7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
7.3.2
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题
若复数，，则?
???
A.
B.
C.
D.
若复数，，，则?
???
A.
B.
C.
D.
若复数，则?
???
A.
B.
C.
D.
?
???
A.
B.
C.
D.
若复数，则?
???
A.
B.
C.
D.
2i
若i是虚数单位，则的最小值是
A.
B.
C.
D.
若复数，则?
???
A.
B.
8
C.
D.
在复平面内，复数对应向量为坐标原点，设，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则
A.
B.
C.
D.
复数是方程的一个根，那么的值为?
???
A.
B.
C.
D.
设A，B，C是的内角，是一个实数，则是
A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
形状不能确定
多选复数，若，则n的值可以是?
???
1
B.
3
C.
5
D.
11
二．填空题
_______．
_______．
若复数，，则的辐角的主值为??????????．
设在复平面内对应的向量为，将绕点O按顺时针方向旋转，并将其模变为原来的，所得向量对应的复数_________用代数形式表示．
化简：??????????．
三．解答题
计算下列各式的值结果写成三角形式
；
．
如图所示，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别是，．
求向量对应的复数；
求点C的坐标．
已知复数z的实部大于零，且满足，的虚部为2．
求复数z；
设z，，在复平面上的对应点分别为A，B，C，求的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算法则、考查了推理能力与计算能力，利用三角函数求出z，再利用复数的运算法则、即可得出．?
【解答】由题意知，则，故选A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算与三角函数综合应用．
根据复数运算法则求，然后根据公式化简．
【解答】
解：由题意知
，
故选D．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了复数的三角形式，由复数的三角形式运算法则计算，可得的值．
【解答】
解：，
则，
故选A．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的化简求值和证明，根据题意求得答案．
【解答】
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了复数的三角形式，由复数的三角形式运算法则计算即可．
【解答】
解：，
故选D．
6.【答案】D
【解析】解：由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上，
而表示该单位圆上的点到复数表示的点Z的距离，
由图象可知：的最小值应为点A到Z的距离，
而，圆的半径为1，
故的最小值为，
故选D
易得复数z表示的点在单位圆上，而要求的值为单位圆上的点到复数表示的点Z的距离，由数形结合的思想可得答案．
本题考查复数的模长的最值，涉及复数的几何意义和数形结合的思想，属基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了复数的三角形式，由，可得结果．
【解答】
解：，则，
故选A．
8.【答案】D
【解析】解：根据复数乘方公式：，得
．
故选：D．
根据复数乘方公式：，直接求解即可．
本题考查了复数乘方公式，属基础题．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算，三角恒等变换，属于基础题．
根据题意将z代入方程，然后根据二倍角公式与和角公式即可求解．
【解答】
解：因为是方程的一个根，?
所以
．
故选D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查复数的三角形式，属于基础题．
由题意得?arg?
求B，即可．
【解答】
解：因为是一个实数，
所以arg?
，
．
故是直角三角形．
故选C．
11.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的三角形式，掌握复数的运算是解答本题的关键．
利用复数的三角形式运算即可．
【解答】
解：因为，
所以，，
因为，所以，，
因为N，Z，所以当时，；当时，，
故n的值可以是5或11．
故选CD．
12.【答案】16i
【解析】
【分析】
本题考查复数四则运算，对复数分母实数化，再化简运算即可．
【解答】
方法一化为三角形式：
方法二利用的性质：?
设，则，，，
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，属于基础题型解答时即可以使用复数的代数形式运算求解，也可以使用复数的三角形式运算求解，解答过程依运算律运算即可．
【解答】
解：方法一化为三角形式
方法二利用共轭复数的性质：设，则，．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算及三角形式，考查了计算能力．
利用复数的四则运算，可得，由此可得其辐角的主值．
【解答】
解：因为
，
所以的辐角的主值为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的三角形式，先将化成三角形式，再由将绕点O按顺时针方向旋转，并将其模变为原来的，得，由复数的三角形式计算即可．
【解答】
解：，
根据题设条件得
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的三角形式，由复数的三角形式运算法则计算即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．
17.【答案】解：
．
【解析】本题主要考查了复数的三角运算，属于基础题．
利用复数的三角运算的乘法运算法则计算出结果；
利用复数的三角运算的除法运算法则计算出结果．
18.【答案】解：因为点A，B的坐标分别是，，
所以，，
所以，
故向量对应的复数为．
由题可知向量对应的复数为
，
故，
所以，
所以点C的坐标是．
【解析】本题考查了复数的代数表示及其几何意义和复数的三角形式?，是基础题．
先得出，的坐标，再得出的坐标，由复数的几何意义可得结果；
由题可知向量对应的复数为，可得向量的坐标，得出的坐标，可得点C的坐标．
19.【答案】解：因为，
所以，
则，
所以，，
又因为z的实部大于0，
则，，
所以，
则；
因为，，
所以，，，
则．
【解析】此题考查复数的运算，复数的几何意义，及平面向量的数量积及坐标运算．
因为，由虚部为2，求出的值，求出复数z；
分别计算出z、、，得出对应的点，从而求出向量的数量积．