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8.3
动能定理
一、选择题
1.如图所示，一球员将足球从球门正前方某处踢出，在竖直平面内经位置1.2.3后落地，位置1.3等高，位置2在最高点，不考虑足球的旋转，则下列有关足球的描述错误的是(
)
A.在位置3与位置1时的速度大小相等
B.上升过程的时间小于下落过程的时间
C.在位置2的加速度比位置3的加速度大
D.从位置1到2过程减少的动能大于从位置2到3过程增加的动能
【答案】A
【解析】A.由于空气阻力不能忽略，从1到2位置，根据动能定理有
从2到3位置，根据动能定理有
由于从1到2位置和2到3位置，空气阻力做功不同，上升时平均阻力更大，做功多，即，即所以在位置3与位置1时的动能大小不相等，那么速度大小也不相等，A错误；
B.运动时间由竖直方向决定，对竖直方向受力分析，根据牛顿第二定律，上升阶段有
下降阶段有
比较可得，上升阶段的平均加速度大于下降阶段，位移相同时，上升过程的时间就小于下落过程的时间，B正确；
C.在2位置时，速度最小，阻力也最小，合力与重力较为接近，在3位置时，速度较大，阻力也较大，阻力与重力的合力一定小于2位置，所以在位置2的加速度比位置3的加速度大，C正确；
D.从位置1到2中，减少的动能等于重力做的负功和阻力做的负功之和，从位置2到3过程，增加的动能也为重力做的正功和阻力做的负功之和，重力做的功大小相等，由于空气阻力都做负功，所以很明显从位置1到2过程减少的动能大于从位置2到3过程增加的动能，D正确。
故选A。
2.质量为4kg的物体被人由静止开始向上提升0.25m后速度达到1m/s，g取10m/s2，则下列判断错误的是(
)
A.人对物体做的功为12J
B.合外力对物体做的功为2J
C.物体克服重力做的功为10J
D.人对物体做的功等于物体增加的动能
【答案】D
【解析】由动能定理知，合外力对物体做的功等于物体动能的增加量，W人－mgh＝mv2－0，得人对物体做的功W人＝mgh＋mv2＝12J，A正确，D错误；合外力做的功W合＝mv2＝2J，B正确；物体克服重力做的功为mgh＝10J，C正确。D符合题意。
3.一质量为2kg的滑块，以4m/s的速度在光滑的水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力做的功为(
)
A.0
B.8J
C.16J
D.32J
【答案】A
【解析】根据动能定理，合力做功等于动能的改变量，有W＝mv22－mv12＝0，由于动能变化量为0，所以合力不做功，故A项正确.
4.如图所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的高度为5m，速度为6m/s，若物体的质量为1kg.则下滑过程中物体克服阻力所做的功为(
)
A.50J
B.18J
C.32J
D.0J
【答案】C
【解析】由动能定理得mgh－Wf＝mv2，故Wf＝mgh－mv2＝1×10×5J－×1×62J＝32J，C正确.]
5.将距离沙坑表面上方1m高处质量为0.2kg的小球由静止释放，测得小球落入沙坑静止时距离沙坑表面的深度为10cm.若忽略空气阻力，g取10m/s2，则小球克服沙坑的阻力所做的功为(
)
A.0.4J
B.2J
C.2.2J
D.4J
【答案】C
【解析】由动能定理得mg(h＋d)－Wf＝0，解得小球克服沙坑的阻力所做的功为Wf＝2.2J，故C正确，A.B.D错误.]
6.在离地面高为处竖直上抛一质量为的物块，抛出时的速度为，当它落到地面时速度为，重力加速度为，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由动能定理可知
此过程中物块克服空气阻力所做的功为
7.如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面.设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是(
)
A.mgh－mv2
B.mv2－mgh
C.－mgh
D.－(mgh＋mv2)
【答案】A
【解析】由A到C的过程运用动能定理可得：
－mgh＋W＝0－mv2
所以W＝mgh－mv2，所以A正确.]
8.某消防队员从一平台无初速度跳下，下落2m后双脚触地，同时采用双腿弯曲的方法缓冲。若视其在缓冲过程中自身重心又匀变速下降了0.5m，则在着地过程中，地面对他双脚的平均作用力大约为自身重力的(
)
A.5倍
B.10倍
C.20倍
D.3倍
【答案】A
【解析】设消防员重力为mg，地面对双脚的平均作用力为F，从平台跳下至最低点的过程，据动能定理可得
代入数据可得，故地面对他双脚的平均作用力大约为自身重力的5倍，A正确。
故选A。
9.轻质弹簧竖直放在地面上，物块P的质量为m，与弹簧连在一起保持静止。现用竖直向上的恒力F使P向上加速运动一小段距离L时，速度为v，下列说法中正确的是(
)
A.合外力做的功是.
B.重力做的功是mgL
C.合外力做的功是FL-mgL
D.弹簧弹力做的功是mgL-FL+
【答案】AD
【解析】根据动能定理，合外力做功为：W合=△Ek=mv2，故A正确，C错误；物体上升L时，克服重力做功为mgL，即重力做功为-mgL，故B错误；根据动能定理，有：-mgL+FL+W弹=mv2，解得：W弹=mgL-FL+mv2，故D正确；故选AD。
点睛：本题关键是明确物体的受力情况，然后结合动能定理列式求解各个力的功，注意重力做的是负功；弹力是变力，要根据动能定理求解其做功.
10.如图,半圆形光滑轨道固定在水平地面上,半圆的直径与地面垂直,一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道,并从轨道上端水平飞出,小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关,此距离最大时,对应的轨道半径为(重力加速度为g)(
)
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设半圆的半径为R，根据动能定理得：?mg?2R＝mv′2?mv2，离开最高点做平抛运动，有：2R=gt2，x=v′t，联立解得：，可知当R=时，水平位移最大，故B正确，ACD错误.故选B.
11.如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于(
)
A.20
B.18
C.9.0
D.3.0
【答案】B
【解析】有题意可知当在a点动能为E1时，有
根据平抛运动规律有
当在a点时动能为E2时，有
根据平抛运动规律有
联立以上各式可解得
12.如图所示，一半径为R，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置,直径POQ水平.一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道.质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小.用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功.则(
)
A.，质点恰好可以到达Q点
B.，质点不能到达Q点
C.，质点到达Q后，继续上升一段距离
D.，质点到达Q后，继续上升一段距离
【答案】C
【解析】
根据动能定理可得P点动能，经过N点时，半径方向的合力提供向心力，可得，所以N点动能为，从P点到N点根据动能定理可得，即摩擦力做功.质点运动过程，半径方向的合力提供向心力即，根据左右对称，在同一高度，由于摩擦力做功导致右半幅的速度小，轨道弹力变小，滑动摩擦力变小，所以摩擦力做功变小，那么从N到Q，根据动能定理，Q点动能，由于，所以Q点速度仍然没有减小到0，仍会继续向上运动一段距离，对照选项C对.
二、解答题
13.如图所示，用F=8N的水平拉力，使物体从A点由静止开始沿光滑水平面做匀加速直线运动到达B点，已知A.B之间的距离s=8m.求：
(1)拉力F在此过程中所做的功；
(2)物体运动到B点时的动能.
【答案】(1)64J；(2)64J
【解析】
(1)由功的公式W=Fs知拉力F在此过程中所做的功
W=Fs=8×8=64J
(2)由动能定理，物体运动到B点时的动能
EkB=W=64J
14.如图所示，一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点的正下方P点。已知重力加速度大小为g，OP与OQ之间的夹角为θ。
(1)小球在水平拉力的作用下，从P点缓慢地移动到Q点，求水平拉力F做的功；
(2)小球在水平恒力的作用下，从P点运动到Q点，求小球在Q点的速度大小。
【答案】(1)；(2)
【解析】
(1)小球缓慢运动，动能变化量为零，由动能定理得
解得
(2)小球从P点运动到Q点，由动能定理得
由题知F=mg
解得
15.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是多少？
【答案】最低点
最高点：
由动能定律得
解得
所以克服空气阻力做功
【解析】本题首先用牛顿第二定律列示求出圆周运动最低点与最高点得瞬时速度的大小，再由最低点到最高点列动能定理解题，得出空气阻力做的功.本题属于绳子栓小球模型，注意最高点重力提供向心力.
16.如图所示，粗糙水平轨道AB与半径为R的光滑半圆形轨道BC相切于B点，现有质量为m的小球(可看成质点)以初速度v0＝，从A点开始向右运动，并进入半圆形轨道，若小球恰好能到达半圆形轨道的最高点C，最终又落于水平轨道上的A处，重力加速度为g，求：
(1)小球落到水平轨道上的A点时速度的大小vA；
(2)水平轨道与小球间的动摩擦因数μ。
【答案】(1)mg＝m，得vC＝，从C到A由动能定理得mg·2R＝mv－mv，得vA＝。
(2)AB的距离为xAB＝vCt＝×＝2R
从A出发回到A由动能定理得
－μmgxAB＝mv－mv，解得μ＝0.25。
17.粗糙的1/4圆弧的半径为0.45m，有一质量为0.2kg的物体自最高点A从静止开始下滑到圆弧最低点B.然后沿水平面前进0.4m到达C点停止.设物体与轨道间的动摩擦因数为0.5(取g＝10m/s2)，求：
(1)物体到达B点时的速度大小；
(2)物体在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功.
【答案】(1)2m/s(2)0.5J
【解析】(1)物体从B运动到C的过程，由动能定理得：－μmgx＝0－mv
解得：vB＝2m/s.
(2)物体从A运动到B的过程，由动能定理得：
mgR－Wf＝mv－0
解得：Wf＝0.5J.
18.如图所示，水平传送带BC顺时针转动，一半径R=1m的竖直粗糙四分之一圆弧轨道AB和传送带在B点平滑连接，一半径为r的竖直光滑半圆弧轨道CD和传送带在C点平滑连接。现有一质量为m=0.1kg的滑块(可视为质点)从A点无初速释放，经过圆弧上B点时，轨道对滑块的支持力大小为F=2.6N，滑块从C点进入圆弧轨道CD后从D水平飞出落在传送带上的E点(图中没有画出)。已知传送带的速率为v1=2m/s，BC间的距离为L=4m，滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.2，g取10m/s2，不计空气阻力。求：
(1)滑块在圆弧轨道AB上克服摩擦力所做功Wf；
(2)圆弧轨道CD的半径r为多大时，CE间的距离最大？最大值为多少？
【答案】(1)0.2J；(2)r=0.05m时，xCE最大为0.2m
【解析】(1)由牛顿第二定律可得
解得
由动能定理可得
解得
(2)设滑块在传送带上运动距离x时，与传送带达到共同速度，有
解得
∴滑块在传送带上先减速后匀速，离开传送带的速度为
离开传送带后滑块先沿圆弧轨道CD做圆周运动
滑块飞离D点后做平抛运动，有
解得当r=0.05m时，xCE最大为0.2m。
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动能定理
一、选择题
1.如图所示，一球员将足球从球门正前方某处踢出，在竖直平面内经位置1.2.3后落地，位置1.3等高，位置2在最高点，不考虑足球的旋转，则下列有关足球的描述错误的是(
)
A.在位置3与位置1时的速度大小相等
B.上升过程的时间小于下落过程的时间
C.在位置2的加速度比位置3的加速度大
D.从位置1到2过程减少的动能大于从位置2到3过程增加的动能
2.质量为4kg的物体被人由静止开始向上提升0.25m后速度达到1m/s，g取10m/s2，则下列判断错误的是(
)
A.人对物体做的功为12J
B.合外力对物体做的功为2J
C.物体克服重力做的功为10J
D.人对物体做的功等于物体增加的动能
3.一质量为2kg的滑块，以4m/s的速度在光滑的水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力做的功为(
)
A.0
B.8J
C.16J
D.32J
4.如图所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的高度为5m，速度为6m/s，若物体的质量为1kg.则下滑过程中物体克服阻力所做的功为(
)
A.50J
B.18J
C.32J
D.0J
5.将距离沙坑表面上方1m高处质量为0.2kg的小球由静止释放，测得小球落入沙坑静止时距离沙坑表面的深度为10cm.若忽略空气阻力，g取10m/s2，则小球克服沙坑的阻力所做的功为(
)
A.0.4J
B.2J
C.2.2J
D.4J
6.在离地面高为处竖直上抛一质量为的物块，抛出时的速度为，当它落到地面时速度为，重力加速度为，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功为(
)
A.
B.
C.
D.
7.如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面.设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是(
)
A.mgh－mv2
B.mv2－mgh
C.－mgh
D.－(mgh＋mv2)
8.某消防队员从一平台无初速度跳下，下落2m后双脚触地，同时采用双腿弯曲的方法缓冲。若视其在缓冲过程中自身重心又匀变速下降了0.5m，则在着地过程中，地面对他双脚的平均作用力大约为自身重力的(
)
A.5倍
B.10倍
C.20倍
D.3倍
9.轻质弹簧竖直放在地面上，物块P的质量为m，与弹簧连在一起保持静止。现用竖直向上的恒力F使P向上加速运动一小段距离L时，速度为v，下列说法中正确的是(
)
A.合外力做的功是.
B.重力做的功是mgL
C.合外力做的功是FL-mgL
D.弹簧弹力做的功是mgL-FL+
10.如图,半圆形光滑轨道固定在水平地面上,半圆的直径与地面垂直,一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道,并从轨道上端水平飞出,小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关,此距离最大时,对应的轨道半径为(重力加速度为g)(
)
A.
B.
C.
D.
11.如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于(
)
A.20
B.18
C.9.0
D.3.0
12.如图所示，一半径为R，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置,直径POQ水平.一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道.质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小.用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功.则(
)
A.，质点恰好可以到达Q点
B.，质点不能到达Q点
C.，质点到达Q后，继续上升一段距离
D.，质点到达Q后，继续上升一段距离
二、解答题
13.如图所示，用F=8N的水平拉力，使物体从A点由静止开始沿光滑水平面做匀加速直线运动到达B点，已知A.B之间的距离s=8m.求：
(1)拉力F在此过程中所做的功；
(2)物体运动到B点时的动能.
14.如图所示，一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点的正下方P点。已知重力加速度大小为g，OP与OQ之间的夹角为θ。
(1)小球在水平拉力的作用下，从P点缓慢地移动到Q点，求水平拉力F做的功；
(2)小球在水平恒力的作用下，从P点运动到Q点，求小球在Q点的速度大小。
15.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是多少？
16.如图所示，粗糙水平轨道AB与半径为R的光滑半圆形轨道BC相切于B点，现有质量为m的小球(可看成质点)以初速度v0＝，从A点开始向右运动，并进入半圆形轨道，若小球恰好能到达半圆形轨道的最高点C，最终又落于水平轨道上的A处，重力加速度为g，求：
(1)小球落到水平轨道上的A点时速度的大小vA；
(2)水平轨道与小球间的动摩擦因数μ。
17.粗糙的1/4圆弧的半径为0.45m，有一质量为0.2kg的物体自最高点A从静止开始下滑到圆弧最低点B.然后沿水平面前进0.4m到达C点停止.设物体与轨道间的动摩擦因数为0.5(取g＝10m/s2)，求：
(1)物体到达B点时的速度大小；
(2)物体在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功.
18.如图所示，水平传送带BC顺时针转动，一半径R=1m的竖直粗糙四分之一圆弧轨道AB和传送带在B点平滑连接，一半径为r的竖直光滑半圆弧轨道CD和传送带在C点平滑连接。现有一质量为m=0.1kg的滑块(可视为质点)从A点无初速释放，经过圆弧上B点时，轨道对滑块的支持力大小为F=2.6N，滑块从C点进入圆弧轨道CD后从D水平飞出落在传送带上的E点(图中没有画出)。已知传送带的速率为v1=2m/s，BC间的距离为L=4m，滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.2，g取10m/s2，不计空气阻力。求：
(1)滑块在圆弧轨道AB上克服摩擦力所做功Wf；
(2)圆弧轨道CD的半径r为多大时，CE间的距离最大？最大值为多少？
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