高中数学人教A版必修三1.1.1《算法的概念》教学设计
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版必修三1.1.1《算法的概念》教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 106.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-28 15:38:47 | ||
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文档简介
§1.1.1《算法的概念》的教学设计
一、整体设计思路
本节课首先通过实际生活中的例子和复习回顾二元一次方程组的求解过程，自然展示求解的“步骤”，从而帮助学生建立算法的概念。可以通过从算法的角度介绍学生熟悉的例子，帮助学生进一步领会算法的思想。接着通过例1和例2设计算法，帮助学生学会用自然语言描述算法。通过这样的教学使学生体会算法设计的基本思路。
二、教材背景
学生在前面的学习中，已经接触过算法的实例，算法的概念早已存在于学生的意识之中，并已经在不同场合被不自觉的“实际使用”过，只是没有明确定义而已，故此时引入概念可谓水到渠成。从古至今算法思想都能在解决问题中得到体现，他不仅是数学及应用的重要组成部分，也是信息技术的重要基础。
三、教材的内容
《 算法的概念》是全日制普通高级中学教科书必修3第一章《算法初步》第一节的内容。《算法初步》是课程标准的新增内容，是数学及其应用的重要组成部分，也是计算科学的基础。
四、教材的地位和作用
算法的概念是算法初步的奠基石，其重要性不言而喻；本节是起始课，不仅应让学生体会概念，认识到这一概念的重要性，还要为进一步的学习程序框图、算法的基本结构和语句奠定基础，而且算法思想是逻辑数学最重要的体现形式，这一切都决定了本节课的重要地位。算法的思想方法几乎贯穿整个高中数学课程的所有章节，如求曲线方程、数学归纳法、数学建模等。算法是连接人和计算机的纽带，是计算机软件的核心。
五、学情分析
学生在以前的学习和生活中已经认识过大量的算法实例，本节课就是在此基础上使学生进一步理解和提炼算法的概念，体会算法的思想。高中学生已经具备了分辨是非的能力，高度的语言概括能力，能够从具体问题中去体会和提炼重要数学思想。
六、教学目标分析
1.知识与技能：
了解算法的含义，体会算法的思想；能够用自然语言叙述算法；掌握正确的算法应满足的要求。
2.过程与方法：
培养学生讨论、交流，合作探究的精神，从而培养学生的逻辑思维能力归纳总结、提炼概括的能力。
3.情感态度与价值观：
让学生了解我国古代数学的辉煌成就，增加数学课堂的趣味性，培养学生学习数学的兴趣，热爱数学学科。
七、教学重点与难点
重点：理解算法的概念及其特点，体会算法思想，能用自然语言描述算法。
难点：根据算法实例抽象概括算法的概念和特点，依据概念设计算法。
八、教法学法分析
教法：问题引导、合作探究教学方法。
学法：从经验中提炼概念，再从设计运用中深化对概念的认识，最后从算法的提炼中进一步渗透算法的思想，即从特殊——一般——特殊。
九、教学基本流程设计
兴趣设景，初识算法→借助解决问题，引入算法→分析归纳，得到算法概念→算法应用,体会思想→借助问题,归纳小结→课后练习，检测效果
十、教学情境设计
1、兴趣设景，初识算法
师：（1）赵本山2000春晚小品《钟点工》片段：大象装冰箱分几步？
生：模仿回答
第一步：把冰箱门打开
第二步：把大象装进去
第三步：把冰箱门带住
（2）央视幸运52节目中,有一种有趣的“猜数”游戏:现有一商品,价格在0到8000元之间,釆取怎样的策略才能在较短的时间内说出正确的答案呢?
第一步:报"4000";
第二步:若答"高了",就报"2000";否则报"6000";
第三步:重复第二步的报数方法,直至得到正确结果。
（3）请你说出登录腾讯QQ的步骤.（电脑已经打开）
第一步：打开QQ程序。
第二步：输入QQ号码。
第三步：输入密码。
第四步：点击登录。
（4）简易做饭：如何做速冻食品三全馄炖？
师：这四份材料中解决问题的共同特点是什么？
生：有步骤 师：对，步骤即算法的知识。
设计意图：以学生熟悉的问题引入算法，降低新课难度，有利于学生认识算法；增加课堂的趣味性。
教师：从这节课开始，我们就学习算法初步的知识；在这些学习中我们将学习算法的概念。现在把课本打开，看算法初步这一章的章头。
教师介绍：图中的后景取自宋朝数学家朱世杰的数学作品《四元玉鉴》，前景有算筹、算盘、计算机．
设计意图：要充分挖掘章头图教学价值；了解算法应用的广泛性；让学生了解了解中国古代数学的辉煌成就；从而让学生对数学产生兴趣，热爱数学学科。
2、借助解决问题，引入算法
【问题1】请同学们解二元一次方程组
x-2y=-1, ①
2x+y=1, ②
展示（用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。）
设计意图：学生解特殊二元一次方程组基本步骤的基础上．共同探究一般性的解法，让学生明白算法是用来解决某一类问题的，从而提高学生对算法的普遍适用性的认识，进一步体会算法的思想和设计方法
【问题2】
设计意图：在复习解特殊二元一次方程组基本步骤的基础上．进一步复习回顾解一般的二元一次方程组的步骤，从而提高学生对算法的普遍适用性的认识，使学生认识到算法往往适合解决的是一类问题，为建立算法的概念做好铺垫.通过教师事先编好的程序的演示，让学生感受算法研究的价值.
师生活动：教师在提出问题后，可以让学生来说出其解题步骤.
对于一般的二元一次方程组,其中a1b2-a2b1≠0,设计一个算法。
第一步：④×b2-⑤×b1,得(a1b2-a2b1)x=b2c1- b1c2, ⑥
第二步：解⑥,得
第三步：，⑤×a1-④×a2,得(a1b2-a2b1)y=a1c2- a2c1. ⑦
第四步：解⑦，得.
第五步：得到方程组的解为
3、分析归纳，得到算法概念
问题3：到底什么是算法？如何表达算法的含义？
设计意图：有了上面所举实例，学生对算法的概念开始有了一些认识，但对概念的比较全面的描述还有一定的困难.教师在此处设问后，再通过帮助学生回顾上面关于算法的实例，引导学生进行归纳总结.让学生切实参与到概念的形成过程中来.
师生活动：教师在提出问题后，可以先让学生用自己的语言表达对算法思想的理解，在学生回答的基础上教师进行归纳帮助学生建立算法的概念.
教师指出:算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
在数学中，现代意义的“算法”是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。
4、算法应用,体会思想
例1：设计一个算法，判断7是否为质数.
分析：根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数。
根据以上分析，可定出如下算法：
第一步，用2除7，得到余数1。因为余数不为0，所以2不能整除7。
第二步，用3除7，得到余数1。因为余数不为0，所以3不能整除7。
第三步，用4除7，得到余数3。因为余数不为0，所以4不能整除7。
第四步，用5除7，得到余数2。因为余数不为0，所以5不能整除7。
第五步，用6除7，得到余数1。因为余数不为0，所以6不能整除7。
设计意图：帮助学生学习算法的自然语言描述.然后通过一连串问题的追问，由浅入深，由特殊到一般.学习用递归语言表达有循环的算法问题.通过计算机演示，让学生感受算法研究的价值.
师生活动：教师引导学生回忆质数的概念，提出如下一系列问题帮助学生形成解决问题的基本步骤，也就自然完成了一个算法的设计.
师： 类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法。
第一步，用2除35，得到余数1。因为余数不为0，所以2不能整除35。
第二步，用3除35，得到余数2。因为余数不为0，所以3不能整除35。
第三步，用4除35，得到余数3。因为余数不为0，所以4不能整除35。
第四步，用5除35，得到余数0。因为余数为0，所以5能整除35。
因此35不是质数。
师：由上两个你能写出判断2011、2013是否为质数的算法？
生：能，如果给出足够时间的话。
师：几分钟内怎样？提出疑惑，引出设计算法的通法，让计算机完成。
变式： 设计算法判断任意一个大于2的正整数n是否是质数。
师生探究：根据以上分析，对于任意大于2的正整数n，判断它是否为质数的算法如下：
第一步 给出大于2的正整数
第二部 令i=2
第三部 用i 除n，得到余数r
第四部 判断“r=0”是否成立。若是则n 不是质数，结束算法；否则将 i 的值增加１，仍用 i表示
第五步 判断 “i >（n－１）” 是否成立。若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步。
设计意图：由学生已有的认识水平出发，创设学生可以完成的实例情境，让学生认识求解结构中存在”重复”，为导出一般问题的算法创造条件。
例2.写出用 “二分法”求方程的近似解的算法.
设计意图：二分法是算法中的经典问题，具有明显的顺序和可操作的特点．安排这样一个例题既可以让学生进一步领会算法的思想，同时也可以达到巩固用自然语言描述的算法，提高用自然语言描述算法的表达水平.
师生活动：教师先引导学生回顾二分法求方程近似解的方法，然后引导学生说出解决该问题的每一个步骤，形成本例算法.
【算法分析】
令,则方程的解就是函数的零点。
“二分法”的基本思想是：把函数的零点所在的区间[a,b]﹝满足﹞“一分为二”，得到[a,m]和[m,b].根据“”是否成立，取出零点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为[a,b]。对所得的区间[a,b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a,b]“足够小”，则[a,b]内的数可以作为方程的近似解。
根据以上分析可以写出如下算法：
第一步，令，给定精确度d.
第二步，确定区间[a,b]，满足。
第三步，取区间中点.
第四步，若，则含零点的区间为[a,m]；否则，含零点的区间为[m,b]。将新得到的含零点的区间仍记为[a,b]。
第五步，判断[a,b]的长度是否小于d或是否等于0。若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步。
当d=0.005时，按照以上算法，可得到下图和下表。
a b ︱a-b︱
1 2 1
1 1.5 0.5
1.25 1.5 0.25
1.375 1.5 0.125
1.375 1.437 5 0.062 5
1.406 25 1.437 5 0.031 25
1.406 25 1.421 875 0.015 625
1.414 062 5 1.421 875 0.007 812 5
1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25
在得到算法后，教师可以带领学生看书,阅读课本第4页上有关内容.并说明按以上步骤，我们将依次得到课本第4页的表1-1和图1.1-1.于是，开区间（1.4140625，1.41796875）中的实数都是满足假设条件的原方程是近似解.
5、借助问题,归纳小结
将本节的主要内容以问题的形式呈现，让学生通过思考和回答问题，达到回顾和总结的目的．
问题1：你能举出更多算法的例子吗？
设计意图：以举例的形式使学生体会算法的思想，以此评价他们对算法的概念以及特征的领会情况.
师生活动：学生举例，师生共同评价.
问题2：与一般解决问题的过程相比，你认为算法最重要的特征是什么？
设计意图：通过让学生思考回答来评价他们对算法的特征中顺序、确定、有限的步骤的领会情况．同时提高学生的总结、归纳、表达能力.
师生活动：在学生回答的基础上，引导他们归纳：与一般解决问题的步骤相比,算法具有顺序性、有限性、明确性等特点.
6、课后练习，检测效果
（1）回顾本课的学习过程，整理学习笔记。
（2）完成书面作业：课本P4 练习1、2
【板书设计】
十一、教学评价与反思
本节算法对学生来说并不陌生.生活中很多问题是按照指定的要求一步步解决的.初中学习的列方程解应用题的步骤、求二元一次方程组的解的过程等，都是算法的典型体现.算法的实质是将人的思维过程处理成计算机能够一步一步执行的步骤，进而转化为一步一步执行的程序.这种处理问题的方式，学生以往有一些经验，如教师对某些题型总结的较为固定的解题步骤.不过这种经验并没有得到应有的升华.只有在完整地学习了算法后，学生才能把这些知识提升到新的高度来认识.
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一、整体设计思路
本节课首先通过实际生活中的例子和复习回顾二元一次方程组的求解过程，自然展示求解的“步骤”，从而帮助学生建立算法的概念。可以通过从算法的角度介绍学生熟悉的例子，帮助学生进一步领会算法的思想。接着通过例1和例2设计算法，帮助学生学会用自然语言描述算法。通过这样的教学使学生体会算法设计的基本思路。
二、教材背景
学生在前面的学习中，已经接触过算法的实例，算法的概念早已存在于学生的意识之中，并已经在不同场合被不自觉的“实际使用”过，只是没有明确定义而已，故此时引入概念可谓水到渠成。从古至今算法思想都能在解决问题中得到体现，他不仅是数学及应用的重要组成部分，也是信息技术的重要基础。
三、教材的内容
《 算法的概念》是全日制普通高级中学教科书必修3第一章《算法初步》第一节的内容。《算法初步》是课程标准的新增内容，是数学及其应用的重要组成部分，也是计算科学的基础。
四、教材的地位和作用
算法的概念是算法初步的奠基石，其重要性不言而喻；本节是起始课，不仅应让学生体会概念，认识到这一概念的重要性，还要为进一步的学习程序框图、算法的基本结构和语句奠定基础，而且算法思想是逻辑数学最重要的体现形式，这一切都决定了本节课的重要地位。算法的思想方法几乎贯穿整个高中数学课程的所有章节，如求曲线方程、数学归纳法、数学建模等。算法是连接人和计算机的纽带，是计算机软件的核心。
五、学情分析
学生在以前的学习和生活中已经认识过大量的算法实例，本节课就是在此基础上使学生进一步理解和提炼算法的概念，体会算法的思想。高中学生已经具备了分辨是非的能力，高度的语言概括能力，能够从具体问题中去体会和提炼重要数学思想。
六、教学目标分析
1.知识与技能：
了解算法的含义，体会算法的思想；能够用自然语言叙述算法；掌握正确的算法应满足的要求。
2.过程与方法：
培养学生讨论、交流，合作探究的精神，从而培养学生的逻辑思维能力归纳总结、提炼概括的能力。
3.情感态度与价值观：
让学生了解我国古代数学的辉煌成就，增加数学课堂的趣味性，培养学生学习数学的兴趣，热爱数学学科。
七、教学重点与难点
重点：理解算法的概念及其特点，体会算法思想，能用自然语言描述算法。
难点：根据算法实例抽象概括算法的概念和特点，依据概念设计算法。
八、教法学法分析
教法：问题引导、合作探究教学方法。
学法：从经验中提炼概念，再从设计运用中深化对概念的认识，最后从算法的提炼中进一步渗透算法的思想，即从特殊——一般——特殊。
九、教学基本流程设计
兴趣设景，初识算法→借助解决问题，引入算法→分析归纳，得到算法概念→算法应用,体会思想→借助问题,归纳小结→课后练习，检测效果
十、教学情境设计
1、兴趣设景，初识算法
师：（1）赵本山2000春晚小品《钟点工》片段：大象装冰箱分几步？
生：模仿回答
第一步：把冰箱门打开
第二步：把大象装进去
第三步：把冰箱门带住
（2）央视幸运52节目中,有一种有趣的“猜数”游戏:现有一商品,价格在0到8000元之间,釆取怎样的策略才能在较短的时间内说出正确的答案呢?
第一步:报"4000";
第二步:若答"高了",就报"2000";否则报"6000";
第三步:重复第二步的报数方法,直至得到正确结果。
（3）请你说出登录腾讯QQ的步骤.（电脑已经打开）
第一步：打开QQ程序。
第二步：输入QQ号码。
第三步：输入密码。
第四步：点击登录。
（4）简易做饭：如何做速冻食品三全馄炖？
师：这四份材料中解决问题的共同特点是什么？
生：有步骤 师：对，步骤即算法的知识。
设计意图：以学生熟悉的问题引入算法，降低新课难度，有利于学生认识算法；增加课堂的趣味性。
教师：从这节课开始，我们就学习算法初步的知识；在这些学习中我们将学习算法的概念。现在把课本打开，看算法初步这一章的章头。
教师介绍：图中的后景取自宋朝数学家朱世杰的数学作品《四元玉鉴》，前景有算筹、算盘、计算机．
设计意图：要充分挖掘章头图教学价值；了解算法应用的广泛性；让学生了解了解中国古代数学的辉煌成就；从而让学生对数学产生兴趣，热爱数学学科。
2、借助解决问题，引入算法
【问题1】请同学们解二元一次方程组
x-2y=-1, ①
2x+y=1, ②
展示（用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。）
设计意图：学生解特殊二元一次方程组基本步骤的基础上．共同探究一般性的解法，让学生明白算法是用来解决某一类问题的，从而提高学生对算法的普遍适用性的认识，进一步体会算法的思想和设计方法
【问题2】
设计意图：在复习解特殊二元一次方程组基本步骤的基础上．进一步复习回顾解一般的二元一次方程组的步骤，从而提高学生对算法的普遍适用性的认识，使学生认识到算法往往适合解决的是一类问题，为建立算法的概念做好铺垫.通过教师事先编好的程序的演示，让学生感受算法研究的价值.
师生活动：教师在提出问题后，可以让学生来说出其解题步骤.
对于一般的二元一次方程组,其中a1b2-a2b1≠0,设计一个算法。
第一步：④×b2-⑤×b1,得(a1b2-a2b1)x=b2c1- b1c2, ⑥
第二步：解⑥,得
第三步：，⑤×a1-④×a2,得(a1b2-a2b1)y=a1c2- a2c1. ⑦
第四步：解⑦，得.
第五步：得到方程组的解为
3、分析归纳，得到算法概念
问题3：到底什么是算法？如何表达算法的含义？
设计意图：有了上面所举实例，学生对算法的概念开始有了一些认识，但对概念的比较全面的描述还有一定的困难.教师在此处设问后，再通过帮助学生回顾上面关于算法的实例，引导学生进行归纳总结.让学生切实参与到概念的形成过程中来.
师生活动：教师在提出问题后，可以先让学生用自己的语言表达对算法思想的理解，在学生回答的基础上教师进行归纳帮助学生建立算法的概念.
教师指出:算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
在数学中，现代意义的“算法”是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。
4、算法应用,体会思想
例1：设计一个算法，判断7是否为质数.
分析：根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数。
根据以上分析，可定出如下算法：
第一步，用2除7，得到余数1。因为余数不为0，所以2不能整除7。
第二步，用3除7，得到余数1。因为余数不为0，所以3不能整除7。
第三步，用4除7，得到余数3。因为余数不为0，所以4不能整除7。
第四步，用5除7，得到余数2。因为余数不为0，所以5不能整除7。
第五步，用6除7，得到余数1。因为余数不为0，所以6不能整除7。
设计意图：帮助学生学习算法的自然语言描述.然后通过一连串问题的追问，由浅入深，由特殊到一般.学习用递归语言表达有循环的算法问题.通过计算机演示，让学生感受算法研究的价值.
师生活动：教师引导学生回忆质数的概念，提出如下一系列问题帮助学生形成解决问题的基本步骤，也就自然完成了一个算法的设计.
师： 类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法。
第一步，用2除35，得到余数1。因为余数不为0，所以2不能整除35。
第二步，用3除35，得到余数2。因为余数不为0，所以3不能整除35。
第三步，用4除35，得到余数3。因为余数不为0，所以4不能整除35。
第四步，用5除35，得到余数0。因为余数为0，所以5能整除35。
因此35不是质数。
师：由上两个你能写出判断2011、2013是否为质数的算法？
生：能，如果给出足够时间的话。
师：几分钟内怎样？提出疑惑，引出设计算法的通法，让计算机完成。
变式： 设计算法判断任意一个大于2的正整数n是否是质数。
师生探究：根据以上分析，对于任意大于2的正整数n，判断它是否为质数的算法如下：
第一步 给出大于2的正整数
第二部 令i=2
第三部 用i 除n，得到余数r
第四部 判断“r=0”是否成立。若是则n 不是质数，结束算法；否则将 i 的值增加１，仍用 i表示
第五步 判断 “i >（n－１）” 是否成立。若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步。
设计意图：由学生已有的认识水平出发，创设学生可以完成的实例情境，让学生认识求解结构中存在”重复”，为导出一般问题的算法创造条件。
例2.写出用 “二分法”求方程的近似解的算法.
设计意图：二分法是算法中的经典问题，具有明显的顺序和可操作的特点．安排这样一个例题既可以让学生进一步领会算法的思想，同时也可以达到巩固用自然语言描述的算法，提高用自然语言描述算法的表达水平.
师生活动：教师先引导学生回顾二分法求方程近似解的方法，然后引导学生说出解决该问题的每一个步骤，形成本例算法.
【算法分析】
令,则方程的解就是函数的零点。
“二分法”的基本思想是：把函数的零点所在的区间[a,b]﹝满足﹞“一分为二”，得到[a,m]和[m,b].根据“”是否成立，取出零点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为[a,b]。对所得的区间[a,b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a,b]“足够小”，则[a,b]内的数可以作为方程的近似解。
根据以上分析可以写出如下算法：
第一步，令，给定精确度d.
第二步，确定区间[a,b]，满足。
第三步，取区间中点.
第四步，若，则含零点的区间为[a,m]；否则，含零点的区间为[m,b]。将新得到的含零点的区间仍记为[a,b]。
第五步，判断[a,b]的长度是否小于d或是否等于0。若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步。
当d=0.005时，按照以上算法，可得到下图和下表。
a b ︱a-b︱
1 2 1
1 1.5 0.5
1.25 1.5 0.25
1.375 1.5 0.125
1.375 1.437 5 0.062 5
1.406 25 1.437 5 0.031 25
1.406 25 1.421 875 0.015 625
1.414 062 5 1.421 875 0.007 812 5
1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25
在得到算法后，教师可以带领学生看书,阅读课本第4页上有关内容.并说明按以上步骤，我们将依次得到课本第4页的表1-1和图1.1-1.于是，开区间（1.4140625，1.41796875）中的实数都是满足假设条件的原方程是近似解.
5、借助问题,归纳小结
将本节的主要内容以问题的形式呈现，让学生通过思考和回答问题，达到回顾和总结的目的．
问题1：你能举出更多算法的例子吗？
设计意图：以举例的形式使学生体会算法的思想，以此评价他们对算法的概念以及特征的领会情况.
师生活动：学生举例，师生共同评价.
问题2：与一般解决问题的过程相比，你认为算法最重要的特征是什么？
设计意图：通过让学生思考回答来评价他们对算法的特征中顺序、确定、有限的步骤的领会情况．同时提高学生的总结、归纳、表达能力.
师生活动：在学生回答的基础上，引导他们归纳：与一般解决问题的步骤相比,算法具有顺序性、有限性、明确性等特点.
6、课后练习，检测效果
（1）回顾本课的学习过程，整理学习笔记。
（2）完成书面作业：课本P4 练习1、2
【板书设计】
十一、教学评价与反思
本节算法对学生来说并不陌生.生活中很多问题是按照指定的要求一步步解决的.初中学习的列方程解应用题的步骤、求二元一次方程组的解的过程等，都是算法的典型体现.算法的实质是将人的思维过程处理成计算机能够一步一步执行的步骤，进而转化为一步一步执行的程序.这种处理问题的方式，学生以往有一些经验，如教师对某些题型总结的较为固定的解题步骤.不过这种经验并没有得到应有的升华.只有在完整地学习了算法后，学生才能把这些知识提升到新的高度来认识.
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