2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章1.1.2 弧度制（2）教案

1.1.1 弧度制
【学情分析】：（适用于特色班）
教学对象是高一的学生，在前面已经系统学习了任意角的概念，学生对用角度来表示角已经相当熟练，在此基础上引进角的另一种度量方式——弧度制。由于这种度量方式的定义较抽象，是以比值来定义角的大小，不像角度制那样可以看得见，能体会得到，而高一学生的抽象思维水平发展有限，因此应多结合具体实例来说明弧度制的合理性和必要性，从具体实例出发，慢慢抽象概括，最后得角的弧度制定义，这符合学生的认知规律。
【教学三维目标】：
一、知识与技能
1、1弧度的角的定义；
2、弧度制的定义；
3、角度与弧度的换算；
4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式；
5、角的集合与实数集之间建立的一一对应关系；
二、过程与方法
1、理解1弧度的角、弧度制的定义；
2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；
3、熟记特殊角的弧度数；
4、理解角的集合与实数集之间建立的一一对应关系；
5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题；
三、情感态度与价值观
使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.
【教学重点】：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
【教学难点】：理解弧度制定义，弧度制的运用.
【课前准备】：计算器、投影机、三角板
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一、复习引入
【创设情境】
1、度量角的大小第一种单位制—角度制的定义
初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？
规定周角的作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为
2、探究
30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l，再计算弧长与半径的比
结论：圆心角不变，则比值不变，
因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制
直接抛出弧度制的定义。
二、探究新知
【探究新知】
1． 定义：长度等1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad

探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角= rad、周角=2 rad）
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同
⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同
2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360=2 rad ∴180= rad
∴ 1=

在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
角度
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合 实数集R
教师出示例题：例1.按照下列要求,把化成弧度:
精确值；
精确到0.001的近似值.
解：（1）因为，
所以
（2）略
教师出示例题：例2.将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad ， sin表示rad角的正弦；
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
角度
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π

教师出示例题：例3：用弧度制表示：
1、终边在轴上的角的集合
2、终边在轴上的角的集合
3、终边在坐标轴上的角的集合
解：1、终边在轴上的角的集合
2、终边在轴上的角的集合
3、终边在坐标轴上的角的集合
教师出示例题：例4. 计算和
解：∵ ∴
∴
5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：；
1．弧长公式：
由公式： 比公式简单
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
2．扇形面积公式 或 其中是扇形弧长，是圆的半径
证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
弧长为的扇形圆心角为
∴
比较这与扇形面积公式 要简单。
小结：由上看出，采用弧度制时，弧长公式和面积公式简单了，这正是引入弧度制的原因之一。
教师出示例题：例5. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．
解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l，半径为r，
由题意：
∴ 或 ∴ =3 或
教师出示例题：例6.一扇形周长为20cm，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
分析：最值问题途径有二：一是利用几何意义，从图中直接找到（本例不好找）；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函数的方法解决。
解：设扇形中心角为，半径为，则
，
当时，，此时 .
小结：研究实际应用问题的最值问题，往往是将其转化为二次函数的最值问题，这是经常运用的数学思想方法。
变式引申：在扇形中，，弧的长为，求此扇形内切圆的面积。
分析：为直角三角形，因而其内切圆半径（、为直角三角形的两直角边，为斜边），并注意结合弧长公式，则问题迎刃而解。
解：如图1-2-6所示，设扇形所在圆面半径为，此扇形内切圆半径为，则，，
故，则内切圆的面积。
教师出示例题：例7.一条弦的长度等于半径，求（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积。
分析：由已知可知圆心角的大小为，然后用公式求解
解：（1）如图1-2-7所示，半径为的
中弦，则为等边三角形，所以，则弦所对的劣弧长为。
（2）
小结：图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例把弓形看成是扇形与三角形的差组成的，即可运用已知知识解决所要求解的问题。
变式引申：1弧长的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹扇形的面积。
解：如图1-2-8所示，作于，则为的中点，且，所以
，
面积
直接给出角度制与弧度制的换算.
用图示表示出角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
例1、例2都是角度与弧度的换算，在教学时，“度”的单位“°，′，″”不能省略。
采用弧度制时，弧长公式和扇形面积公式简单了.这正是引入弧度制的原因之一.
熟悉公式的应用。
加深公式的应用。
三、练习巩固 1.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .
2.7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .
3.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .
参考答案：
1.｛α｜2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，｛α｜kπ＜α＜＋kπ，k∈Z｝
2.一 7－2π
3. 巩固知识，培养技能.
四、拓展与提高 1．已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A∩B.
2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
3.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.
4.时钟经过一小时，时针转过了( )
A. rad B.－ rad C. rad D.－rad
5.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是( )
参考答案：
1.A∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝
2. B
3.
4. B
5.D 引导学会逆向思考.
加深对角的概念及相关性质的理解.进一步巩固知识，培养技能.
五、小结 1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数
用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 反思归纳，培养学生反思数学思想方法的习惯。
六、作业 见练习与测试 巩固新知。