10.1.1有限样本空间与随机事件
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《10.1.1有限样本空间与随机事件》，本节课通过对具体事例，帮助学生建立随机实验的概念，并通过对随机实验结果的数量表示，建立样本空间的概念，为概率的学习打好基础。并加深对概率思想方法的理解。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标
学科素养
A.理解随机试验的概念及特点
B.理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间
C.理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质
1.数学建模：随机实验及样本空间的概念
2.逻辑推理：分析随机实验的样本空间
3.数学运算：计算随机实验的样本空间
4.数据分析：会求所给试验的样本点和样本空间；
1.教学重点：随机试验的概念及特点；
2.教学难点：
理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间；
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、温故知新
概率论的产生和发展
概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，
但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的源泉。
传说早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，
A赢了4局，
B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才理？
这个问题让帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷兰著名的数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的一部著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。
在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率.
本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质.
随机现象普遍存在，有的简单有的复杂，有的只有有限个可能结果，有的有无穷个可能结果；这里的无穷又分为两种，即可列无穷和不可列无穷，例如，对掷硬币试验，等待首次出现正面朝上所需的试验次数，具有可列无穷个可能结果；而预测某地7月份的的降水量，可能结果则充满某个区间，其可能结果不能一一列举，即有不可列无穷个可能结果.所以，常见的概率模型有两类，即离散型概率模型和连续型概率模型.高中阶段主要研究离散型概率模型.
研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从班级随机选择10名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分囊数；记录某地区7月份的降雨量等等.
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（random
experiment),简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
思考1：体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
共有10种可能结果.
所有可能结果可用集合表示为:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
样本点是随机试验的每个可能的基本结果，样本空间是全体样本点的集合.关于什么是基本结果,只能直观描述,无法严格定义.
我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,
ω2,...,
ωn,则称样本空间Ω={ω1,
ω2,...,
ωn,}为有限样本空间.
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间（sample
space).
一般地，我们用Ω(欧米伽)表示样本空间，用ω表示样本点.
例如，抛掷一对骰子，建立包含36个样本点的样本空间Ω1={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5,6}},其中每个结果就是基本结果，
如果建立只包含4个可能结果的样本空间
Ω2={(偶，偶）,(偶，奇）,(奇，偶）,(奇，奇）},
其中每个元素就不能认为是基本结果.
因为在样本空间Ω2中无法求“点数之和为5”的概率.
例1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。
解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω
=(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，
t表示“反面朝上”，则样本空间Ω
={h,t}.
例2
.抛掷一枚骰子（touzi),观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.
解：用i表示朝上面的“点数为i”，
因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，
所以试验的样本空间可以表示为Ω
={1,2,3,4,5,6}.
构建样本空间，这是将实际问题数学化的关键步骤，其作用体现在：可以利用集合工具（语言）描述概率问题，能用数学语言严格刻画随机事件的概念，通过与集合关系与运算的类比，可以更好地理解随机事件的关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过程.
解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，
第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用（x,y)表示.于是，试验的样本空间
Ω
={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)}
例3.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间
如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.
如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.
对于只有两个可能结果的随机试验，一般用1和0表示这两个结果.一方面数学追求最简洁地表示，另一方面，这种表示有其实际意义，在后面的研究中会带来很大的方便.
1.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．
(2)样本点的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；
“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4),(2,2),(4,1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)．
思考2.
在体育彩票摇号实验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.
我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1,3,5,7,9}.
因此可以用样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示随机事件A.
类似地，可以用样本空间的子集{0,3,6,9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件（random
event),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary
event).
随机事件一般用大写字母A,B,C,···表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
而空集Φ不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们Φ称为不可能事件.
必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间。Ω的一个子集.
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
必然事件：在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。
1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件：
（1）某地1月1日刮西北风；（2）当x是实数时,
(3)手电筒的电池没电,灯泡发亮；
（4）一个电影院某天的上座率超过50%。
（5）如果a＞b，那么a一b＞0；
（6）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签;
（7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（8）随机选取一个实数x，得|x|<0.
随机事件;必然事件;不可能事件;随机事件;必然事件;随机事件;随机事件;不可能事件
例4如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件：
M=“恰好两个元件正常”；
N=“电路是通路”；
T=“电路是断路”.
解：(1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.
(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)
∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1,
所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)
∈Ω
,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。
同理，“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)
∈Ω，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.
如图,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.
(1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件．
(2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率．
由回顾知识出发，提出问题，让学生了解概率论的产生和发展。增加学生的数学文化素养。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。
通过具体问题，让学生感受随机实验及样本空间的额概念。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
通过实例分析，让学生掌握分析样本空间和样本点的方法，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测
1.从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是( )
A.3个都是篮球
B.至少有1个是排球
C.3个都是排球
D.至少有1个是篮球
答案:C
解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
2．先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则事件：log2xy＝1包含的样本点有_______．
(x,y)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
解析 先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结果．解方程log2xy＝1得y＝2x，
则符合条件的样本点有
(1,2)，(2,4)，(3,6)．
3.写出下列各随机试验的样本空间：
(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；
(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；
(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；
(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；
(5)射击靶3次，观察中靶的次数.
解:(1)
Ω={男，女}或令m表示男生，f表示女生，
则样本空间为Ω={m,f}.
(2)
Ω={O,A,B,AB}.
(3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”，样本空间为Ω={bb,bg,gb,gg}.
(4)每次射击，中靶用1表示，脱靶用0表示，则3次射击的样本空间
为Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
(5)Ω={(0,1,2,3)}。
4.如图，由A,B两个元件分别组成串联电路（图(1))和并联电路(图(2)),观察两个元件正常或失效的情况.
(1)写出试验的样本空间；
(2)对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点；
(3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.
解:(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)对于串联电路，M={(1,1)}.
(3)对于并联电路，N={(0,0)}.
5.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机模出一个球
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“孩到球的号码是偶数”
解:(1)
Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。
(2)A={1,2,3,4};B=5,6,7,8,9;;C={2,4,6,8}.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。
四、小结
1.随机试验
可重复性、可预知性、随机性
2.样本空间、样本点Ω={ω1，ω2，…，ωn}
写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，特别
注意题目的关键字，如“先后”“依次”“放回”“不放回”等．
3.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
本节课通过对具体事例，帮助学生建立随机实验的概念，并通过对随机实验结果的数量表示，建立样本空间的概念，为概率的学习打好基础。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。10.1.2
事件的关系和运算
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《10.1.2
事件的关系和运算》，事件的关系与运算是继随机事件的后续部分,本节课提出了事件的关系、事件的运算等两部分.学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义.
由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、运算与集合的关系、运算的区别与联系.为概率的学习打好基础。并加深对概率思想方法的理解。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标
学科素养
A.理解并掌握时间的关系和运算．
B.能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．
1.数学建模：事件关系的运用
2.逻辑推理：事件运算与集合运算的联系与区别
3.数学运算：事件运算
4.数据分析：在具体事例中分析事件关系与运算
1.教学重点：件运算关系的实际含义．
2.教学难点：
事件运算关系的应用.
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
情境与问题
从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.
例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;
D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；
E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；
F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？
引例：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件
用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1}?{1,3,5},即C1?G.
这时我们说事件G包含事件C1.
；
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).
可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB).
蓝色区域表示交事件
用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”.
它们分别C3={3},C4={4}.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩
C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥.
一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩
B是一个不可能事件,
即A∩B=Φ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.
可以用图表示这两个事件互斥.
其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G=
“点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G=
Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.
一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即
A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立.
其含义是：事件A与
事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．
事件A的对立事件记为
,可以用图表示为.
1.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。
判断下列结论是否正确.
(1)C1与C2互斥；
(2)C2,C3为对立事件;
(3)C3?D2;
(4)D3
?D2;
(5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ;
(6)D3=C5∪C6;
(7)E=C1∪C3∪C5;
(8)E,F为对立事件；
(9)D2∪D3=D2;
(10)D2∩D3=D3.
答案：（2）错，其余都对
综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A?B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.
例5
如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并
联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)
A={(1,0),(1,1)},
B={(0,1),(1,1)},
,
(3)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效.
A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};
A∪B表示电路工作正常,
表示电路工作不正常；
A∪B和互为对立事件.
例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=
“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”
(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}
R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}
R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}
R={(1,2),(2,1)}
G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}
N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
(2)因为R?R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Φ,所以事件R与事件G互斥；因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
由具体事例出发，提出问题，让学生了解事件关系和运算与集合运算的联系。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。
通过联系集合运算和韦恩图帮助学生理解事件关系及其运算。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
通过实例分析，让学生掌握分析事件关系的方法加深对概念的理解，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测
1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(
).
(A)至多一次中靶
(B)两次都中靶
(C)只有一次中靶
(D)两次都没有中靶
解析：“至少一次中靶”的对立事件是“两次都没有中靶”，所以选D
2.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,向上面至少有一枚
是正面为事件N,则有(
)
A.M
?
N
B.
M?N
C.M=N
D.MA
3.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点数是3或4},M＝{向上的点数是1或3},
则P∪Q＝
,
M∩Q＝_______________________.
{向上的点数是1或3或4} {向上的点数是3}
4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是________．
至少有一件是二级品
5.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有一名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
[解析] 判别两个事件是否互斥，就是考查它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考查它们是否必有一个发生且只有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有两名女生时它们都不发生，所以它们互斥不对立事件．
(2)因为“恰有两名男生”发生时，“至少有一名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们互斥对立．
(4)由于选出的是“一名男生一名女生”时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
[点评] 判断两个互斥事件是否对立要依据试验的条件，考虑事件关系必须先考虑条件．本题条件若改成“某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”便是对立事件．
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。
四、小结
事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A?B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
本节课通过对具体事例，提出了事件的关系、事件的运算等两部分.学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义.
由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、运算与集合的关系、运算的区别与联系.
教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。10.1.4
概率的基本性质
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.1.4
概率的基本性质》，本节课主要从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之家的关系等等，注意对概率思想方法的理解。发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标
学科素养
A.理解两个事件互斥、互为对立的含义.
B.理解概率的6条基本性质,重点掌握性
质3、性质4、性质6及其公式的应用条件.
C.能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题,培养数学建模和数学化归能力.
1.数学建模：
事件关系于概率性质
2.逻辑推理：
事件互斥、互为对立的含义
3.数学运算：
运用概率性质计算概率
4.数据抽象：
运用集合的观点分析事件关系
1.教学重点：掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件.
2.教学难点：理解两个事件互斥、互为对立的含义.
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
探究新知
一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质，例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用，类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质.
我们从定义出发研究概率的性质，
(1)概率的取值范围；
(2)特殊事件的概率；
(3)事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等。
1.概率P(A)的取值范围
由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生，一般地，概率有如下性质：
性质1
对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2
必然事件的概率为1,
不可能事件的概率为0,
即P(Ω)=1,P(Φ)=0.
2.
概率的加法公式
(
互斥事件时有一个发生的概率)
性质3.如果事件A与事件B互斥,
那么P(A∪B)=P(A)+P(B)
P(C)=p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3
因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(AU
B)=n(A)+n(B),这等价于P(AUB)=P(A)+P(B),即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和，所以我们有互斥事件的概率加法公式：
[破疑点] ①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．
②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和．
③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件,
那么P(B)=1-
P(A),
P(A)=1-
P(B)
[破疑点] ①公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式．②当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率．
3.对立事件有一个发生的概率
例1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．
[解析] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B.
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
∴射中10环或7环的概率为0.49.
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面为大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理．
设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥的事件，
∴P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
∴不够7环的概率为0.03.
一般地，对于事件A与事件B,如果A?B,即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率。于是我们有概率的单调性：
在古典概型中，对于事件A与事件B,如果A?B,那么n(A)≤n(B).于是
即P(A)≤
P(B)
性质5.如果A?B,那么P(A)≤P(B)
由性质5可得,对于任意事件A,因为Φ?
A?Ω,所以
0
≤
P(A)
≤1.
一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,
“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2).
因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,
所以P(R1)=P(R2)=6/12,P(R1UR2)=10/12.因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).
这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1,
R2不是互斥的,
容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).
一般地，我们有如下的性质：
性质6
设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
由性质5可得,对于任意事件A,因为Φ?
A?Ω，所以
0
≤
P(A)
≤1.
(1)对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式.
(2)若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1;
若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立.
(3)对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),
当A∩B=Φ时,就是性质3.
例2.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么
(1)C=“抽到红花色”，求P(C);
(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).
解：(1)因为C=A∪B,且A与B不会同时发生，
所以A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式，
得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5
(2)因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，
所以C与D互为对立事件.
因此P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.
例3.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况。如果设A=“中奖”，A1=“第一罐中奖”，A2=“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题.
解：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件A1A2=“两罐都中奖”，A1
2=“第一罐中奖，第二罐不中奖”，
1A2=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A=A1A2∪A1
2∪
1A2.因为A1A2,A1
2,A1
2两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A1
2)+P(
1A2).
我们借助树状图来求相应事件的样本点数.
可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30,且每个样本点都是等可能的.
因为n(A1A2)=2,n(A1
2)=8,n(
1A2)=8,所以
法2:注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，
由于
=“两罐都不中奖”，而
n(
)=4×3=12,
所以
由知识回顾，类比提出问题。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。
通过具体问题的事件分析，归纳出概率性质。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
通过实例分析，让学生掌握概率性质，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测
1.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:C
解析:对立必互斥,互斥不一定对立,故②③正确,①错;又当A∪B=A时,P(A∪B)=P(A),故④错;只有事件A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),故⑤错.
2.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是,则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案:C
解析:该子集恰是{a,b,c}的子集的概率为P=1-.
3.若事件A,B满足A∩B=?,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,则P(B)= .?
答案:0.7
4.盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黄球的概率是0.18,则摸出的球是白球的概率是 ,摸出的球不是黄球的概率是 ,摸出的球或者是黄球或者是黑球的概率是 .?
答案:0.40 0.82 0.60
5.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,问至少有一根熔断的概率是多少?
解:设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔断”,则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
=0.85+0.74-0.63=0.96.
6.据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表:
(1)求至多2人排队等候的概率;
(2)求至少2人排队等候的概率.
排队等候的人数012345人及5人以上概 率0.10.160.30.30.10.04
解:记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥.
(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)至少2人排队等候的对立事件是“排队等候人数为0或1”,
而排队等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,
故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。
四、小结
1.概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).
2.在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和.
二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.再利用P(A)=1-P(
)来得出原问题的解.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
本节课主要学习概率的基本性质，注意运用集合运算的观点分析学习。概率的性质主要是用于求复杂事件的概率，
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率等等。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。10.1.3
古
典
概
型
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.1.3
古
典
概
型
》，古典概型是继事件的关系与运算的后续部分,本节课主要讲解了古典概型的特征及如何求古典概型的概率.本节内容在教材上起到承上启下的作用，即使对前面内容的进一步应用，又为后续概率的性质做好铺垫.。注意对概率思想方法的理解。发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标
学科素养
A
.了解随机事件概率的含义及表示.
B.理解古典概型的特点和概率公式.
C.了解古典概型的一般求解思路和策略.
1.数学建模：古典概型的概念
2.逻辑推理：古典概型的应用
3.数学运算：运用古典概型求概率
4.数据抽象：古典概型的概念
1.教学重点：了解随机事件概率的含义及表示.
2.教学难点：理解古典概型的特点和概率公式.
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
温故知新
事件A与B关系含义符号事件B包含A（或称事件A包含于B）如果事件A发生，则事件B一定发生。B
A（A
B）事件A与B相等如果事件A发生，则事件B一定发生；
反之，也成立。A=B事件A与B的和事件（或并事件）事件A与B至少有一个发生的事件AB事件A与B的积事件（或交事件）事件A与B同时发生的事件AB事件A与B互斥事件A与B不能同时发生AB=φ事件A与B互为对立事件事件A与B不能同时发生，但必有一个发生AB=Φ且
AB=Ω
二、探究新知
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小，对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability),事件A的概率用P(A)表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率
的近似值，能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
思考:在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
答样本点有两个，正面朝上和正面朝下，由于质地均匀，因此样本点出现的可能性是相等的．
答这个试验的样本点有6个，正面出现的点数为1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此样本点出现的可能性是相等的．
问题1.
抛掷一枚质地均匀的硬币，每个样本点出现的可能性相等吗？
问题2.
抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些样本点？每个样本点出现的
可能性相等吗？
彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们具有如下共同特征；
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical
models
of
probability),简称古典概型
思考1：
有限性；等可能性
思考2：
有限性
等可能性
问题：从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
解
不是，因为有无数个样本点.
判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：
一是
有限性；
二是
等可能性
1.
考虑下面的随机事件,如何度量事件A发生的可能性大小?
一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,
事件A=“抽到男生”
解:班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.
因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量，显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点.
因此，事件A发生的可能性大小为18/40=0.45
2.下面的随机事件,如何度量事件B发生的可能性大小?
抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”
解:我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}.共有8个样本点,且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小.
因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.因为B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},所以事件B发生的可能性大小为3/8=0.375
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
例1.单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A，B，C,D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确答案,假设考生不会做，他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少？
解：试验有选A,选B,选C,选D共4种可能结果,试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}.
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等,所以这是一个古典概型.
设M=“选中正确答案”，
因为正确答案是唯一的，所以n(M)=1.
所以,考生随机选择一个答案,答对的概率
小结:
解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的样本点及个数，写出随机事件所包含的样本点及个数，然后应用公式求出．
1.根据2020年山东省模拟高考试题中发现，在咱们的数学考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?
例2.
抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)
例2.
(2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果用数字m表示I号骰子出现的点数是m,数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n,则数组（m,n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，
因此这个试验是古典概型.
(2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,从而
因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5）(6,6)},所以n(B)=6,
因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)（4,2),(4,3),（5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)(6,5)},
所以n(C)=15,
在上例中,为什么要把两枚骰子标上记号?如果不给两枚骰子标记号,会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?
如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样，(1,2)和（2,1)的结果将无法区别.
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间Ω1={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},
且m≤n},则n(Ω1)=21.
事件A=“两个点数之和是5”的结果变为A={(1,4),(2,3)},
这时P(A)=2/21
思考:同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)
可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1,1)和（1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此P(A)=2/21,是错误的.
思考:同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
求解古典概型问题的一般思路：
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）;
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
例3.
袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率：
(1)A=“第一次摸到红球”；
(2)B=“第二次摸到红球”；
(3)AB=“两次都摸到红球”
解：将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表所示
(1)第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1,2行）,即A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以
(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列）,即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)},
所以
(3)事件AB包含2个可能结果，即AB={(1,2),(2,1)},所以
同时摸出2个球则事件AB的概率是多少？
例4.
从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间
(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率
解:设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点
(1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1)
),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}
不放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1)
),(G2,B2),(G2,G1)}
按性别等比例分层抽样的样本空间
Ω3=(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),
(B2,G2)}
(2)设事件A=“抽到两名男生”,则对于有放回简单随机抽样,A={
(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}.
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型,因此P(A)=4/16=0.25
对于不放回简单随机抽样,A={(B1,B2),(B2,B1)}.因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型因此P(A)=2/12=1/6≈0.167.
因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A=Φ,因此P(A)=0
此例表明,同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率,在按性别等比例分层抽样时最小,在不放回简单随机抽样时次之,在有放回简单随机抽样时最大,因此,抽样方法不同,则样本空间不同,某个事件发生的概率也可能不同
上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高.
上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25;用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167,可以有效地降低出现“极端”样本的概率.特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0,真正避免了这类极端样本的出现.所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
故所求的概率P=.
由知识回顾，提出问题。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。
通过具体问题的概率计算，归纳分析古典概型的特点及运算方法。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
通过实例分析，让学生掌握分析古典概型的方法，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测
1.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案:A
解析:如图:
基本事件的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的基本事件个数是10个,故所求概率
P=.故选A.
2.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案:A
解析:设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别记为A,B,C,从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,根据题意,其中Ab,Ac,Bc是田忌获胜,则田忌获胜的概率为故选A.
3.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3
m的概率为 .?
答案:
解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3
m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为.
4.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.
解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即(B1,B2),
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
本节课主要讲解了古典概型的特征及如何求古典概型的概率.本节内容在教材上起到承上启下的作用，即使对前面内容的进一步应用，又为后续概率的性质做好铺垫。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
