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6.2-6.3
向心力和向心加速度
一、选择题
1.[2019·东北育才学校期中考试](多选)静止在地球上的物体随地球做匀速圆周运动，有关位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，下列说法正确的是(
)
A.它们的角速度之比ω1:ω2＝2:1
B.它们的线速度之比v1:v2＝2:1
C.它们的向心加速度之比a1:a2＝2:1
D.它们的向心加速度之比a1:a2＝4:1
2.[2019·山西大同一中期中考试]如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半．A.B.C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则(
)
A.A.B两点的线速度大小之比为2:1
B.B.C两点的角速度之比为1:2
C.A.B两点的向心加速度大小之比为2:1
D.A.C两点的向心加速度大小之比为1:4
3.[2019·江西吉安一中期中考试]如图所示，质量为m的小球用长为L的细线悬挂在O点，在O点的正下方L/2处有一个钉子，把小球拉到水平位置由静止释放．当细线摆到竖直位置碰到钉子时，下列说法不正确的是(
)
A.小球的线速度大小保持不变
B.小球的角速度突然增大为原来的2倍
C.细线的拉力突然变为原来的2倍
D.细线的拉力一定大于重力
4.(2019广州十二中学业检测)如图所示，质量相等的a、b两物体放在圆盘上，到圆心的距离之比是2:3，圆盘绕圆心做匀速圆周运动，两物体相对圆盘静止，a、b两物体做圆周运动的向心力之比是(
)
A.
B.
C.
D.
5.[2019·江苏扬州中学期中考试]有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是(
)
A.如图a，汽车通过拱桥的最高点时处于超重状态
B.如图b所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度不变
C.如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A.B位置分别做匀速圆周运动，则在A.B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等
D.火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
6.[2019·山东枣庄三中期中考试]摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用，行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一超高速摆式列车在水平面内行驶，以360km/h的速度拐弯，拐弯半径为1km，则质量为50kg的乘客在拐弯过程中所受到的列车给他的作用力大小为(g＝10m/s2)(
)
A.0
B.500N
C.1000N
D.500N
7.[2019·广东广雅中学期中考试]如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(
)
A.人在最高点时处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B.人在最高点时对座椅不可能产生大小为mg的压力
C.人在最低点时对座椅的压力等于mg
D.人在最低点时对座椅的压力大于mg
8.(2019衡水市冀州中学模拟)如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内作匀速圆周运动，A的运动半径较大，则下列说法正确的是(
)
A.球A的线速度小于球B的线速度
B.球A的角速度小于球B的角速度
C.球A的加速度等于球B的加速度
D.球A对筒壁的压力大小等于球B对筒壁的压力大小
9.[2019·山西高平一中期中考试](多选)如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是(
)
A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
D.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
10.[2019·陕西宝鸡中学期中考试](多选)如图所示，叠放在水平转台上的物体A.B及物体C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A.B.C的质量分别为3m、2m、m，A与B.B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B.C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(重力加速度为g)(
)
A.B对A的摩擦力一定为3μmg
B.B对A的摩擦力一定为3mω2r
C.转台的角速度一定满足ω≤
D.转台的角速度一定满足ω≤
11.[2019·北京十二中期末考试](多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(即圆锥摆)．现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是(
)
A.小球P运动的周期变大
B.小球P运动的线速度变大
C.小球P运动的角速度变小
D.Q受到桌面的支持力不变
12.[2019·河南郑州七中期中考试]如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A.B两点，A.B两点间的距离也为L.重力加速度大小为g.现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为(
)
A.mg
B.mg
C.3mg
D.2mg
13.[2019·湖北武汉华中师大一附中期中考试]如图所示，光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最高点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，下列说法正确的是(重力加速度为g)(
)
A.小球b在最高点一定对外轨道有向上的压力
B.小球b在最高点一定对内轨道有向下的压力
C.速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动
D.小球a在最低点一定对外轨道有向下的压力
14.(2019绵阳三模)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时(
)
A.球B的速度为零
B.球A的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
15.(2019湖北省荆州中学高三模拟)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(
)
A.当时，A.B相对于转盘会滑动
B.当时，绳子一定有弹力
C.ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
D.ω在范围内增大时，B所受摩擦力变大
三、解答题
16.[2019·北京市第五中学期中考试]如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点，分别为A.
B.C，已知三个轮的半径比r1:r2:r3＝2:1:1，求：
(1)A.B.C三点的线速度大小之比vA:vB:vC；
(2)A.B.C三点的角速度之比ωA:ωB:ωC；
(3)A.B.C三点的向心加速度大小之比aA:aB:aC.
17.[2019·上海交大附中期中考试]“东风”汽车公司在湖北某地有一试车场，其中有一检测汽车在极限状态下车速的试车道，该试车道呈碗状，如图所示．有一质量为m＝1t的小汽车在A车道上飞驰，已知该车道转弯半径R为150m，路面倾斜角为θ＝45°(与水平面夹角)，路面与车胎间的动摩擦因数μ为0.25，重力加速度g＝10m/s2，求汽车所能允许的最大车速．
18.[2019·四川广元中学期末考试]如图所示，一根长为l＝1m的细线一端系一质量为m＝1kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T.(g＝10m/s2,sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若小球即将离开锥面，则小球的角速度ω0为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
19.(2019宁夏育才中学模拟)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。
20.[2019·湖南师大附中期中考试]如图所示，绳一端系着质量为M＝0.6kg的物体A(可视为质点)，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m＝0.3kg的物体B(可视为质点)，A与圆孔O的距离r＝0.2m，A与水平面间的最大静摩擦力为2N．现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围内可使质量为m的物体B处于静止状态？(g取10m/s2)
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精品试卷·第
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（共
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6.2-6.3
向心力和向心加速度
一、选择题
1.[2019·东北育才学校期中考试](多选)静止在地球上的物体随地球做匀速圆周运动，有关位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，下列说法正确的是(
)
A.它们的角速度之比ω1:ω2＝2:1
B.它们的线速度之比v1:v2＝2:1
C.它们的向心加速度之比a1:a2＝2:1
D.它们的向心加速度之比a1:a2＝4:1
【答案】BC
【解析】随地球一起转动的物体具有相同的角速度，故A错误．但各自转动的轨道半径与所处的纬度有关，r2＝r1cos60°＝r1，由v＝ωr得，线速度之比v1:v2＝2:1，由a＝ω2r得它们的向心加速度之比a1:a2＝2:1，故BC正确，D错误．
2.[2019·山西大同一中期中考试]如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半．A.B.C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则(
)
A.A.B两点的线速度大小之比为2:1
B.B.C两点的角速度之比为1:2
C.A.B两点的向心加速度大小之比为2:1
D.A.C两点的向心加速度大小之比为1:4
【答案】D
【解析】传动中皮带不打滑，则A.B两点的线速度大小相等，A错误；B.C两点绕同一轴转动，故B.C两点的角速度相等，故B错误；由于A.B两点的线速度大小相等，半径之比为2:1，由向心加速度a＝可知A.B两点的向心加速度大小之比为1:2，C错误；由于B.C两点的角速度相等，由a＝ω2R可知B.C两点的向心加速度大小之比为1:2，又A.B两点的向心加速度大小之比为1:2，故D正确．
3.[2019·江西吉安一中期中考试]如图所示，质量为m的小球用长为L的细线悬挂在O点，在O点的正下方L/2处有一个钉子，把小球拉到水平位置由静止释放．当细线摆到竖直位置碰到钉子时，下列说法不正确的是(
)
A.小球的线速度大小保持不变
B.小球的角速度突然增大为原来的2倍
C.细线的拉力突然变为原来的2倍
D.细线的拉力一定大于重力
【答案】C
【解析】细线碰到钉子的前后瞬间，由于重力方向与拉力方向都与速度方向垂直，所以小球的线速度大小不变，根据ω＝，半径变为一半，可知角速度变为原来的2倍，选项AB两项正确；根据牛顿第二定律得，F－mg＝m，则F＝mg＋m，可知细线的拉力增大，但不是原来的2倍，故D项正确，C项错误．故选C项．
4.(2019广州十二中学业检测)如图所示，质量相等的a、b两物体放在圆盘上，到圆心的距离之比是2:3，圆盘绕圆心做匀速圆周运动，两物体相对圆盘静止，a、b两物体做圆周运动的向心力之比是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】两个物体是同轴转动，因此角速度相等，质量又相等，根据可知，向心力之比。
5.[2019·江苏扬州中学期中考试]有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是(
)
A.如图a，汽车通过拱桥的最高点时处于超重状态
B.如图b所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度不变
C.如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A.B位置分别做匀速圆周运动，则在A.B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等
D.火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
【答案】B
【解析】汽车通过拱桥的最高点时加速度向下，故处于失重状态，选项A错误；圆锥摆的向心力为mgtanθ，高度h不变，其轨道半径为htanθ，由牛顿第二定律得mgtanθ＝mω2htanθ，易得ω＝，角速度与角度θ无关，B项正确；题图c中，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A.B位置分别做匀速圆周运动，则小球的向心力F＝＝mω2r，则在A.B两位置小球的向心力相同，但A位置的转动半径较大，故角速度较小，小球所受筒壁的支持力大小为FN＝，故支持力相等，C错误；火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对外轮缘会有挤压作用，选项D错误．
6.[2019·山东枣庄三中期中考试]摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用，行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一超高速摆式列车在水平面内行驶，以360km/h的速度拐弯，拐弯半径为1km，则质量为50kg的乘客在拐弯过程中所受到的列车给他的作用力大小为(g＝10m/s2)(
)
A.0
B.500N
C.1000N
D.500N
【答案】D
【解析】已知列车以360km/h的速度拐弯，拐弯半径为1km，则向心加速度为a＝＝10m/s2，列车上的乘客在拐弯过程中受到的列车给他的作用力垂直于列车底部向上，大小为N，还受到重力，其合力F指向圆心，则F＝ma＝500N，而乘客的重力与合力F大小相等，那么作用力与向心力的夹角为45°，则列车给乘客的作用力大小为N＝＝N＝500N，故D项正确．
7.[2019·广东广雅中学期中考试]如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(
)
A.人在最高点时处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B.人在最高点时对座椅不可能产生大小为mg的压力
C.人在最低点时对座椅的压力等于mg
D.人在最低点时对座椅的压力大于mg
【答案】D
【解析】设座椅对人的作用力为F，人在最高点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得F＋mg＝m，由此可知，当v＝时，人只受重力作用；当v>时，重力和座椅对人向下的压力提供向心力；当v<时，除受重力外，人还受保险带向上的拉力，A项错误．当v＝时，座椅对人向下的压力等于重力mg，由牛顿第三定律知，人对座椅的压力等于mg，选项B错误．人在最低点时，受到重力和支持力，由牛顿第二定律和向心力公式可得F－mg＝m，即F＝mg＋m>mg，故C项错误，D项正确．
8.(2019衡水市冀州中学模拟)如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内作匀速圆周运动，A的运动半径较大，则下列说法正确的是(
)
A.球A的线速度小于球B的线速度
B.球A的角速度小于球B的角速度
C.球A的加速度等于球B的加速度
D.球A对筒壁的压力大小等于球B对筒壁的压力大小
【答案】BCD
【解析】如下图所示，小球A和B紧贴着内壁分别在水平面内做匀速圆周运动。由于A和B的质量相同，小球A和B在两处的合力相同，即它们做圆周运动时的向心力是相同的。
由向心力的计算公式，由于球A运动的半径大于B球的半径，F和m相同时，半径大的线速度大，故A错误。
由公式F=mω2r，由于球A运动的半径大于曰球的半径，F和m相同时，半径大的角速度小，所以球A的角速度小于球B的角速度，故B正确。
由F=ma知，球A的加速度等于球B的加速度，故C正确。根据力图可知，筒壁对A球的支持力等于筒壁对曰球的支持力，则球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力，故D正确。故选BCD。
9.[2019·山西高平一中期中考试](多选)如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是(
)
A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
D.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
【答案】CD
【解析】在最高点，若向心力完全由重力提供，即球和细绳之间没有相互作用力，此时有mg＝m，解得v0＝，此时小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，若v>，则小球对细绳有拉力，若v<，则小球不能在竖直平面内做圆周运动，所以在最高点，充当向心力的不一定是重力，在最低点，细绳的拉力和重力的合力充当向心力，故有T－mg＝m，即T＝m＋mg，则小球过最低点时细绳的拉力一定大于小球重力，故CD正确，AB错误．
10.[2019·陕西宝鸡中学期中考试](多选)如图所示，叠放在水平转台上的物体A.B及物体C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A.B.C的质量分别为3m、2m、m，A与B.B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B.C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(重力加速度为g)(
)
A.B对A的摩擦力一定为3μmg
B.B对A的摩擦力一定为3mω2r
C.转台的角速度一定满足ω≤
D.转台的角速度一定满足ω≤
【答案】BD
【解析】B对A的静摩擦力提供A做圆周运动的向心力，有f＝3mω2r，A项错，B项对；C刚好发生滑动时，μmg＝mω·1.5r，ω1＝，A刚好发生滑动时，3μmg＝3mωr，ω2＝，A.B一起刚好发生滑动时，5μmg＝5mωr，ω3＝，故转台的角速度一定满足ω≤，D项对，C项错．
11.[2019·北京十二中期末考试](多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(即圆锥摆)．现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是(
)
A.小球P运动的周期变大
B.小球P运动的线速度变大
C.小球P运动的角速度变小
D.Q受到桌面的支持力不变
【答案】BD
【解析】设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T，细线的长度为L.球P做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有mgtanθ＝mω2Lsinθ，得角速度ω＝，周期T＝＝2π，线速度v＝rω＝Lsinθ·＝，小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cosθ减小，角速度增大，周期T减小，线速度变大，B项正确，AC两项错误；金属块Q保持在桌面上静止，对金属块和小球研究，在竖直方向没有加速度，根据平衡条件可知，Q受到桌面的支持力等于Q与小球的总重力，保持不变，选项D正确．
12.[2019·河南郑州七中期中考试]如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A.B两点，A.B两点间的距离也为L.重力加速度大小为g.现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为(
)
A.mg
B.mg
C.3mg
D.2mg
【答案】A
【解析】解析：设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则有r＝Lcosθ＝L.根据题述小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝m；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcosθ＋mg＝m，联立解得F＝mg，A项正确．
13.[2019·湖北武汉华中师大一附中期中考试]如图所示，光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最高点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，下列说法正确的是(重力加速度为g)(
)
A.小球b在最高点一定对外轨道有向上的压力
B.小球b在最高点一定对内轨道有向下的压力
C.速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动
D.小球a在最低点一定对外轨道有向下的压力
【答案】D
【解析】当小球在最高点对轨道无压力时，重力提供向心力，mg＝m，v＝，小球在最高点速度小于时，内轨道可以对小球产生向上的支持力，大于时，外轨道可以对小球产生向下的压力，故小球在最高点速度只要大于零就可以在管内做圆周运动，ABC三项错误．在最低点外轨道对小球有向上的支持力，支持力和重力的合力指向圆心，提供小球做圆周运动的向心力，选项D项正确．
14.(2019绵阳三模)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时(
)
A.球B的速度为零
B.球A的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
【答案】C
【解析】A.球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，
有：，解得：①，故A错误；
B.由于A.B两球的角速度相等，则球A的速度大小，故B错误；
C.B球到最高点时，对杆无弹力，此时A球受重力和拉力的合力提供向心力，有：，解得：故C正确，D错误。
15.(2019湖北省荆州中学高三模拟)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(
)
A.当时，A.B相对于转盘会滑动
B.当时，绳子一定有弹力
C.ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
D.ω在范围内增大时，B所受摩擦力变大
【答案】ABC
【解析】当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A.B相对于转盘会滑动
对A有：Kmg－T=mLω2，对B有：T+Kmg=m·2Lω2，解得
当时，A.B相对于转盘会滑动，故A正确；
当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，Kmg=m·2Lω2，解得，知时，绳子具有弹力，故B正确；
当ω在范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力
所以f－T=mLω2，当ω增大时，静摩擦力也增大，故C正确；
角速度，B所受的摩擦力变大，故D错误。
故选ABC。
三、解答题
16.[2019·北京市第五中学期中考试]如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点，分别为A.
B.C，已知三个轮的半径比r1:r2:r3＝2:1:1，求：
(1)A.B.C三点的线速度大小之比vA:vB:vC；
(2)A.B.C三点的角速度之比ωA:ωB:ωC；
(3)A.B.C三点的向心加速度大小之比aA:aB:aC.
【答案】(1)2:2:1(2)1:2:1(3)2:4:1
【解析】(1)令vA＝v，由于转动时不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC＝v，所以vA:vB:vC＝2:2:1
(2)令ωA＝ω，由于共轴转动，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA:ωB:ωC＝1:2:1
(3)令A点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a，又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故aC＝a，所以aA:aB:aC＝2:4:1
17.[2019·上海交大附中期中考试]“东风”汽车公司在湖北某地有一试车场，其中有一检测汽车在极限状态下车速的试车道，该试车道呈碗状，如图所示．有一质量为m＝1t的小汽车在A车道上飞驰，已知该车道转弯半径R为150m，路面倾斜角为θ＝45°(与水平面夹角)，路面与车胎间的动摩擦因数μ为0.25，重力加速度g＝10m/s2，求汽车所能允许的最大车速．
【答案】50m/s
【解析】
以汽车为研究对象，其极限状态下的受力分析如图所示．当摩擦力达到最大时，速度最大，在竖直方向上有FNsin45°－Ffcos45°－mg＝0
根据牛顿第二定律，在水平方向上有
FNcos45°＋Ffsin45°＝m又Ff＝μFN
联立并将已知数据代入，解得v＝50m/s
即汽车所能允许的最大车速为50m/s.
18.[2019·四川广元中学期末考试]如图所示，一根长为l＝1m的细线一端系一质量为m＝1kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T.(g＝10m/s2,sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若小球即将离开锥面，则小球的角速度ω0为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【答案】ω′＝＝rad/s
【解析】(1)小球即将离开锥面时，小球只受到重力和拉力作用，小球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得mgtanθ＝mωlsinθ
解得ω0＝＝rad/s
(2)当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律得
mgtan60°＝mω′2lsin60°
解得ω′＝＝rad/s
19.(2019宁夏育才中学模拟)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。
【答案】a、b两球落地点问的距离为3R。
【解析】两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，a、b两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差。
对a球：
解得
对b球：
解得
由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移为：
∴sA－sB=3R
20.[2019·湖南师大附中期中考试]如图所示，绳一端系着质量为M＝0.6kg的物体A(可视为质点)，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m＝0.3kg的物体B(可视为质点)，A与圆孔O的距离r＝0.2m，A与水平面间的最大静摩擦力为2N．现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围内可使质量为m的物体B处于静止状态？(g取10m/s2)
【答案】rad/s≤ω≤rad/s
【解析】设质量为M的物体A受到的拉力为T、摩擦力为f，当ω有最小值时，静摩擦力方向背离圆心且最大，根据牛顿第二定律，对质量为m的物体B有T＝mg，对质量为M的物体A有T－fm＝Mrω，所以ω1＝rad/s
当ω有最大值时，水平面对质量为M的物体A的静摩擦力方向指向圆心且最大，根据牛顿第二定律，对质量为M的物体A有T＋fm＝Mrω，得ω2＝rad/s
故rad/s≤ω≤rad/s
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精品试卷·第
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