四川省阆中市高中2021届高三下学期4月教学质量检测数学（理）试题 Word版含答案

阆中市高中2021年春高2018级4月教学质量检测
数学试题（理）
（总分：150分 时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码；请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．
1. 已知集合false，false，则false∩false=
A. false B. false C. false D. false
2. 复数false的实部为
A．false B．false C．false D．false
3. 已知等差数列false前3项的和为6，false，则false
A. 37 B. 38 C. 39 D. 40
38836601504950459613048253654. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个false，则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为
A．false B．false
C．false D．false
5. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则false=
A. 2 B. false C. false D. 4
6. 若由一个false列联表中的数据计算得false，那么有（ ）把握认为两个变量 有关系.
false
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
false
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．false B．false C．false D．false
7．已知函数false，则false
A．false B． false C．false D． false
8. 已知函数false满足false，则false
A．6 B．7 C．-6 D．-7
在等差数列中,若,且它的前项和有最小值,则当时,的最小值为
A.14 B.15 C.16 D.17
10.棱长为false的正方体密闭容器内有一个半径为false的小球，小球可在正方体容器内任意运
动，则其能到达的空间的体积为
A．false B．false C．false D．false
40620959969511.如图，双曲线false以梯形ABCD的顶点A，
D为焦点，且经过点B，C．其中false，false，
false，则false的离心率为
A．false B．false C．false D．false
12.已知定义false在上的函数false，其导函数为false，若false，
且当false时，false，则不等式false的解集为
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 已知平面向量false，则false在false上的投影=_______.
14. 若false,则false的值为 .
15. 某酒厂生产浓香型、酱香型两种白酒，若每吨浓香型的白酒含乙醇false吨，水false吨；
每吨酱香型的白酒含乙醇false吨，水false吨，销售每吨浓香型的白酒可获利润false万元，
销售每吨酱香型的白酒可获利润false万元，该厂在一个生产周期内乙醇总量不能超过
false吨，水总量不能超过false吨.那么该酒厂在一个生产周期内可获利润的最大值是
万元.
410654526035
y
M
F1
F22
x
O
y
M
F1
F22
x
O
已知false分别为双曲线false的左右焦
点, 过点false作圆false 的切线交双曲线左支于点false,
且false，则该双曲线的渐近线方程为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．
17．(12分)已知false、false、false为false的三个内角，且其对边分别为false、false、false，若
false.
（1）求false；（2）若false，求false的面积的最大值．
(12分)十九大报告强调：坚持保护环境的基本国策，像对待生命一样对待生态环境。
阆中市化工研究所为了环保需要，从城区搬迁到修建了先进环保设施的城郊新区，
但全所false名员工仍住在城区，为了方便他们上下班，该研究所准备购买一辆客车定
时定位接送，为了节约成本，先对员工们的乘车情况作了调研：从市客运中心租用
了一辆载客量为false人的大客车接或送员工共计false次，并委托司机对false次的乘车人
数都作了统计，结果如下：
乘车人数
false
false
false
false
false
false
false
频数
false
false
false
false
false
false
false
(I) 若在这false次记录中随机抽查两次员工们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘
车人数超过false的概率；
(II)以这false次记录的各种乘车人数的频率作为这种乘车人数的概率，并假设每次
乘车人数相互独立.了解员工们的乘车情况后，再了解客车交易市场，发现可
供选择的客车只有false座的false型车和false座的false型车两种，除去司机外，载客量
分别为false人，false人，经测算，购买false型车时每次运行费用为false元，购买false型
车时每次运行费用false元；若某次乘车的员工人数超过载客量时，超出的员工
每人从司机处签字并领取false元钱供他们乘出租车，然后再由该研究所定期返还
司机；请以1次接或送总费用的期望值为依据，判断该研究所购买哪种车型较划算？
(12分)如图false，四边形false是边长为6的正方形，已知false，
false,且false,false与对角线false分别交于false两点，现以false,false为折痕
将正方形折起，使false重合，false重合后记为false,false重合后记为false，如图false所示.
372681519685(I) 求证：平面false平面false；
(II) 求平面false与平面false所成锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）已知椭圆false．
（Ⅰ）求椭圆false的离心率；
（Ⅱ）经过原点的直线与椭圆false交于false两点，直线false与直线false垂直，且与椭圆false的另一个交点为false．
（i） 当点false为椭圆false的右顶点时，求证：false为等腰三角形；
（ii）当点false不是椭圆false的顶点时，求直线false和直线false的斜率之比.

21.（本小题满分12分）已知函数false在其定义域内有两
个不同的极值点.
（1）求false的取值范围；（2）记两极值点分别为false已知false，若不
等式false恒成立，求false的范围.
考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作
答时， 请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程
在直角坐标系false中，曲线false的参数方程为false（其中false为参数），曲
线false，以原点false为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射
线false（false）与曲线false，false分别交于点false，false（均异于原点false）.
（1）求曲线false，false的极坐标方程；（2）当false时，求false的最小值.
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲?
已知函数false.
（1）当false时，求不等式false的解集；（2）若false，不等式false恒
成立，求实数false的取值范围.
阆中市高中高2018级测试题
数学参考答案
一.选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
C
Ａ
A
D
D　
C
A
C
D
二.填空题: 13．-1； 14．-1； 15． 31；　　 16false．
三.解答题:
17.解：（1）false,
false，
由正弦定理得：false， ……………………（2分）
即false，即false，
即false，（4分）
false，false，又false，false． ………………（6分）
（2）由余弦定理得false，
即false， ……………………………………………………………（8分）
false，
false，当且仅当false取等号， ……………………………………（10分）
故false的面积为false，
falsefalse面积最大值为false. ……………………………………………………（12分）
18解：（Ⅰ）设“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过false”为事件false，乘车人数不超过20的次数为24，则false ............6分
（Ⅱ）用false表示租用false型车的总费用（单位：元），则false可取false，分布列为
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false ......9分
用false表示租用false型车的总费用（单位：元），则false可取false，分布列为
false
false
false+科+网]
false
false
false
false ......11分
因此以一次接、送付出的总费用的期望值为依据，租false型车较划算. ......12分
19.解：（I）取EQ的中点J，连接FJ，则PQfalseFJ .......1分
取GQ中点R，连接HR，RJ，易得HRfalseGQ且HF∥RJ，HF=RJ，所以四边形RJFH为平行四边形 ......3分
所以RH∥JF，PQfalseRH，又PQ∩GQ=Q，所以RHfalse平面PGQ，又RHfalse平面HGQ，故平面PGQfalse平面HGQ ......5分
474980041275（II） 取EF中点O，如图建立空间直角坐标系。
false......6分
设平面HGQ的法向量false
则false，令false ......8分
又false
设平面GPN法向量为false
则false，令false ......10分
设两平面所成锐二面角为false......12分
20．解：（Ⅰ）因为椭圆方程false，
所以false． …………1分
所以false． 所以离心率false．………3分
（Ⅱ）（i）设falsefalse．
由题设知，false．
因为false，
所以点false在以线段false为直径的圆上，
所以有false． …………5分
又false． 解得false（舍）．
所以false． 所以false．
又false． …………7分
所以false，即false为等腰三角形．
（ii）法1：设 false，且false,false,false.
记直线false的斜率分别为false.
所以false.
因为false， 所以false.
又false.
因为 false 所以false. 所以false.
所以false，即直线false和直线false的斜率之比为false. …………12分
（ii）法2：因为点false不是椭圆false的顶点，
所以直线false的斜率都存在且不为0，
设直线false的方程为false
由false得false 由false所以false.
设 false,false的中点false.
因为false 所以falsefalse， …
因为false 所以false
又因为false所以false.所以false.
21解：(false)依题意得函数false得定义域为(0,+false)，所以方程false在(0,+false)有两个不同的根，
即方程false在(0,+false)有两个不同的根.
问题转化为函数false与false的图象(0,+false)有两个不同的交点.
又false即当false时，false；当false时，false，
所以false在false上单调递增，在false上单调递减.
从而false ………………3分
又false有且只有一个零点是1，且当false时，false；当false时，false. 所以，要想函数false与函数false的图象(0,+false)有两个不同的交点，
只需false. ………………6分
(false)因为false等价于false，由(false)知false是方程false的两个根，
即false，所以原式等价于false，
因为false，所以原式等价于false. …………8分
又由false作差得false，即false.所以原式等价于false，因为false时，原式恒成立，即false恒成立.
令false，则不等式false在false上恒成立.
令false，又false，
当false时，可见false时，false，所以false上单调递增,
又false上恒成立，符合题意. …………10分
当false时，可见当false时，false，当false时，false所以false上单调递增, 在false上单调递减，又false上不恒成立，不符合题意，舍去.
综上所述，若不等式false恒成立，只需false，又false，所以false.…12分
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程?
解：（1）false的普通方程为false，代入false得false的极坐标方程为false， ………………………………………………………………………（3分）
false的极坐标方程为false ……………………………………………………（5分）
（2）联立false与false的极坐标方程得false ……………（6分）
联立false与false的极坐标方程得false …………………………（7分）
则false
∴false. ……………………………………………（10分）
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲?
（1）当false时，函数false， ……………（2分）
当false时，由false，可得false，解得false；
当false时，由false，可得false，解得false；
当false时，由false，可得false，此时解集为空集，
综上所述：不等式false的解集为false. …………………………………（5分）
（2）若false，函数false
由一次函数性质可知false在false为减函数，在false为增函数，
所以false， …………………………………………………（8分）
因为不等式false恒成立，即false，即false，解得false
又因为false，所以实数a的取值范围false. ……………………………………（10分）