2020-2021苏科版八下 第九章 中心对称图形——平行四边形 解答题经典必练含答案（一）（word版含答案）

第九章
中心对称图形——平行四边形
解答题经典必练（一）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠BOC＝60°，E为AC上一点，连接BE，过点E作BE⊥EG交BD于G，且EG＝BE，取BG中点H，连接EH．
（1）如图1，若OH＝1，求线段AB的长；
（2）如图2，延长BC、HE相交于M，求证：HM+CM＝DH．
2．已知：如图，在?ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且DE∥BF．
求证：BE＝DF．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD+AB＝BC+CD．证明四边形ABCD是平行四边形．
小明同学在证明该题时，他根据题目中条件“AD+AB＝BC+CD”想到延长DA至E，使AE＝AB，则DE＝AD+AE＝AD+AB；延长BC至F，使CF＝CD，则BF＝BC+CF＝BC+CD，连接EB、DF．
请在小明想法的启示下完成并写出该问题证明的全过程．
4．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
5．已知：如图，在?ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．求证：AD＝BE，∠A＝∠ABE．
6．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE＝∠BFE．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝8，则线段EF的长是　
　．（直接写出答案即可）
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O中心对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
8．如图，点E在?ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设?ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．
9．如图，点P为平行四边形ABCD内一点，连接PB，PC，PD，PB＝AB，∠ABP＝∠ADP＝90°
（1）求∠BCP的度数；
（2）若PC＝PD，求证：BP垂直平分线段CD．
10．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AE＝BC，连接DE，CE．
（1）求证：AB＝DE；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由．
11．如图，四边形ABCD是平行四边形对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．
12．如图，在?ABCD中，BE⊥CD，点E为垂足，AF＝CE，求证：四边形BEDF是矩形．
13．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD满足　
　条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．
14．如图，在?ABCD中，点F在边BC上，点E在边CB的延长线上，且∠EAB＝∠FDC，求证：EF＝AD．
15．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；
（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，
①当AE＝　
　cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝　
　cm时，四边形CEDF是菱形．
参考答案
1．解：（1）∵在矩形ABCD中，OB＝OC＝OA＝OD，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∵BE⊥EG，且EG＝BE，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∵H是BG的中点，
∴HE＝BH＝GH，
∵OH＝1，
∴OE＝2，
∴HE＝，
∴OB＝OH+BH＝1+，
∴AB＝2×OB＝3+；
（2）证明：∵∠CEM＝∠OEH＝30°，
∠OCB＝60°，
∴∠M＝30°，
∴CM＝CE＝OC﹣OE＝OC﹣2OH，
∵△BEG是等腰直角三角形，H是BG的中点，
∴EH⊥BG，
∴HM＝BH＝（OB﹣OH），
设OH＝x，
∴OE＝2x，
∴HE＝BH＝x，
∴OB＝OD＝OH+BH＝（1+）x，
∴DH＝OD+OH＝（1+）x+x＝（2+）x，
∵HM+CM＝（OB﹣OH）+OC﹣2OH
＝（x+x﹣x）+x+x﹣2x
＝2x+x
＝（2+）x，
∴HM+CM＝DH．
2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥BA，
∴DF∥BE，
又∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
3．证明：法一：延长DA至E，使AE＝AB，则DE＝AD+AE＝AD+AB．
延长BC至F，使CF＝CD，则BF＝BC+CF＝BC+CD．
连接EB、DF．
∵AD+AB＝BC+CD，
∴DE＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴EB＝DF，∠E＝∠F，
∵AB＝AE，CD＝CF，
∴∠ABE＝∠E，∠CDF＝∠F．
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AB＝CD，
∵AD+AB＝BC+CD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
法二：延长DA至E，使AE＝AB，则DE＝AD+AE＝AD+AB．
延长BC至F，使CF＝CD，则BF＝BC+CF＝BC+CD．
连接EB、DF．
∵AD+AB＝BC+CD，
∴DE＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴EB＝DF，∠E＝∠F，
∵AB＝AE，CD＝CF，
∴∠ABE＝∠E，∠CDF＝∠F．
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠EAB＝∠DCF，
又∵AD∥BC，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠DCF，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
4．（1）证明：连接MN，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，
∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
在△AME和△CNF中，，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
又∵AE＝CF＝1，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，
∴MN＝EF，
∴四边形EMFN为矩形．
（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，
∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，
解得：x＝2±，
∵0＜x＜2，
∴x＝2﹣．
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵BE＝BC，
∴AD＝BE，∠C＝∠BEC，
∴∠A＝∠ABE．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵∠DFE＝∠BFE，∠DFE＝∠FEB，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，
∴四边形DEBF是菱形．
（2）如图，作FH⊥AB于H．设DF＝BF＝x，
在Rt△BCF中，∠BCF＝90°，BC＝AD＝4，CF＝4﹣x，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴DF＝5，CF＝3，
∵∠FHB＝∠HBC＝∠BCF＝90°，
∴四边形BCFH是矩形，
∴CF＝BH＝3，FH＝BC＝4，
∵BF＝DF＝5，
∴EH＝2，
∴EF＝＝＝2，
故答案为．
7．解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）解：∵点E在?ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED＝S?ABCD，
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S?ABCD，
∵?ABCD的面积为6，
∴四边形AEDF的面积为3．
9．（1）解：如图：1，延长DP，交BC于点E．
在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
又∵PB＝AB，
∴PB＝CD．
∵∠ABP＝∠ADP＝90°，
∴∠A+∠BPD＝180°，∠PBE＝∠CDE．
又∵∠A＝∠BCD，∠BPE+∠BPD＝180°，
∴∠BPE＝∠DCE，
在△BPE和△DCE中，，
∴△BPE≌△DCE（ASA），
∴∠BEP＝∠DEC＝90°，CE＝EP，
∴∠BCP＝45°．
（2）证明：连接BD，延长DP交BC于点E，如图2：
∵△BPE≌△DCE，
∴BE＝DE，
则∠BDP＝45°，
∴∠BDP＝∠BCP．
∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BD＝BC．
又∵PC＝PD，
∴BP垂直平分线段CD．
10．证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝BC，
∵AE＝BC，
∴AE＝BD，
∵AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE；
（2）当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADCE是矩形，
∵AE＝BC，BD＝CD＝BC，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝DE，
∴当AB＝AC时，AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形．
11．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∵AB＝OB，
∴四边形ABOE是菱形；
（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：
∵四边形ABOE是菱形，
∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，
∵S四边形ABOE＝4，
S四边形ABOE＝OA?BE＝×2×BE＝BE，
∴BE＝4，
∴BF＝2，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2．
12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED．
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°．
∴四边形BEDF是矩形．
13．（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E、F分别为OB、OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF＝OA，
同理：EH∥OC，EH＝OC，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当?ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：
连接GH，如图2所示：
则AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，
∴GH⊥BD，
∴GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形；
故答案为：AB⊥BD；
（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵BD＝2AB，
∴AB＝BD＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形．
14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△CDF（ASA），
∴EF＝AD．
15．（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD＝∠GCD，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，
∵AE＝7，
∴DE＝3＝BM，
在△MBA和△EDC中，，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：7；
②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD＝10，AE＝4，
∴DE＝6，
∵CD＝6，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：4．