2020-2021人教版八年级数学下册第18章平行四边形解答题典型必练（三）（word版含答案）

人教版八年级数学下册第18章平行四边形
解答题典型必练（三）
1．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；
（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，
①当AE＝　
　cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝　
　cm时，四边形CEDF是菱形．
2．在△ABC中，AB＝AC，点D、O分别是BC、AC边的中点，连接AD，过点A作AE∥BC，交射线DO于点E，连接CE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是矩形；
（2）如图2，点F在线段CE上，连接AF、DF，在不添加任何字母和辅助线的情况下，请直接写出四个与四边形ABDF面积相等的三角形或四边形．
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，顶点A（a，0），B（0，b）分别在x轴，y轴上，且满足．
（1）a＝　
　，b＝　
　；
（2）求点C的坐标；
（3）在平面直角坐标系中找一点D，使得点A，B，C，D组成的四边形为平行四边形．
4．我们定义：在四边形中，一条边上的两个角称为邻角，如果一条边上的邻角相等，且这条边对边上的邻角也相等，则把这样的四边形叫做“完美四边形”
初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，一定是“完美四边形”的是　
　．
问题探究：在完美四边形ABCD中，AD≠BC，∠B＝60°，BD⊥DC，BC＝6，求该完美四边形的周长与面积．
应用拓展：请你类比研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出“完美四边形”的其中三条性质．
5．如图，?ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点H，G为DH的中点．
（1）如图①，若M为AD的中点，AB⊥AC，AC＝9，CF＝8，CG＝2，求GM；
（2）如图②，M为线段AB上一点，连接MF，满足∠MCD＝∠BCG，∠MFB＝∠BAC．求证：MC＝2CG．
6．如图，?ABCD的周长为40，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AE＝6，AF＝9，求?ABCD的面积．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由．
8．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，求证：DE＝BF．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF、DE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝10，CF＝6，直接写出DE的长为　
　．
10．如图，?ABCD中，∠ADC＝120°，AD＝AB，E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE＝BE；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊的四边形，并说明理由．
11．如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F．AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝9，∠ABC＝60°，求∠DCP的度数及tan∠CDP的值．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）如果∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．
14．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分别为对角线BD、AC的中点，连接MN，判定MN与AC的位置关系并证明．
15．如图1，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ADC＝60°，BE＝2，求BD的长．
参考答案
1．（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD＝∠GCD，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，
∵AE＝7，
∴DE＝3＝BM，
在△MBA和△EDC中，，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：7；
②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD＝10，AE＝4，
∴DE＝6，
∵CD＝6，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：4．
2．（1）证明：∵AE∥BC，∴∠EAO＝∠DCO，
∵点O是AC中点，
∴OA＝OC，
在△OAE和△OCD中，，
∴△OAE≌△OCD（ASA），
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：四边形ABDE，四边形ADCE，△ABC，△BCE，理由如下：
由（1）得：四边形ADCE是矩形，
∴AD∥CE，△ACD的面积＝△ACE的面积，
∴△ADE的面积＝△ADF的面积，
∴四边形ABDE的面积＝四边形ABDF的面积，
∵D是BC的中点，AE∥CD，
∴△BCE的面积＝△ABC的面积＝2△ACD的面积＝2△ACE的面积，
∴△BCE的面积＝△ABC的面积＝四边形ADCE的面积＝四边形ABDF的面积．
3．解：（1）由题意可得，a﹣2＝0，2﹣b＝0，
解得：a＝2，b＝2，
故答案为：2；2；
（2）过C作CH⊥OA于H，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠CAH＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠CAH＝∠OBA，
∵AB＝AC，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴OB＝AH＝2，OA＝CH＝2，
∴C（2+2，2）；
（3）设D（x，y），A（2，0），B（0，2），C（2+2，2），
以AD为对角线，可得：，
解得：，
∴D（2，2+2），
以AB为对角线，可得：，
解得：，
∴D（﹣2，2﹣2），
以AC为对角线，可得：，
解得：，
∴D（4+2，2﹣2），
∴D1（2，2+2），D2（﹣2，2﹣2），D3（4+2，2﹣2）．
4．解：初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，一定是“完美四边形”的是矩形．
故答案为矩形、
问题探究：∵在完美四边形ABCD中，AD≠BC，∠B＝60°，BD⊥DC，BC＝6，
∴∠ABC＝∠C＝60°，∠DBC＝∠ABD＝30°，∠A＝∠ADC＝120°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝CD，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
在Rt△BCD中，作DH⊥BC于H．
CD＝BC＝3，DH＝，
∴四边形ABCD的周长为3+3+3+6＝15，面积＝×（3+6）×＝．
应用拓展：①“完美四边形”有一组对边平行；
②完美四边形”有一组对边相等；
③完美四边形”的对角线相等；
5．解：（1）∵?ABCD，AB⊥AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵G为DH的中点，
∴CG＝HG＝GD，
∵CG＝2，
∴HD＝4，
∵DF平分∠ADC，
∴∠DFC＝∠ADF＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∵CF＝8，
∴CD＝8，
在Rt△HCD中，HC＝4，
∵AC＝9，
∴AH＝5，
∵M为AD的中点，
∴MG＝AH＝；
（2）如图②，过点D作DN∥AC，交CG的延长线于点N，
∴∠N＝∠ACN，∠DAC＝∠ADN，
∵G为DH的中点，
∴DG＝HG，且∠N＝∠ACG，∠CGH＝∠DGN，
∴△CGH≌△NGD（AAS）
∴GC＝GN，
∴CN＝2CG，
∵∠MCD＝∠BCG，
∴∠FCM＝∠DCN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝∠ADN，
∵∠MFB＝∠BAC，∠B＝∠B，且∠BMF＝180°﹣∠B﹣∠BFM，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC，
∴∠BMF＝∠ACB，
∴∠BMF＝∠ADN，
∴∠BMF+∠B＝∠ADN+∠ADC，
∴∠MFC＝∠NDC，且CF＝CD，∠FCM＝∠DCN，
∴△MFC≌△NDC（ASA）
∴CM＝CN，
∴CM＝2CG．
6．解：∵?ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40，
∴BC+CD＝20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝6，AF＝9，
∴S?ABCD＝6BC＝9CD，
整理得，BC＝CD②，
联立①②解得，CD＝8，
∴?ABCD的面积＝AF?CD＝9CD＝9×8＝72．
7．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，
∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，
由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，
解得：t＝8，
∴当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）四边形AQCP为菱形；理由如下：
∵t＝6，
∴BQ＝6，DP＝6，
∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，
∴AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
在Rt△ABQ中，AQ＝＝＝10，
∴AQ＝CQ，
∴平行四边形AQCP为菱形，
即当t＝6时，四边形AQCP为菱形．
8．证明：∵?ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴BO＝DO，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE＝BF．
9．解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点E，F分别为OA、OC的中点，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∵BD＝2AB，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AB＝OB＝OD＝CD，
∵AB＝10，CF＝6，
∴AB＝OB＝OD＝CD＝10，AE＝6，
∵AB＝OB，点E、F分别为OA、OC的中点，
∴BE⊥AO，DF⊥CO，AE＝CF＝EO＝OF＝6，
∴DF＝BE＝8，EF＝12，
在Rt△DEF中，
DE＝＝＝4．
10．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴在△ABD中，E是AB的中点，
∴AE＝BE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AD＝AE，
∵∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°
∴△AED是等边三角形，
∴DE＝AE，
∴DE＝BE；
（2）四边形AGBD是矩形，理由如下：
∵AD∥BC且AG∥DB，
∴四边形AGBD是平行四边形
由（1）的证明知AD＝DE＝AE＝BE，
∴∠ADE＝∠DEA＝60°，
∴∠EDB＝∠DBE＝30°
∴∠ADB＝90°
∴平行四边形AGBD是矩形．
11．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠AEB．
∴AB＝BE．
同理：AB＝AF．
∴AF＝BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：过P作PH⊥AD于H，交BC于G，如图所示：
则GH⊥BC，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝6，
∴AB＝AF＝6，AE⊥BF，BP＝FP，∠ABF＝∠AFB＝30°，
∴AP＝AB＝3，FP＝BP＝AP＝3，
∴AH＝AP＝，PH＝PF＝，
∴DH＝AD﹣AH＝9﹣＝，
∴PD＝＝＝3，
同理：PG＝PH＝，BG＝PG＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝9，
∴CG＝BC﹣BG＝，
∴PC＝＝＝3，
∵PC2+CD2＝PD2，
∴△PCD是直角三角形，∠DCP＝90°，
∴tan∠CDP＝＝＝．
12．（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：连接DE．
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°
∴AB＝4，AC＝2，
∵四边形AECD是菱形，
∴EC＝AD＝DB，
又∵EC∥DB
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴ED＝CB＝2，
∴S菱形AECD＝×AC×ED＝2．
13．（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝60°，
∵CD＝AD＝6，
∴CF＝CD＝3，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CE＝CD＝6，
∴EF＝3．
14．解：MN⊥AC，
证明：连接AM，CM，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M为BD的中点，
∴AM＝，CM＝BD，
∴AM＝CM，
∵N为AC的中点，
∴MN⊥AC．
15．（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB．
∵OE＝CD，
∴OE＝AB．
∴平行四边形AEBO是矩形，
∴∠BOA＝90°．
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形，
∴OA＝BE＝2，AC⊥BD，BO＝DO，∠ADO＝30°，
∴OD＝OA＝2，
∴BD＝2OD＝4．