7.3.2
复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义
复数的三角形式乘、除运算的三角表示是对其代数形式乘除运算数形结合的产物，其几何意义充分揭示了其平面图形的变化规律.本节教材内容主要就复数的三角形式乘、除运算及其几何意义进行基本阐述.
课程目标：
1.掌握会进行复数三角形式的乘除运算；?
2.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.
数学学科素养
1.数学运算：复数的三角形式乘、除运算;
2.直观想象：复数的三角形式乘、除运算的几何意义;
3.数学建模：结合复数的三角形式乘、除运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用，培养学生对数学的学习兴趣.
重点：复数三角形式的乘除运算．
难点：复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.
教学工具：多媒体.
情景导入
复数的代数形式有乘除运算，那么复数的三角形式是否可以乘、除运算？如果可以，又以什么规律进行运算？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本86-89页，思考并完成以下问题
1、复数的三角形式乘、除运算如何进行？
2、复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义是？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、复数三角形式的乘法及其几何意义
设的三角形式分别是：
简记为
：模数相乘，幅角相加
几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．
2、复数三角形式的除法及其几何意义
设的三角形式分别是：
简记为
：模数相除，幅角相减
几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．
四、典例分析、举一反三
题型一
复数的三角形式乘法运算
例1已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.
【答案】;详见解析
【解析】
.
首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量（如图）.即为积所对应的向量.
解题技巧（复数的三角形式乘法运算的注意事项）
两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加.
跟踪训练一
1．计算下列各式：
（1）；
（2）；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
.
（2）
.
题型二
复数的三角形式除法运算
例2
计算.
【答案】
【解析】原式.
解题技巧：
(复数的三角形式除法运算的注意事项)
两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角。简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减.
跟踪训练二
1．计算下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
.
（2）
.
题型三
复数的三角形式乘、除运算的几何意义
例3
如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.
【答案】
【解析】
向量对应的复数为
.
解题技巧（复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项）
复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．
复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．
跟踪训练三
1．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）.
【答案】逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：；按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为
【解析】将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：
.
将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
7
.3
.
2
复数的
三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义
1.
复数的三角形式乘法运算及其几何意义
例
1
例2
2.
复数的三角形式除法运算及其几何意义
例
3
)
七、作业
课本89页练习，89页习题7.3的剩余题.
本节课主要复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义三种题型对本节课知识进行讲解，由于本节课知识规律性比较强，所以学生掌握起来比较快捷.但是再理解其几何意义时，旋转方向是学生易忽略的地方，需多强调.7.3.1
复数的三角表示式
《复数的三角形式》是复数这一章中的一个重要内容，引进复数三角式的依据是复数的几何意义和三角函数的定义，它是数形结合的产物，有了它就可借助三角知识帮助处理复数的一些问题.
课程目标：
1.
掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化;?
2.
培养学生的转化，推理及运算能力;
3.
通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.
数学学科素养
1.数学抽象：复数三角表示的理解;
2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;
3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.
重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．
难点：复数三角表达式的理解.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.
教学工具：多媒体.
情景导入
提问：
1、如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?
2、我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本83-85页，思考并完成以下问题
1、什么是辐角，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？
2、复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？
3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1
.复数的辐角
以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。
适合于
0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即
0≤arg
z<2π.
2.复数的三角表达式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
注意：复数三角形式的特点
模非负，角相同，余弦前，加号连
3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
四、典例分析、举一反三
题型一
复数的三角形式
例1 下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1)
z1＝
cos
60°＋isin
30°
；
(2)
z2＝2(cos
－isin
)；
(3)
z3＝－sin
θ＋icos
θ
.
【答案】(1)
z1＝(cos
＋isin
)．
(2)
z2＝2(cos
＋isin).
(3)
z3＝cos
(＋θ)＋isin
(＋θ)
.
【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．
z1＝cos
60°＋isin
30°＝＋i，模r＝＝，cos
θ＝，
与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝.
即z1＝cos
60°＋isin
30°＝(cos
＋isin
)．
(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2cos
，－2sin
)在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－”变换到第四象限．
所以z2＝2(cos
－isin
)＝2[(cos(2π－)＋isin
(2π－)]＝2(cos
＋isin)．
(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sin
θ，cos
θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．
所以z3＝
－sin
θ＋icos
θ＝cos
(＋θ)＋isin
(＋θ)
.
解题技巧（复数三角形式的判断依据和变形步骤）
(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．
(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.
跟踪训练一
1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1)z1＝2(cos
π＋isin
π)
；
(2)
z2＝(cosπ－isinπ)；
(3)
z3＝
－2(cos
θ＋isin
θ)．
【答案】(1)是三角形式．
(2)
z2＝(cosπ＋isin
π)．
(3)
z3＝2[cos(π＋θ)＋isin
(π＋θ)]．
【解析】(1)z1＝2(cos
π＋isin
π)符合三角形式的结构特征，是三角形式．
(2)由“加号连”知，不是三角形式．
z2＝(cosπ－isinπ)＝－－i，
模r＝，cos
θ＝－.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝π，
即z2＝(cos
π－isinπ)＝(cosπ＋isin
π)．
(3)
由“模非负”知，不是三角形式．
复平面上的点Z1(－2cos
θ，－2sin
θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos
θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cos
θ＋isin
θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin
(π＋θ)]．
题型二
复数的代数形式表示成三角形式
例2
画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;
【解析】（1）复数对应的向量如图所示，
则.
因为与对应的点在第一象限，所以.
于是.
（2）复数对应的向量如图所示，
则.
因为与对应的点在第四象限，所以.
于是.
当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.
解题技巧：
(复数的代数形式化三角形式的步骤)
(1)先求复数的模；
(2)决定辐角所在的象限；
(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；
(4)写出复数的三角形式．
跟踪训练二
1．把下列复数表示成三角形式：
(1)1；(2)－2i；(3)－i;
(4)－2(sin＋icos)．
【答案】(1)
1＝cos
0＋isin
0.
(2)－2i＝2(cos
＋isin
)．
(3)－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．
(4)－2(sin
＋icos)＝2(cos
＋isin
)．
【解析】(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos
0＋isin
0.
(2)
r＝2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(－2i)＝.所以－2i＝2(cos
＋isin
)．
(3)
r＝2，对应的点在第四象限，且cos
θ＝，所以取θ＝－.
所以－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．
(4)－2(sin＋icos)＝－＋i，r＝2，
对应的点在第二象限，且cos
θ＝－，所以取θ＝.所以－2(sin
＋icos)＝2(cos
＋isin
)．
题型三
把复数表示成代数形式
例3
分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：
（1）；（2）.
【答案】（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,
（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,
【解析】（1）复数的模，一个辐角，
对应的向量如图所示.
所以.
（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.
所以
.
解题技巧（把复数表示成代数形式的注意事项）
（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．
（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．
跟踪训练三
1．把下列复数表示成代数形式：
(1)z1＝3(cos
＋isin
)；
(2)z2＝2[cos(－)＋isin
(－)]；
(3)z3＝5(cos
135°＋isin
135°)．
【答案】(1)z1＝＋i.
(2)z2＝－2i.
(3)z3＝－＋i.
【解析】(1)z1＝3(cos
＋isin)
＝3×＋3×i＝＋i.
(2)z2＝2[cos(－)＋isin(－)]
＝2×0＋2×(－1)i
＝－2i.
(3)z3＝5(cos
135°＋isin
135°)
＝5×(－)＋5×i＝－＋i.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
7
.3
.
1
复数的
三角表示式
1.
复数的辐角
例
1
例2
例
3
2.
复数的三角表示式
特点：
3
、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
)
七、作业
课本86页练习，89页习题7.3的1、2题.
本节课主要是在学生了解复数的代数形式及向量知识的基础上，探索复数的另一种表示方法，对于本节题型，注重让学生总结解题技巧，便于学生对知识有更系统的认知.
