2020-2021学年高中数学人教A版必修二2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 教案
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高中数学人教A版必修二2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 43.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-28 15:36:51 | ||
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文档简介
§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
【教学三维目标】
知识目标：①理解空间中直线与直线之间的三种位置关系,特别是两直线
异面的关系；
②以公理4和等角定理为基础,正确理解异面直线所成角的概
念以及它们的初步应用.
2、能力目标：让学生初步领会将空间问题转化为平面问题的基本思路，培 养学生的空间想象能力.
3、情感目标：培养学生严谨的科学态度.
【教学重点】
1、空间直线与直线之间的位置关系；
2、异面直线的概念及其所成角.
【教学难点】
异面直线的概念，及两异面直线所成角.
【教学方法】
引导发现法.
【教学手段】
多媒体课件、实物模型.
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
【思考】同一平面内，两直线有几种位置关系？分别是？
即：平行直线和相交直线能处在同一平面内，它们是共面直线.空间中，两直线也可平行、相交，此外，有其它的位置关系吗？请看下例.
【实例】
1、天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线平行吗？『不平行』相交吗？『不相交』.它们不平行也不相交，即不能处在同一平面内.
2、立交桥上桥面所在直线与下桥面所在直线平行吗？『不平行』相交吗？『不相交』即它们也不能处在同一平面内.
二、讲授新课
（一）异面直线的概念
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
异面直线的特征为两直线不共面.
（二）空间两直线的位置关系（有且只有三种）
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
强调：异面直线就是不同在任何一个平面内的两条直线.
为了表示异面直线，作图时，通常用一个或两个平面衬托.
（三）异面直线的画法
请同学们拿出昨天画好的平面，画出我摆放的两种图形.（如下图）
问题：右图画法是否正确？
补充两种常见的画法：（投影如下图）
（四）练习反馈
【探究】请大家拿出正方体展开图，将其还原成正方体.找出其中线段AB、CD、EF、GH所在直线有几对异面直线？
【练习】异面直线是指（）
A、没有公共点的两条直线
B、平面内的一条直线和平面外的一条直线
C、既不相交，又不平行的两条直线
D、分别在两个不同平面内的两条直线
答案：C.
（五）公理4
【观察】长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？
学生：平行.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4在平面、空间都适用.它揭示了平行线的传递性，是判断空间两直线平行的依据.接下来，我们来看如何用公理4证明空间两直线平行.
【例2】如图，空间四边形ABCD中， E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
分析：平行四边形的判定有：1）一组对边——『平行且相等』；
2）两组对边——『分别相等』； 3）两组对边——『分别平行』；
4）两组对角——『分别相等』； 5）对角线——『互相平分』.
分析题中已知“E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点”，中点就应想到对应三角形的中位线，则EH是三角形ABD的中位线.连接BD，EH平行且等于BD的一半。同理,FG平行且等于BD的一半.由判定1，得证.
解题过程（略）
【若加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？】
（六）等角定理
平面几何里，我们已证得：如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.空间中，该定理是否适用？
【观察】如图，∠１与∠２的两边
分别对应平行，∠１ = ∠２吗？
【演示】120度角的圆规与60度角的三
角板两边平行.平移可推得两个角互补.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
等角定理中角的两边反向延长就是两直线相交.两直线相交有夹角问题，异面直线也类似.
（七）异面直线所成角
已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把
a′与b′所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）.
【分析】这里涉及到过空间任一点引平行线的问题.
【强调】① 为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0，90°］ ；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.也就是把空间图形问题转化成平面图形问题.这是解决空间几何问题的基本思路.
【探究】长方体中，１）有没有两条棱所在直线是互相垂直的异面直线？
２）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否 也与这条直线垂直？
３）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
【例3】如图，已知正方体
1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
2）直线BA′和CC′的夹角是多少？
3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？
【补充思考】例2，在证得四边形EFGH是菱形之后，若再加上条件AC⊥BD,则此时的菱形又是什么图形？『正方形』
三、课堂练习
课本P48 练习1、2
四、课堂小结
空间中直线与直线之间有且只有三种位置关系
1、平行直线 公理4
2、相交直线 等角定理 异面直线所成角
3、异面直线 概念
整一节课，我们从平面到空间发现问题，而解决问题的方法又逆过来，解决空间图形的基本思路就是：把空间图形问题转化为平面图形问题.
五、作业
书面：课本51页第6题 课外：课本52页第1题
六、板书设计
教案说明
本节通过回顾同一平面内两直线相交和平行的位置关系，引导学生认识平行直线与相交直线都是共面直线，为更好理解空间异面直线不共面的特征做好铺垫．
天安门广场和立交桥实例的引入，旨在引导学生在直观的过程中获得感知，让他们经历从实际背景中抽象出异面直线这种空间图形的过程．从而给出异面直线的概念，并归纳空间两直线仅有的三种位置关系．
摆放图形画异面直线的目的是加深学生对异面直线这种位置关系的认识．正方体展开图的还原，让学生动手探究，进一步加深对异面直线的认识，调动学生的积极性．练习中使用反例旨在帮助学生辨析，同时又能及时反馈学生对异面直线的掌握情况．
公理４的讲解，侧重于空间两直线平行的证明；等角定理的推广在课本“观察”的基础上设计了演示，使学生更直观感知两角相等或互补．
异面直线所成角概念重在讲解如何将空间图形问题转化平面图形问题．探究和例题是以学生熟知的长方体和正方体为载体，使学生在直观感知的基础上，进一步认识空间两条直线之间的位置关系，使学生初步掌握根据定义，定理对空间图形进行推理论证、计算的方法．
补充的思考题，既是例题２的拓展，又是异面直线所成角问题的初步应用，较为综合地体现整节课的知识要点．
【教学三维目标】
知识目标：①理解空间中直线与直线之间的三种位置关系,特别是两直线
异面的关系；
②以公理4和等角定理为基础,正确理解异面直线所成角的概
念以及它们的初步应用.
2、能力目标：让学生初步领会将空间问题转化为平面问题的基本思路，培 养学生的空间想象能力.
3、情感目标：培养学生严谨的科学态度.
【教学重点】
1、空间直线与直线之间的位置关系；
2、异面直线的概念及其所成角.
【教学难点】
异面直线的概念，及两异面直线所成角.
【教学方法】
引导发现法.
【教学手段】
多媒体课件、实物模型.
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
【思考】同一平面内，两直线有几种位置关系？分别是？
即：平行直线和相交直线能处在同一平面内，它们是共面直线.空间中，两直线也可平行、相交，此外，有其它的位置关系吗？请看下例.
【实例】
1、天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线平行吗？『不平行』相交吗？『不相交』.它们不平行也不相交，即不能处在同一平面内.
2、立交桥上桥面所在直线与下桥面所在直线平行吗？『不平行』相交吗？『不相交』即它们也不能处在同一平面内.
二、讲授新课
（一）异面直线的概念
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
异面直线的特征为两直线不共面.
（二）空间两直线的位置关系（有且只有三种）
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
强调：异面直线就是不同在任何一个平面内的两条直线.
为了表示异面直线，作图时，通常用一个或两个平面衬托.
（三）异面直线的画法
请同学们拿出昨天画好的平面，画出我摆放的两种图形.（如下图）
问题：右图画法是否正确？
补充两种常见的画法：（投影如下图）
（四）练习反馈
【探究】请大家拿出正方体展开图，将其还原成正方体.找出其中线段AB、CD、EF、GH所在直线有几对异面直线？
【练习】异面直线是指（）
A、没有公共点的两条直线
B、平面内的一条直线和平面外的一条直线
C、既不相交，又不平行的两条直线
D、分别在两个不同平面内的两条直线
答案：C.
（五）公理4
【观察】长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？
学生：平行.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4在平面、空间都适用.它揭示了平行线的传递性，是判断空间两直线平行的依据.接下来，我们来看如何用公理4证明空间两直线平行.
【例2】如图，空间四边形ABCD中， E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
分析：平行四边形的判定有：1）一组对边——『平行且相等』；
2）两组对边——『分别相等』； 3）两组对边——『分别平行』；
4）两组对角——『分别相等』； 5）对角线——『互相平分』.
分析题中已知“E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点”，中点就应想到对应三角形的中位线，则EH是三角形ABD的中位线.连接BD，EH平行且等于BD的一半。同理,FG平行且等于BD的一半.由判定1，得证.
解题过程（略）
【若加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？】
（六）等角定理
平面几何里，我们已证得：如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.空间中，该定理是否适用？
【观察】如图，∠１与∠２的两边
分别对应平行，∠１ = ∠２吗？
【演示】120度角的圆规与60度角的三
角板两边平行.平移可推得两个角互补.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
等角定理中角的两边反向延长就是两直线相交.两直线相交有夹角问题，异面直线也类似.
（七）异面直线所成角
已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把
a′与b′所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）.
【分析】这里涉及到过空间任一点引平行线的问题.
【强调】① 为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0，90°］ ；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.也就是把空间图形问题转化成平面图形问题.这是解决空间几何问题的基本思路.
【探究】长方体中，１）有没有两条棱所在直线是互相垂直的异面直线？
２）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否 也与这条直线垂直？
３）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
【例3】如图，已知正方体
1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
2）直线BA′和CC′的夹角是多少？
3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？
【补充思考】例2，在证得四边形EFGH是菱形之后，若再加上条件AC⊥BD,则此时的菱形又是什么图形？『正方形』
三、课堂练习
课本P48 练习1、2
四、课堂小结
空间中直线与直线之间有且只有三种位置关系
1、平行直线 公理4
2、相交直线 等角定理 异面直线所成角
3、异面直线 概念
整一节课，我们从平面到空间发现问题，而解决问题的方法又逆过来，解决空间图形的基本思路就是：把空间图形问题转化为平面图形问题.
五、作业
书面：课本51页第6题 课外：课本52页第1题
六、板书设计
教案说明
本节通过回顾同一平面内两直线相交和平行的位置关系，引导学生认识平行直线与相交直线都是共面直线，为更好理解空间异面直线不共面的特征做好铺垫．
天安门广场和立交桥实例的引入，旨在引导学生在直观的过程中获得感知，让他们经历从实际背景中抽象出异面直线这种空间图形的过程．从而给出异面直线的概念，并归纳空间两直线仅有的三种位置关系．
摆放图形画异面直线的目的是加深学生对异面直线这种位置关系的认识．正方体展开图的还原，让学生动手探究，进一步加深对异面直线的认识，调动学生的积极性．练习中使用反例旨在帮助学生辨析，同时又能及时反馈学生对异面直线的掌握情况．
公理４的讲解，侧重于空间两直线平行的证明；等角定理的推广在课本“观察”的基础上设计了演示，使学生更直观感知两角相等或互补．
异面直线所成角概念重在讲解如何将空间图形问题转化平面图形问题．探究和例题是以学生熟知的长方体和正方体为载体，使学生在直观感知的基础上，进一步认识空间两条直线之间的位置关系，使学生初步掌握根据定义，定理对空间图形进行推理论证、计算的方法．
补充的思考题，既是例题２的拓展，又是异面直线所成角问题的初步应用，较为综合地体现整节课的知识要点．