第三章 向心加速度 课时作业 Word版含答案

第三章 圆周运动 第三节 向心加速度
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【作业】
如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．A的线速度比B的大
B．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
C．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
D．A与B的向心加速度大小相等
如图，四辆相同的小“自行车”固定在四根等长水平横杆上，四根横杆间的夹角均保持90°不变，且可一起绕中间的竖直轴转动。当小“自行车”的座位上均坐上小孩并一起转动时，他们的(　　)
A．角速度相同　　　　　
B. 线速度相同
C．向心加速度相同
D. 所需向心力大小相同
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分(如图)，行驶时(　　)
A．大齿轮边缘点比小齿轮边缘点的线速度大
B．后轮边缘点比小齿轮边缘点的角速度大
C．大齿轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比
D．后轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比
用一根细线的一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为T，则T随ω2变化的图像是下图中的(　　)
[多选]如图，在皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是(　　)
A. ＝　　　　　　　 B. ＝
C. ＝ D. ＝
[多选]如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三个物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘匀速转动时，A、B、C三个物体相对圆盘静止，则下列判断正确的是(　　)
A．C物体所需要的向心力最小 B．B物体受到的静摩擦力最小
C．当圆盘转速增大时，C比A先滑动 D．当圆盘转速增大时，B比C先滑动
一圆环，其圆心为O，若以它的直径AB为轴匀速转动，如图所示。
(1)求圆环上P、Q两点的线速度大小之比。
(2)若圆环的半径是20 cm，绕AB轴转动的周期是0.01 s，环上Q点的向心加速度大小是多少？
一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M与m(M＞m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为其对圆盘正压力的μ倍，两物体用一根长为L(L＜R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间的连线刚好沿半径方向拉直，甲、乙均可看作质点，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过多少？
如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小。
运用纳米技术能够制造出超微电机，英国的一家超微研究所宣称其制造的超微电机转子的半径只有30 μm，转速高达2 000 r/min，试估算位于转子边缘的一个质量为10×10－26 kg的原子的向心加速度。(保留两位有效数字)
如图，质量相同的钢球①、②分别放在A、B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1，a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a、b轮半径之比为1∶2。当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②受到的向心力大小之比为多少？
如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？
如图所示，水平面的上方挂一个摆长为L、摆球质量为m的单摆。若此摆球位于光滑水平面上，摆长仍为L，悬点到水平面的距离为h(h＜L)，摆线与OO′的夹角为α，摆球在水平面上以n转/秒的转速做匀速圆周运动。
(1)求水平面受到的压力大小；
(2)为使摆球不离开水平面，求转速n的最大值。(重力加速度为g)
向心加速度 参考答案
1. 解析：选C　A、B两个座椅具有相同的角速度，根据题图及公式v＝ωr可知，A的运动半径小，A的线速度就小，故选项A错误；任一座椅，受力如图所示，由缆绳的拉力与座椅所受重力的合力提供向心力，则mgtan θ＝mω2r，得tan θ＝，A的半径r较小，A、B的角速度ω相等，可知悬挂A的缆绳与竖直方向夹角较小，选项B错误；由解析图可知T＝，悬挂A的缆绳与竖直方向夹角较小，拉力较小，选项C正确；根据an＝ω2r，因为A、B角速度相等，而A的运动半径小，则A的向心加速度较小，选项D错误。
2．解析：选A　小自行车在转动过程中，转动的周期相等，因此角速度相同，选项A正确；根据v＝rω可知，线速度大小相等，但方向不同，选项B错误；根据a＝rω2可知，向心加速度大小相等，但方向不同，选项C错误；由于不知道小孩的质量关系，根据F＝mrω2可知，所需向心力大小关系不确定，选项D错误。
3．解析：选C　大齿轮边缘点与小齿轮边缘点的线速度相等，A错误；后轮与小齿轮的角速度相等，B错误；根据a＝，知C正确；根据a＝ω2r，知D错误。
4. 解析：选C　锥面与竖直方向的夹角为θ，设线长为L，对小球进行受力分析，如图所示，当ω＝0时，小球静止，受重力mg、支持力N和线的拉力T而平衡，T≠0，故A、B错误。ω增大时，T增大，N减小，当N＝0时，角速度为ω0。当ω＜ω0时，由牛顿第二定律得Tsin θ－Ncos θ＝mω2Lsin θ，Tcos θ＋Nsin θ＝mg，解得T＝mω2Lsin2 θ＋mgcos θ；当ω＞ω0时，小球离开锥面，线与竖直方向的夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得Tsin β＝mω2Lsin β，所以T＝mLω2，此时图像的反向延长线经过原点，T?ω2图像的斜率变大，故C正确，D错误。
5. 解析：选BD　A、B两点所在的轮属于皮带传动装置，则vA＝vB，根据a＝可知，＝＝，A错误，B正确；B、C两点所在的轮属于同轴传动装置，则ωB＝ωC，根据a＝ω2r知，＝＝，C错误，D正确。
6．解析：选BC　由于C物体与B物体质量相同，但C物体的半径大，所以C物体所需要的向心力大于B物体所需要的向心力，故A错误；当圆盘匀速转动时，A、B、C三个物体相对圆盘静止，它们的角速度相同，向心力最小的是B物体，由于静摩擦力提供向心力，所以B物体受到的静摩擦力最小，故B正确；当圆盘转速增大时，仍由静摩擦力提供向心力，当向心力大于最大静摩擦力时，物体开始滑动，由a＝ω2r，可得半径越大时，需要的向心加速度越大，所以C最先滑动，故C正确，D错误。
7解析：(1)P、Q两点以直径AB为轴匀速转动，它们的角速度相同都为ω，设圆环的半径为r，则Q点转动的半径r1＝rsin 30°＝r，P点转动的半径r2＝rsin 60°＝r，根据v＝ωr，得＝＝，即圆环上P、Q两点的线速度大小之比是∶1。
(2)根据a＝，代入数据可得a＝4 000π2 m/s2。答案：(1)∶1　(2)4 000π2 m/s2
8.解析：由题意可知甲处于静止状态，乙做圆周运动。对于甲物体，要保持静止状态，绳对它的最大拉力Tmax＝μMg，对于乙物体，要与转盘之间不发生相对滑动，则必有μmg＋Tmax≥mω2L，所以ω≤ 。
9．解析：(1)当恰好由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且角速度达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mω02r，得ω0＝ 。
(2)当ω＝ 时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m··r，解得F＝μmg。答案：(1) 　(2)μmg
10. [解析]　由转速高达2 000 r/min知，周期T＝ s＝0.03 s，则ω＝＝ rad/s，得a＝ω2r＝×30×10－6 m/s2≈1.3 m/s2。[答案]　1.3 m/s2
11．设A、B两盘的半径分别为rA和rB，两个盘的转动角速度分别为ωA和ωB，a、b轮的半径分别为ra和rb，这两个轮的转动角速度分别为ωa、ωb。因为a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，所以ωA＝ωa，ωB＝ωb，又a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动，所以两轮边缘的线速度相等，有ωara＝ωbrb，得＝＝，即＝。根据公式F＝mω2r，可得＝＝＝。
12 [解析]　当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力T与最大静摩擦力fmax的合力，即
T＋fmax＝mrω12①
由于B静止，故有T＝mg②
又fmax＝μN＝μmg③
由①②③式可得ω1＝ ；
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，同理有T－fmax＝mrω22④
由②③④式可得ω2＝。
故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，即 ≤ω≤ 。
[答案]　≤ω≤
13.解析：(1)摆球对水平面的压力不为零时，摆球受到三个力作用：重力、支持力、摆线的拉力；当摆球对水平面压力为零时，摆球只受到两个力作用。如图所示，设摆球在水平面内做圆周运动的半径为r，绳对摆球的拉力为T，水平面对摆球的支持力为N。有
N＋Tsin α＝mg①
Tcos α＝mrω2②
由题可知cos α＝，ω＝2πn
代入②式得T＝mr(2πn)2
即T＝4π2n2mL
将T的值代入①式，整理得
N＝mg－4π2n2mh
由牛顿第三定律可知水平面受到的压力大小为
N′＝N＝mg－4π2n2mh
(2)当N＝0时，nmax＝，可知转速n的最大值为。
答案：(1)mg－4π2n2mh　(2)