2020—2021人教版八年级数学下册第18章平行四边形解答题典型必练（二）（word版含答案）

人教版八年级数学下册第18章平行四边形
解答题典型必练（二）
1．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF
（1）求证：AE＝AF；
（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．
2．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
3．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF＝EF，求∠EAF的度数．
4．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝6，求BD的长．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD+AB＝BC+CD．证明四边形ABCD是平行四边形．
小明同学在证明该题时，他根据题目中条件“AD+AB＝BC+CD”想到延长DA至E，使AE＝AB，则DE＝AD+AE＝AD+AB；延长BC至F，使CF＝CD，则BF＝BC+CF＝BC+CD，连接EB、DF．
请在小明想法的启示下完成并写出该问题证明的全过程．
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ADN＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N．连接MD、AN，
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为　
　时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为　
　时，四边形AMDN是菱形．
7．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝　
　，EF＝　
　
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
8．已知：如图，在?ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．求证：AD＝BE，∠A＝∠ABE．
9．如图，在?ABCD中，点E、F在直线AC上，且AE＝CF．求证：DE∥BF．
10．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE＝∠BFE．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝8，则线段EF的长是　
　．（直接写出答案即可）
11．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AE＝BC，连接DE，CE．
（1）求证：AB＝DE；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由．
12．如图，四边形ABCD是平行四边形对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．
13．如图，在?ABCD中，BE⊥CD，点E为垂足，AF＝CE，求证：四边形BEDF是矩形．
14．如图，?ABCD的两条对角线相交于点O，OA＝3，OB＝2，AB＝．
（1）△AOB是直角三角形吗？为什么？
（2）?ABCD是菱形吗？为什么？
15．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD满足　
　条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）AM⊥EF，AM＝EF，理由是：
由（1）得：△ABE≌△ADF，
∴∠FAD＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠DAB＝90°，
∴△FAE是直角三角形，
如图，过E作EN∥CD，交BD于N，
∴∠MNE＝∠MDF，∠MEN＝∠MFD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠NBE＝45°，
∴△NBE是等腰直角三角形，
∴EN＝BE＝DF，
在△MNE和△MDF中，
∵，
∴△MNE≌△MDF（ASA），
∴EM＝FM，
∵AE＝AF，
∴AM⊥EF，AM＝EF．
2．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
3．解：延长EB使得BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
可得△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，
又∵EF＝DF+BE＝EB+BG＝EG，AE＝AE，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG＝∠EAF，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°
∴∠EAG+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝45°．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，BD＝2OD，CD∥AB，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∵∠DAC＝45°，
∴CD＝AC＝6，
在Rt△COD中，，
∴．
5．证明：法一：延长DA至E，使AE＝AB，则DE＝AD+AE＝AD+AB．
延长BC至F，使CF＝CD，则BF＝BC+CF＝BC+CD．
连接EB、DF．
∵AD+AB＝BC+CD，
∴DE＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴EB＝DF，∠E＝∠F，
∵AB＝AE，CD＝CF，
∴∠ABE＝∠E，∠CDF＝∠F．
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AB＝CD，
∵AD+AB＝BC+CD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
法二：延长DA至E，使AE＝AB，则DE＝AD+AE＝AD+AB．
延长BC至F，使CF＝CD，则BF＝BC+CF＝BC+CD．
连接EB、DF．
∵AD+AB＝BC+CD，
∴DE＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴EB＝DF，∠E＝∠F，
∵AB＝AE，CD＝CF，
∴∠ABE＝∠E，∠CDF＝∠F．
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠EAB＝∠DCF，
又∵AD∥BC，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠DCF，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，AD＝AB＝4，
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，
又∵点E是AD边的中点
∴DE＝AE，
∴△NDE≌△MAE，
∴ND＝MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM的值为2时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵AM＝2＝AD＝AE，∠DAM＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM＝DE，∠AEM＝60°，
∴∠ADM＝30°
∵∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝90°，
∴平行四边形AMDN是矩形；
故答案为：2；
②当AM的值为4时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM＝4，
∴AM＝AD＝4，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM＝DM，
∴平行四边形AMDN是菱形，
故答案为：4．
7．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
由题意得：AE＝CF＝t，
∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；
EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；
故答案为：t，5﹣2t或2t﹣5；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接GH，
由（2）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝4，
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5．
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵BE＝BC，
∴AD＝BE，∠C＝∠BEC，
∴∠A＝∠ABE．
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠DAF＝∠BCE，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DEA＝∠BFC，
∴DE∥BF．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵∠DFE＝∠BFE，∠DFE＝∠FEB，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，
∴四边形DEBF是菱形．
（2）如图，作FH⊥AB于H．设DF＝BF＝x，
在Rt△BCF中，∠BCF＝90°，BC＝AD＝4，CF＝4﹣x，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴DF＝5，CF＝3，
∵∠FHB＝∠HBC＝∠BCF＝90°，
∴四边形BCFH是矩形，
∴CF＝BH＝3，FH＝BC＝4，
∵BF＝DF＝5，
∴EH＝2，
∴EF＝＝＝2，
故答案为．
11．证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝BC，
∵AE＝BC，
∴AE＝BD，
∵AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE；
（2）当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADCE是矩形，
∵AE＝BC，BD＝CD＝BC，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝DE，
∴当AB＝AC时，AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形．
12．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∵AB＝OB，
∴四边形ABOE是菱形；
（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：
∵四边形ABOE是菱形，
∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，
∵S四边形ABOE＝4，
S四边形ABOE＝OA?BE＝×2×BE＝BE，
∴BE＝4，
∴BF＝2，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2．
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED．
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°．
∴四边形BEDF是矩形．
14．解：（1）△AOB是直角三角形；理由如下：
∵32+22＝（）2，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
（2）?ABCD是菱形；理由如下：
由（1）得：∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴?ABCD是菱形．
15．（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E、F分别为OB、OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF＝OA，
同理：EH∥OC，EH＝OC，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当?ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：
连接GH，如图2所示：
则AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，
∴GH⊥BD，
∴GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形；
故答案为：AB⊥BD；
（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵BD＝2AB，
∴AB＝BD＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形．