间中，无公共点的两条直线一定平行吗？
设计意图：由一系列问题，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯．
师生活动：教师放课件图片，引导学生观察：黑板所在直线与课桌边缘所在直线的位置关系，立交桥上下面公路所在直线的位置关系等例子，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系,从而得出异面直线的概念.
板书：异面直线的定义：
把不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一个平面内）．
概念辨析：
例1：判断正误
（1）下面两图中直线m和l都是异面直线
（2）
（3）
设计意图：通过3道判断题，让学生深刻解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，加深对异面直线的理解。
4.2.2异面直线的画法
观察：如图，我们能否说直线m与直线n是异面直线？
师生活动：直接画两条直线不能表明是异面直线，那要怎么画？用一个或者两个平面进行衬托，先让学生自己画，再进行展示。
4.2.3异面直线画法（幻灯片）：
（1）．一个平面衬托画法：
（2）．两个平面衬托画法：
强调关键点：
(1）（一个平面衬托法）直线b与平面α交点在直线a外；
(2）（两个平面衬托法）直线a，b与棱都相交，且交点不重合．
4.3空间中两直线的位置关系：
由学生归纳空间直线的位置关系有且仅有三种，那么对这三种能不能分类，怎么分类？
(1)两直线是否共面的角度分类
(2)从两直线有无公共点的角度分类
教师和学生共同探出：如何确定两条直线是异面直线.
法一（直接法）：两条直线不同在任何一个平面
法二（间接法）：两条直线既不相交，又不平行
例2：下图长方体中
（1）说出以下各对线段的位置关系?
EC 和BH是 直线
BD 和FH是 直线
BH 和DC是 直线
(2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?
4.3公理4
思考4：在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？
师生活动：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，CC1∥BB1，那么AA1与CC1平行吗？（由学生观察得到结论）
公理4 （板书和幻灯片）：平行于同一直线的两直线互相平行．
符号表示：设a、b、c是空间中的三条直线,若a∥b，b∥c，则a∥c
教师与学生共同探出：公理是判断空间直线平行的依据；平行线的性质是具有传递性．
例3：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
师生互动：分析与回顾平行四边形定义，三角形中位线的性质，平行线与等式的传递性，要证明四边形是平行四边形，需要什么条件？师生一起分析解题思路后，学生自己书写证明过程，并抽一名学生到黑板书写，教师点评。
证明：连结BD，
∵ EH是△ABD的中位线，
∴ EH∥BD，且EH=，
同理，FG∥BD，且FG=，
∴ EH∥FG，且EH=FG，
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
变式探究：在例2中，若加条件AC=BD，那么四边形EFGH又是什么图形？
4.4等角定理
思考5：在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”．在空间中，结论是否仍然成立？
教师通过ppt以及直线模型进行展示，由学生得出结论。
等角定理（幻灯片和板书）：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
完善体系：探究刻画异面直线的位置关系，引入异面直线所成的角的概念．
4.5异面直线所成的角
思考6：在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角。夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线如何来刻画呢？
教师与学生共同探讨得到结论：异面直线所成的角可以通过平移变换，把异面直线成角化归成相交直线成角．
异面直线所成角的定义(板书和幻灯片)：如图，已知两异面直线a，b，空间任取一点O，经过点O作直线∥，∥，把与所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角（或称夹角）．
师生共同探讨：O点的选取一般在一条已知直线上，或者某些特殊的点。
异面直线所成角的范围：(0°，90°]
特殊情形，若两异面直线成直角，则称两异面直线互相垂直，记作a⊥b．
直线垂直分为两种：
（1）相交直线的垂直
（2）异面直线的垂直
例3. 在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF所成角是多少呢？
4.6课堂小结
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线
空间两直线的位置关系
2.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
3．等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么它们相等或互补
4．异面角所成的角：平移，转化为相交直线所成的角。
4.7课后思考：
1.教学目标
1.1知识与技能
(1)通过学习能知道空间直线的三种位置关系;
(2)初步理解异面直线的概念,会判断两直线的异面关系;
(3)初步理解与运用公理4解决问题,初步了解等角定理;
(4)初步理解异面直线所成角的概念,运用平移的方法求异面直线所成的角.
1.2过程与方法
(1)通过学习经历异面直线的概念的形成过程，体会异面直线的直观画法；
(2)通过长方体的模型让学生发现与感知平行线的传递性质．
(3)通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角；
1.3情感、态度与价值观
(1)让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义；
(2)培养学生自主发现问题与解决问题的能力．
2.重点、难点
2.1重点：
异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．
2.2难点：
异面直线概念的理解与求法．
3.教学准备：
长方体模型，直线、平面教具，教学课件．
4.教学过程设计：
4.1复习引入：
平面三个公理和作用
设计意图：巩固上一节课的知识以及集中学生的注意力，让学生快速投入本节课的学习中
4.2异面直线
4.2.1异面直线的概念
思考1： 同一平面内的直线有哪些位置关系？
思考2：在空间中，两条直线不相交则平行吗？
思考3：在空间中，无公共点的两条直线一定平行吗？
设计意图：由一系列问题，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯．
师生活动：教师放课件图片，引导学生观察：黑板所在直线与课桌边缘所在直线的位置关系，立交桥上下面公路所在直线的位置关系等例子，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系,从而得出异面直线的概念.
板书：异面直线的定义：
把不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一个平面内）．
概念辨析：
例1：判断正误
（1）下面两图中直线m和l都是异面直线
（2）
（3）
设计意图：通过3道判断题，让学生深刻解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，加深对异面直线的理解。
4.2.2异面直线的画法
观察：如图，我们能否说直线m与直线n是异面直线？
师生活动：直接画两条直线不能表明是异面直线，那要怎么画？用一个或者两个平面进行衬托，先让学生自己画，再进行展示。
4.2.3异面直线画法（幻灯片）：
（1）．一个平面衬托画法：
（2）．两个平面衬托画法：
强调关键点：
(1）（一个平面衬托法）直线b与平面α交点在直线a外；
(2）（两个平面衬托法）直线a，b与棱都相交，且交点不重合．
4.3空间中两直线的位置关系：
由学生归纳空间直线的位置关系有且仅有三种，那么对这三种能不能分类，怎么分类？
(1)两直线是否共面的角度分类
(2)从两直线有无公共点的角度分类
教师和学生共同探出：如何确定两条直线是异面直线.
法一（直接法）：两条直线不同在任何一个平面
法二（间接法）：两条直线既不相交，又不平行
例2：下图长方体中
（1）说出以下各对线段的位置关系?
EC 和BH是 直线
BD 和FH是 直线
BH 和DC是 直线
(2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?
4.3公理4
思考4：在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？
师生活动：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，CC1∥BB1，那么AA1与CC1平行吗？（由学生观察得到结论）
公理4 （板书和幻灯片）：平行于同一直线的两直线互相平行．
符号表示：设a、b、c是空间中的三条直线,若a∥b，b∥c，则a∥c
教师与学生共同探出：公理是判断空间直线平行的依据；平行线的性质是具有传递性．
例3：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
师生互动：分析与回顾平行四边形定义，三角形中位线的性质，平行线与等式的传递性，要证明四边形是平行四边形，需要什么条件？师生一起分析解题思路后，学生自己书写证明过程，并抽一名学生到黑板书写，教师点评。
证明：连结BD，
∵ EH是△ABD的中位线，
∴ EH∥BD，且EH=，
同理，FG∥BD，且FG=，
∴ EH∥FG，且EH=FG，
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
变式探究：在例2中，若加条件AC=BD，那么四边形EFGH又是什么图形？
4.4等角定理
思考5：在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”．在空间中，结论是否仍然成立？
教师通过ppt以及直线模型进行展示，由学生得出结论。
等角定理（幻灯片和板书）：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
完善体系：探究刻画异面直线的位置关系，引入异面直线所成的角的概念．
4.5异面直线所成的角
思考6：在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角。夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线如何来刻画呢？
教师与学生共同探讨得到结论：异面直线所成的角可以通过平移变换，把异面直线成角化归成相交直线成角．
异面直线所成角的定义(板书和幻灯片)：如图，已知两异面直线a，b，空间任取一点O，经过点O作直线∥，∥，把与所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角（或称夹角）．
师生共同探讨：O点的选取一般在一条已知直线上，或者某些特殊的点。
异面直线所成角的范围：(0°，90°]
特殊情形，若两异面直线成直角，则称两异面直线互相垂直，记作a⊥b．
直线垂直分为两种：
（1）相交直线的垂直
（2）异面直线的垂直
例3. 在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF所成角是多少呢？
4.6课堂小结
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线
空间两直线的位置关系
2.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
3．等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么它们相等或互补
4．异面角所成的角：平移，转化为相交直线所成的角。
4.7课后思考：