2.1.4 平面与平面之间的位置关系 教学设计——2020-2021学年高一人教A版数学必修二第二章
文档属性
| 名称 | 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 教学设计——2020-2021学年高一人教A版数学必修二第二章 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 173.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-28 15:37:26 | ||
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文档简介
教学设计
课
题
2.1.4
空间中平面与平面之间的位置关系
教材分析
高中数学必修2（人教A版）第二章2.1.4
空间中平面与平面之间的位置关系一节，空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养。
教
学
目
标
1结合图形正确理解空间中平面与平面的位置关系；
2.通过共同讨论，操作确认，培养空间想象力,让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.；
3.
让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
教学重点
平面与平面的相交和平行.
教学难点
空间想象能力的培养
核心素养
a.数学抽象：空间平面与平面位置关系的表示；
b.逻辑推理：空间平面位置关系的判断；
c.数学运算：空间平面与平面位置的分类；
d.直观想象：在空间中确认平面与平面位置；
e.数学建模：熟悉长方体基本模型；
教学环节
师生活动
设计意图
温故而知新
引入新课
新知探究、提出问题
学生思考，小组讨论，组员展示
例题讲解，让本节课的知识效应发挥到最大化
（一）复习[]
1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.
2.直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点,
②直线与平面相交——有且只有一个公共点,
③直线与平面平行——没有公共点.
（二）导入新课
问题1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
问题2：如图所示，围成长方体ABCD
–
A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
平面与平面的位置关系
平面与平面平行——没有公共点.
平面与平面相交——有且只有一条公共直线.
（三）推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做两个平面平行？
②两个平面平行的画法.
③回忆两个平面相交的依据.
④什么叫做两个平面相交?
⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.
活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.
问题②怎样体现两个平面平行的特点.
问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.
问题④回忆公理三.
问题⑤鼓励学生自我训练.
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点.[]
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l.
④两个平面相交——有一条公共直线.
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示
（四）应用示例
例1
已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：直线a与直线b的位置关系为平行或异面.
例2
如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,.
变式训练
α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是(
)
A.α、β都平行于直线l、m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β
D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β
分析：如图7,分别是A、B、C的反例.
答案：D
点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.
例1
α∩β=l,aα,bβ,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.
点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力.
例2
在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
（1）画出l的位置；
（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长.
解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，
则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.QN即为所求作的直线l.如图10.
（2）设QN∩A1B1=P,∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1,
∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N,∴A1P=D1N=C1D1=a.
∴PB1=A1B1－A1P=.
例3
求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内.
已知：l∥，点P∈，P∈m，m∥l
求证：.[]
证明：设l与P确定的平面为，且=
m′，则l∥m′.
又知l∥m，，由平行公理可知，m与m′重合.
所以.
（五）知能训练[]
三棱柱的各面把空间分成几部分?
解：分为21部分.
（六）拓展提升
已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a,
求证：b、c是异面直线.[]
证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.
(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.
(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.
∴ABβ,即bβ.这与b∩β=A矛盾.∴b,c是异面直线.
回顾上节课所学，为本节课做铺垫
（大屏幕展示）
从生活的实例出发，让学生充分体会数学与实际生活的联系，从而使得本节知识的形成更自然、更生动。
让学生学会自我阐释这节课所讲内容
先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
应用本节课知识点解决相关问题
学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
由学生板书进行例题分析解答
老师纠正错误
归纳总结
（七）课堂小结
本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.
由学生回答从而检验听课的状态
课后作业
完成课本51页-52页的A，B组
加强联系，巩固新知
课
题
2.1.4
空间中平面与平面之间的位置关系
教材分析
高中数学必修2（人教A版）第二章2.1.4
空间中平面与平面之间的位置关系一节，空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养。
教
学
目
标
1结合图形正确理解空间中平面与平面的位置关系；
2.通过共同讨论，操作确认，培养空间想象力,让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.；
3.
让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
教学重点
平面与平面的相交和平行.
教学难点
空间想象能力的培养
核心素养
a.数学抽象：空间平面与平面位置关系的表示；
b.逻辑推理：空间平面位置关系的判断；
c.数学运算：空间平面与平面位置的分类；
d.直观想象：在空间中确认平面与平面位置；
e.数学建模：熟悉长方体基本模型；
教学环节
师生活动
设计意图
温故而知新
引入新课
新知探究、提出问题
学生思考，小组讨论，组员展示
例题讲解，让本节课的知识效应发挥到最大化
（一）复习[]
1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.
2.直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点,
②直线与平面相交——有且只有一个公共点,
③直线与平面平行——没有公共点.
（二）导入新课
问题1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
问题2：如图所示，围成长方体ABCD
–
A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
平面与平面的位置关系
平面与平面平行——没有公共点.
平面与平面相交——有且只有一条公共直线.
（三）推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做两个平面平行？
②两个平面平行的画法.
③回忆两个平面相交的依据.
④什么叫做两个平面相交?
⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.
活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.
问题②怎样体现两个平面平行的特点.
问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.
问题④回忆公理三.
问题⑤鼓励学生自我训练.
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点.[]
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l.
④两个平面相交——有一条公共直线.
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示
（四）应用示例
例1
已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：直线a与直线b的位置关系为平行或异面.
例2
如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,.
变式训练
α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是(
)
A.α、β都平行于直线l、m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β
D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β
分析：如图7,分别是A、B、C的反例.
答案：D
点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.
例1
α∩β=l,aα,bβ,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.
点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力.
例2
在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
（1）画出l的位置；
（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长.
解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，
则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.QN即为所求作的直线l.如图10.
（2）设QN∩A1B1=P,∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1,
∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N,∴A1P=D1N=C1D1=a.
∴PB1=A1B1－A1P=.
例3
求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内.
已知：l∥，点P∈，P∈m，m∥l
求证：.[]
证明：设l与P确定的平面为，且=
m′，则l∥m′.
又知l∥m，，由平行公理可知，m与m′重合.
所以.
（五）知能训练[]
三棱柱的各面把空间分成几部分?
解：分为21部分.
（六）拓展提升
已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a,
求证：b、c是异面直线.[]
证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.
(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.
(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.
∴ABβ,即bβ.这与b∩β=A矛盾.∴b,c是异面直线.
回顾上节课所学，为本节课做铺垫
（大屏幕展示）
从生活的实例出发，让学生充分体会数学与实际生活的联系，从而使得本节知识的形成更自然、更生动。
让学生学会自我阐释这节课所讲内容
先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
应用本节课知识点解决相关问题
学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
由学生板书进行例题分析解答
老师纠正错误
归纳总结
（七）课堂小结
本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.
由学生回答从而检验听课的状态
课后作业
完成课本51页-52页的A，B组
加强联系，巩固新知