6.1平面向量的概念课时作业——2020-2021学年高一下学期人教A版（2019）必修第二册第六章平面向量及其应用

6.1平面向量的概念
一、单选题
1．下列命题正确的是（
）
A．若，则；
B．，则；
C．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；
D．若与是单位向量，则.
2．已知下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
④向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上.
其中错误说法的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
3．下列各量中，是向量的是（
）
A．质量
B．距离
C．速度
D．电流强度
4．下列说法正确的是（
）
A．若，则
B．若则
C．若，则、共线
D．若，则、不共线
5．若平面向量两两所成的角相等，且，则（
）
A．4
B．8
C．4或10
D．10或8
6．和0相比，0少了（
）．
A．方向
B．大小
C．方向和大小
7．在四边形中，，且·＝0，则四边形是
A．菱形
B．矩形
C．直角梯形
D．等腰梯形
8．下列说法错误的是（
）
A．若，则
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
9．已知向量与共线，下列说法正确的是（
）
A．或
B．与平行
C．与方向相同或相反
D．存在实数，使得
10．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若（λ为实数），则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线，其中错误命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．下列说法正确的是（
）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，（），则与是平行向量
12．下列命题中，正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
13．设点O是正方形的中心，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．与共线
D．
14．如图所示，在圆O中，向量是(　　)
A．有相同起点的向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
二、多选题
15．已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（
）
A．
B．若且则
C．，则
D．若，则与共线且反向
三、双空题
16．已知x,y是实数,向量不共线,若,则________,________.
四、填空题
17．已知,,则||＝_____．
18．写出一个与向量共线的向量：___________.
19．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是________.
20．下列结论正确的序号是_______.
①若，都是单位向量，则；
②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量；
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；
④直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量.
21．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．
五、解答题
22．如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.
23．已知向量，点A的坐标为，向量与平行，且，求点B的坐标.
试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页
参考答案
1．B
【分析】
由为零向量可排除；由向量数量积定义可知错误；由向量数量积的运算律可知正确.
【详解】
对于，若为零向量，则未必成立，错误；
对于，若，则，，则，正确；
对于，若为零向量，则与未必是共线向量，错误；
对于，若与夹角不是，则，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查平面向量相关命题的辨析，涉及到向量相等、向量共线、平面向量数量积的运算等知识，是对平面向量部分基础知识的综合考查.
2．B
【详解】
①向量的长度与向量的长度相等，正确；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确；③终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，错误；④共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，错误，错误说法的个数为
，故选B.
3．C
【分析】
根据向量的概念逐个分析可得答案.
【详解】
质量、距离和电流强度都是只有大小没有方向的量，不是向量.ABD不正确；
速度是既有大小又有方向的量，是向量.
C正确.
故选：C
4．C
【分析】
根据向量的概念，相等向量以及向量的共线的性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对于A，向量是矢量，不能比较大小，故A错误；
对于B，向量相等时，模长相等且方向相同，故B错误；
对于C，若时，与方向相同，则、共线，故C正确；
对于D，若时，也可能与方向相同或相反，即、可能共线，故D错误．
故选：C．
5．C
【分析】
讨论，，共线时和不共线时，分别求出的值．
【详解】
解：当，，两两所成的角为时，，，共线，；
当，，不共线时，平面向量，，两两所成的角相等，两两所成的角应为，
如图所示；
，且与共线，但方向相反，
．
综上，的值是或．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用分类讨论思想，对向量所成的角进行讨论，属于基础题．
6．A
【解析】
和0相比，0少了方向，故选A．
7．A
【分析】
由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．
【详解】
∵，
∴与平行且相等，
∴四边形为平行四边形．
又，
∴，
即平行四边形的对角线互相垂直，
∴平行四边形为菱形．
故选A．
【点睛】
本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．
8．B
【分析】
由零向量的性质：长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，即可判断各项正误.
【详解】
A：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故B错误，C、D正确；
故选：B
9．B
【分析】
根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
向量与共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；
向量与共线，则与平行，故B正确；
为零向量，则满足与共线，方向不一定相同或相反；故C错；
当，时，满足与共线，但不存在实数，使得，故D错.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量共线的有关判定，属于基础题型.
10．C
【分析】
根据平面向量的基本概念和共线定理，对选项中的命题判断真假性即可．
【详解】
对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，①错误；
对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，
但它们的模能比较大小，②正确；
对于③，时为实数），或，③错误；
对于④，若时，，此时与不一定共线，④错误；
综上，其中错误命题为①③④，共3个．
故选：．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本概念与共线定理的应用问题，是基础题．
11．D
【分析】
根据相等向量，共线向量的定义判断可得；
【详解】
解：对于，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，所以错误；
对于，当时，其模长与可能相等或，或，所以错误；
对于，当时，不一定有，因为要且与同向，所以错误；
对于，，（），则与是平行向量，正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本概念应用问题，属于基础题．
12．B
【分析】
两向量相等则方向相同,模长相等可判断AB,向量不可比较大小可判断C,由零向量的概念可判断D.
【详解】
若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确;
若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确;
向量不能比较大小,C不正确;
若，则,D,不正确.
故选:B.
【点睛】
本题属于向量的概念题,理解向量的相关概念是解题的关键,属于基础题.
13．D
【分析】
由正方形的基本性质和向量的基本性质可得答案.
【详解】
解：如图，与方向相同，长度相等，A正确；
,,三点在一条直线上，，B正确；
，与共线，C正确；
与方向不同，，D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查相等向量、共线向量.熟练掌握相等向量和共线向量的定义是解决本题的关键.
14．C
【解析】
故选C.
15．AD
【分析】
对于A，由向量的夹角公式判断即可；对于B，举反例即可；对于C，若，则不一定共线；对于D，对两边平方化简即可
【详解】
解：对于A，若中有零向量，则显然成立，若均不为零向量，则因为，所以，所以A正确；
对于B，若所在的直线在所在直线夹角的平分线上，且，则有，而不成立，所以B错误；
对于C，若，则，而不一定共线，所以C错误；
对于D，因为，所以，所以，所以与共线且反向，所以D正确，
故选：AD
16．
【分析】
由向量不共线，则均不为零向量，再由得到方程组解得.
【详解】
解：因为向量不共线，
所以向量均不为零向量，
解得
故答案为：；
【点睛】
本题考查向量相等及零向量，属于基础题.
17．5
【分析】
利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出.
【详解】
解:因为,,
,
故答案为:5
【点睛】
本题考查了向量的运算法则和模的计算公式,属于基础题.
18．（答案不唯一，满足即可）
【分析】
根据平面向量共线的坐标表示可得结果.
【详解】
与向量共线的向量为（写出其中一个即可）.
取，可得出一个与向量共线的向量为.
故答案为：（答案不唯一，满足即可）.
19．西北方向5km
【解析】
根据题意画出图形如图所示，由图形可得C地在B地的西北方向5km处．
答案：西北方向5km
20．②③
【分析】
根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．
【详解】
解：对于①，，都是单位向量，则不一定有，①错误；
对于②，物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，
是一对共线向量，②正确；
对于③，如图所示，
方向为南偏西的向量与北偏东的向量在一条直线上，
是共线向量，③正确；
对于④，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，没有大小，
不是向量，④错误；
综上，正确的命题序号是②③．
故答案为：②③．
【点睛】
本题通过命题真假的判断考查了平面向量的概念与应用问题，属于基础题．
21．
【分析】
先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．
【详解】
向量，，，，
若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，
即，且，
求得，且．
【点睛】
本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．
22．见解析
【分析】
位移即起点位置指向终点位置的有向线段.
【详解】
解：如图，表示此人上午的位移；表示此人下午的位移；表示此人这一天内的位移.
【点睛】
本题考查向量的概念，属于基础题.
23．或
【分析】
设,则,根据向量与平行，且列方程组可得到答案.
【详解】
设,则,
因为向量与平行,
所以,即,①
因为,所以,②
联立①②解得或.
所以点B的坐标为或.
【点睛】
本题考查了平面向量共线的坐标表示,向量模的公式,属于基础题.
答案第10页，总10页
答案第9页，总10页