10.2
事件的相互独立性
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2
事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标
学科素养
A.理解两个事件相互独立的概念．
B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．
C.
通过对实例的分析，会进行简单的应用.
1.数学建模：
相互独立事件的判定
2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系
3.数学运算：相互独立事件概率的计算
4.数据抽象：相互独立事件的概念
1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念
2.教学难点：事件独立有关的概念的计算
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
探究新知
前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？
我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。
思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.
而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},
所以AB={(1,0)}.
由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5,
P(AB)=0.25.
于是P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
分析：因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率
思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
分析：对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？
样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.
而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},
B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},
AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},
于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积.
相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)),
则称事件A与事件B相互独立.简称独立.
显然:(1)必然事件
及不可能事件与任何事件A相互独立.
(2)若事件A与B相互独立,
则以下三对事件也相互独立:
①②
③
例如证①
1.判断下列事件是否为相互独立事件.
①?篮球比赛的“罚球两次”中，
事件A：第一次罚球，球进了.
事件B：第二次罚球，球进了.
②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
是;是;不是
2.下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面}
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球}
C．掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数}
D．A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}
答案：A
解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；
B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；
对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；
D是条件概率，事件B受事件A的影响．
3.抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是
( )
A.互斥
B.相互独立
C.既相互互斥又相互独立事件
D.既不互斥又不相互独立事件
答案:B
解析:因为A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},
所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以A与B相互独立.
注：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。
相互独立事件的判断方法
1.定义法：P(AB)=P(A)P(B)
2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。
例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},
B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},
AB={(1,2),(2,1)}
所以此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.
例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,
乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
解：设“甲中靶”,
“乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与,与B,与都相互独立
由已知可得,.
（1）
“两人都中靶”,由事件独立性的定义
得
（2）“恰好有一人中靶”
,且与互斥
根据概率的加法公式和事件独立性定义,得
（3）事件“两人都脱靶”,
所以
（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,
所以
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为
例3
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为0.75，乙每轮猜对的概率为2/3.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响,求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，
解：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1,B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立性假定，得
设A=“两轮活动'星队'猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥，A1与B2,A2与B1分别相互独立，
所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是
例4.甲,
乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,
乙击中敌机的概率为0.5,
求敌机被击中的概率.
解:
依题设
A={
甲击中敌机
},B={
乙击中敌机
},
C={敌机被击中
}
由于
甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，
所以
A与B
独立,进而
，
由知识回顾，提出问题，类比思考。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。
通过具体问题的事件分析，归纳出相互独立事件的概念。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
通过实例分析，让学生掌握相互独立事件的判定及概率计算，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测
1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案:B
解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为×1-+1-×,故选B.
2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( )
A.0.49
B.0.42
C.0.7
D.0.91
解析:记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,且A,B相互独立.则恰有1人击中目标为A10.2
事件的相互独立性
事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.
课程目标
1．理解两个事件相互独立的概念．
2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．
3.
通过对实例的分析，会进行简单的应用.
数学学科素养
1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．
2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.
重点：独立事件同时发生的概率．
难点：有关独立事件发生的概率计算
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本246-249页，思考并完成以下问题
1.
满足什么条件两个事件是相互独立的？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
事件A与B相互独立
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually
independent)，简称为独立．
注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与，
与B，
与也是否相互独立.
（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).
四、典例分析、举一反三
题型一
相互独立事件的判断
例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
【答案】不独立
【解析】
因为样本空间
所以,
此时
因此,事件A与事件B不独立.
解题技巧（独立事件的判断）
对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥，一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪A为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
跟踪训练一
1.
从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
(1)A与B；(2)C与A.
【答案】见解析.
【解析】
(1)由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．
以下考虑它们是否为相互独立事件：
抽到K的概率为P(A)＝＝
抽到红牌的概率为P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，
事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B是相互独立事件．
(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥．由于P(A)＝≠0.P(C)＝≠0，而P(AC)＝0，所以A与C不是相互独立事件，又抽不到K不一定抽到J，故A与C并非对立事件.
题型二
相互独立事件同时发生的概率
例2
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，
乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶.
【答案】（1）0.72
（2）0.26
（3）0.02
（4）0.98
【解析】
设“甲中靶”,
“乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,
由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,
A与,与B,与都相互独立
由已知可得,.
（1）
“两人都中靶”,由事件独立性的定义
得
（2）“恰好有一人中靶”
,且与互斥
根据概率的加法公式和事件独立性定义,得
（3）事件“两人都脱靶”,
所以
（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,
所以
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为
解题技巧
(相互独立事件同时发生的概率)
解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．
跟踪训练二
1.
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
【答案】(1)
．(2)
．
【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－－＝.1－－＝.
(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p1＝×＝，租车费都为2元的概率为p2＝×＝，租车费都为4元的概率为p3＝×＝.
所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝.
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
10
.2
事件的相互独立性
1.
事件的相互独立性
例
1
例2
注意
)
七、作业
课本249页练习，250页习题10.2.
两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.
