29.1投影（1）导学案
【学习目标】
1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；
2、了解平行投影和中心投影的区别。
3、学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
【学习重点】
理解平行投影和中心投影的特征
【学习难点】
在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影
【导学过程】
一、合作学习，探究新知
自学提纲：
1、投影的定义：一般地，
叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
2、投影的分类
（1）平行投影
①平行投影的定义： 是平行投影．如物体在太阳光的照射下形成影子（简称日影）就是平行投影．
②太阳光与影子的关系：物体在太阳光照射的不同时刻，不但影子的大小在变化，而且影子的方向也在变化．
（2）中心投影
①中心投影的定义： 叫做中心投影．如物体在灯泡发出的光线照射下形成影子就是中心投影．
②产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为光源的位置．
（3）如何判断平行投影与中心投影：
分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则为平行投影；若两直线相交，则为中心投影，其交点是光源的位置．
二、教师点拨：
例1：王丽和赵亮两个小朋友晚上在广场的一盏灯下玩，如图1，AB的长表示王丽的身高，BM表示她的影子，CD的长表示赵亮的身高，DN表示他的影子，请画出这盏灯的位置.
例2、某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是【 】
例3：如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度【 】
A．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米
三、针对练习：
1．探照灯、手电筒、路灯等的光线可以看成是从______个点发出的，像这样的光线所形成的投影称为________.
2．投影可分为_____和_____；一个立体图形，共有_______种视图.
3．在太阳光的照射下，矩形窗框在地面上的影子常常是______形，在不同时刻，这些形状一般不一样.
3．下列物品①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯中所成的投影是中心投影的是（ ）
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②⑤
4．太阳发出的光照在物体上是______，车灯发出的光照在物体上是_____（ ）
A.中心投影，平行投影 B.平行投影，中心投影
C.平行投影，平行投影 D.中心投影，中心投影
5.图1是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ）
A、③④②① B、②④③①
C、③④①② D、③①②④
6．如图，身高为1．6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（ ）
（A）4.8m （B）6.4m （C）8m （D）10m
7.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 （ ）
A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短
C、小明的影子和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长
8.某数学课外实验小组想利用树影测量树高。他们在同一时刻测得一身高为1.5m的同学影长为1.35m，因为大树靠近一幢建筑物，影子不会在地面上（如图1），他们测得地面部分的影长BC＝3.6m，墙上影长CD＝1.8m，则树高AB为 。
9. 张明同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米．当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约＿＿＿＿米．
10.如图2，晚上，小亮在广场上乘凉．图2中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO＝12m，小亮的身高AB＝1.6m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出小亮影子的长度．
11.一位同学身高1.6米,晚上站在路灯下,他身体在地面上的影长是2米,若他沿着影长的方向移动2米站立时,影长增加了0.5米,求路灯的高度.
12．（6分）如图，现有m、n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被则两个同学发现（画图用阴影表示）。
13．（6分）路灯下站着小赵、小芳、小刚三人，小芳和小刚的影长如图，确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．
A
C
D
B
图1
N
M
图1
图1
P
A
B
O
图2
小亮29.2三视图（三）
教学目标：
1、知识目标
学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
能力目标
经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。
3、情感目标
使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
教学重点与难点：根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型
教学过程：
一、复习引入
前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形（实物）呢？引导学生结合例例例的三视图想象一下构造还原过程（发展空间想象能力）
二、新课学习
例4根据下面的三视图说出立体图形的名称.
分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形，
解:(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所示;
(2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是圆锥，如图(2)所示.
例5根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状.
分析.由主视图可知，物体正面是正五边形
，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形
的，且有一条棱(中间的实线)可见到。两
条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,物体的侧
面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可
见到,综合各视图可知，物体是五棱柱形状的.
解:物体是五棱柱形状的，如下图所示.
三、巩固再现
1、P121 练习
2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。
四、小结：
1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。
2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。
3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。
五、作业
课本习题第二十九章《投影与视图》 第一节 投影 制作：张景辉
学习目标：1、了解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影；了解平行投
影和中心投影的区别；
2．理解物体正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展空间观念。
重点：了解正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
难点：归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。
学习过程：阅读教材并回答下列问题：
1、一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙面等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做 ，投影所在的平面叫做 。投影形成的条件是
2、投影可分为平行投影与中心投影.其中 所形成的投影叫平行投影； 所形成的投影叫中心投影. 手电筒、路灯的光线可以看成是从_______发出的，它们所形成的投影是_____投影，而太阳光线所形成的投影是_____投影．
3、中心投影和平行投影的区别：
光线 物体与投影面平行时的投影
平行投影
中心投影
4. 利用光线是否平行或是否交于一点来判断是 投影或 投影，以及光源的位置和物体阴影的位置.
5、投影线垂直与投影面产生的投影叫 。它的性质:当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。
例题1：分别画出下列几个几何体从正面和上面看的正投影．
例题2：确定下面两幅图是太阳的光线下形成的还是灯光下形成的 画出同一时刻旗杆的影子和小赵的影子
练习巩固：1．物体的影子在正北方，则太阳在物体的( )
A．正北 B．正南 C．正西 D．正东
2．小明在操场上练习双杠时，发现两横杠在地上的影子( )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法确定
3下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )
4．晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况( )
A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．逐渐变短 D．逐渐变长
5．下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是( )
A．③④②① B．②④③① C．③④①② D．③①②④
拓展延伸：
6．平面直角坐标系中，一点光源位于A(0，5)处，线段
CD⊥x轴于D，C(3，1)，求：(1)CD在x轴上的影长；(2)点C的影子的坐标．29.2 三视图（1）导学案
【学习目标】
会从投影的角度理解视图的概念
会画简单几何体的三视图
通过观察探究等活动，知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系。
【学习重点】
从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图
【学习难点】
对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图
【导学过程】
一、合作学习，探究新知
自学提纲：
当我们从某一个角度观察一个物体时， 叫做物体的一个视图。视图也可以看做 。其中正对着我们的叫做 ，正面下方的叫做 ，右边的叫做 。
一个物体在三个投影面内同时进行正投影， ，叫做主视图； 叫做俯视图； 叫做左视图。
将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的一张三视图。
注意：（1）主视图反映的是物体的长和高；俯视图反映的是物体的长和宽；左视图反映的是物体的宽和高． 因此，在画三种视图时，主视图与俯视图要长对正，主视图与左视图要高平齐，俯视图与左视图要宽相等．
（2）三视图与投影密切相关，某些物体的三视图实际上是该物体在一定条件下所形成的平行投影，某些物体的主视图、俯视图、左视图可以看成在一束平行光线分别从物体的正面，上面，左面照射下，在垂直于这一方向的平面上所形成的投影。
二、教师点拨：
例1: 小明从正面观察如图1所示的两个物体，看到的是（ ）
解析：本题是由正面观察两个物体，所以小明看到的图形应是物体的主视图．从正面看圆柱，所得的图形是长方形；从正面看正方体，所得的图形为正方形
例2 如图2，水杯的俯视图是（ ）
解析：物体的俯视图就是从实物的上面看到的图形，从水杯正上面往下看，看到的一定是水杯圆形的上口和圆形的水杯底及右侧的杯柄
例3:我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图3，从图的左面看这个几何体的所得左视图是（ ）
解析：从左面看，从后至前共有两列，从上至下共有三行，即所画的立体图形的左视图有两列三行．第一列上有3个正方形，第二列上有1个正方形
例4画出下图2所示的一些基本几何体的三视图.
分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:
1.确定主视图的位置，画出主视图;
2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。
3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
解：
例5画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图。
如果支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度，试画
出它的三视图。
分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构
成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的
上下、前后位置关系.
例6右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图
分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看
不见内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时
规定;看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那
分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.
总结：
基本几何体包括圆柱、圆锥、球、直棱柱、圆台，它们的三视图是画复杂几何体三视图的基础。基本几何体的三视图：
（1）正方体的三视图都是正方形。
（2）圆柱的三视图中有两个是长方形，另一个是圆。
（3）圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆和一个点。
（4）四棱锥的三视图中有两个是三角形，另一个是矩形和它的对角线。
（5）球体的三视图都是圆形。
三、巩固再现：P119 练习
四、针对练习：
1.如图1，一个碗摆放在桌面上，则它的俯视图是（ ）
2. 如图的几何体的俯视图是（ ）
3.如图①是一些大小相同的小正方体组成的几何体，其主视图如图②所示，则其俯视图是（ ）
4. 右图是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）
A．
B． C． D．
5. 下面左图所示的几何体的俯视图是（ ）
6.左下图是由若干个小正方形所搭成的几何体及从上面看这个几何体所看到的图形，那么从左边看这个几何体时， 所看到的几何图形是（ ）
7. 下列各几何体均由三个大小相同的正方体组成，其中正视图为右图的是（ ）
8.如图所示的几何体的俯视图是（ ）
7.如图所示，画出该物体的三视图
9．画出如图15所示立体图形的三视图.
（1）如左图，这个几何体的主视图是（ ）
2.如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ）
3.桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按下图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ）
5. 观察下列几何体，主视图、左视图和俯视图都是矩形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
图①
图②
A． B． C． D．
2
1
3
A．
B．
C．
D．
从左面看
A．
D．
B．
C．
从正面看
从上面看
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
a
a
a
图15
A． B． C． D．
A． B． C． D．
左面
A．
B．
C．
D．
A
B
D
C29.2 三视图（二）
教学目标：
1、知识目标
进一步明确正投影与三视图的关系
2、能力目标
经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图；培养动手实践能力，发展空间想象能力。
情感目标
使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
重点：简单立体图形的三视图的画法
难点：三视图中三个位置关系的理解
教学过程：
一、复习引入
1、画一个立体图形的三视图时要注意什么？（上节课中的小结内容）
2、说一说：直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图
3、做一做：画出下列几何体的三视图
4、讲一讲：你知道正投影与三视图的关系获 图29.2-7
二、讲解例题
例2画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图.
分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构
成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的
上下、前后位置关系.
解:如图29.2-7是支架的三视图
例3右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图
分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见
内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定;
看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡
而看不见部分的轮廓线画成虚线.
图29.2-9
解.图如图29.2-7是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁.
三、巩固再现
1、P119 练习
2、一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图.
四、作业
课本习题课题：2.9投影（2）
一、教学目标：
1、了解正投影的概念；
2、能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
3、培养动手实践能力，发展空间想象能力.
二、教学重、难点
教学重点：正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
教学难点：归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影
三、教学过程：
（一）复习引入新课
下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影 图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别
解：结论:图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影;图(2) (3)中，投影线互相平行，形成平行投影;图(2)中，投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影线正对着投影面).
指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影.
（二）合作学习，探究新知
1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置:
(1)铁丝平行于投影面;
(2)铁丝倾斜于投影面，
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状
通过观察，我们可以发现;
(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB = A1B1
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB > A2B2
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3
2、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:
(1)纸板平行于投影面;
(2)纸板倾斜于投影面;
(3)纸板垂直于投影面
结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样;
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化;
(3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段.
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
3、例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.
(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1);
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P图 (2).
分析口述画图要领
解答按课本板书
4、练习
5、谈谈收获
三、作业29.2 三视图（3）导学案
【学习目标】
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力；
3、了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值。
【学习重点】
根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用
【学习难点】
根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状
【导学过程】
一、温故知新
完成下列练习
1、如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。
2、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。
3、某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。
（A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球
二、合作学习，探究新知
例1某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.
分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积.
解:由三视图可知，密封罐的形状是______________(如图(左)).
密封罐的高为_______mm，底面正六边形的直径为_______mm.边长为_______mm，图(右)是它的展开图.
三、巩固再现：P115 练习
四、针对练习：
1．小明从正面观察图1所示的两个物体，看到的是下图中的（ ）
2．图2是空心圆柱体在指定方向上的视图，如图正确的是（ ）
3．将如图3所示放置的一个直角三角形ABC( ∠C=90°)，绕斜边AB旋转一周所得到的几何体的主视图是图中四个图形中的_________（只填序号）．
4．如图4，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB、DC重合，则所围成的几何体图形是图中的（ ）
5.如图，是由一些相同的小立方块搭成的立体图形的三种视图，则搭成这个立体图形的小立方块的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图所示，说出下列四个图形各是由哪些立体图形展开得到的？
7．由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示．
（1）请你画出这个几何体的一种左视图；
（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值．
8．展览厅内要用相同的正方体木块搭成一个三视图如右图的展台，则此展台共需这样的正方体______块．
9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 ．
10．如图是一个几何体的三视图．根据图示，可计算出该几何体的侧面积为 ．
第10题图 第11题图
11.如图是某几何体的展开图.
（1）这个几何体的名称是 ；
（2）画出这个几何体的三视图；
（3）求这个几何体的体积.（取3.14）
正
视
图
左
视
图
俯
视
图
8
8
13
20
10第二十九章 投影与视图
(一)学习导引
1.情境引入
(1)日晷（guǐ）是我国古代利用日影测定时刻的仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时,晷针的影子就回投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢的移动，以此来显示时刻.
(2)取若干长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子.
①固定投影面（即影子所在的平面），改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？
②固定小棒或纸片，改变投影面的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？
2.知识提要
（1）投影的有关概念（物体的投影、投影线、投影面、中心投影、平行投影、正投影）；
（2）投影的性质及其运用；
（3）三视图（主视图、左视图、俯视图）的意义.
（4）根据实物画三视图，根据三视图描述物体的形状.
3.案例分析
案例1. 如图1，请确定路灯灯泡的位置.
【思路点拨】经过一根木杆的顶端及其影子的顶端的线段是由路灯发出的光线的一部分，因此，只要找到这样的两条线段，它们所在的直线的交点就是灯泡的位置.
【解】如图2,直线AB与直线CD的交点P就是灯泡的位置.
【方法点评] 发光点、物体上的点及其影子上的对应点在一条直线上．
案例2. 图3是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图．
【思路点拨】主视图应是三列，每列方块数分别是1，3，4；左视图两列，方块数分别是4，2.
【解】这个几何体的主视图、左视图如图4所示.
【方法点评】主视图看列，俯视图有几列，主视图就有几列；左视图看行，俯视图有几行,左视图就有几列，每行每列中的最大数字是主视图、左视图各列中的层数.
案例3. 图5是几个小立方块所搭几何体的三视图，那么，搭成这个立体图形的小立方块有多少块？
【思路点拨】先确定这个立体图形的大致形状，因此，我们以俯视图为基础，结合主视图和左视图，得到小立方块的个数.
【解】由左视图第一列和第三列只有一个小正方形，知俯视图的第一行和第三行的小正方形上的数字必为1，（俯视图中小正方形上的数字表示该位置小立方块的个数（如图6），由主视图第一列只有一个正方形，知俯视图的第一列的小正方形上的数字必为1，由主视图的第2、3列上有2个小正方形，知俯视图的第2列和第3列中至少有一个小正方形上的数字为2，从而只有它的第2行和第3行上的对应位置的小正方形上的数字都为2.所以这个立体图形由：1+1+1+2+2+1=8（个）小立方块搭成.
【方法点拨】解答此类问题的依据是:主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽.
案例4.如图7(1),中间是一盏路灯,周围有一圈栏杆,图7(2)是其两幅俯视图(图中只画出了部分情形),其中一幅是白天阳光下的俯视图,另一幅是这盏路灯下的俯视图.你认为哪个是其白天的俯视图 哪个是其晚上的俯视图
【思路点拨】观察两个俯视图，发现左图中的栏杆的影子在栏杆所形成区域外，说明其影子是在灯光照射下形成的，因此左图是夜晚路灯下的俯视图，右图是白天阳光下的俯视图.
【解】左图是夜晚路灯下的俯视图，右图是白天阳光下的俯视图.
【方法点拨】连接实物的顶点与和其对应的影子的顶点的线段所在的直线应经过点光源.本题中栏杆在路灯下的影子不可能投在栏杆所围成的圆形区域内.
(二)实践探究
探究1. 画出图8中由一些长方体搭成的几何体的三视图.
探究2. 图9是我国北方某地一棵树在一天不同时刻拍下的五张图片，仔细观察后回答下列问题.
（1）说出这五张图片所对应时间的先后顺序.
（2）根据生活经验，谈谈由早到晚该地物体影子的长短变化规律.
探究3. 与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙,幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树.晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子(如图10所示)，树影是路灯灯光形成的．你能确定此时路灯光源的位置吗？
探究4. 根据物体的三视图（如图11所示），求它表示的几何体的表面积和体积.
(三)整合训练
一、选择题(每小题3分,满分30分)
1．右边几何体的主视图是（ ）
2．下图中几何体的左视图是 （ ）
3．如图，水杯的俯视图是（ ）
4.下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )
5．如图①，在一个长方体上放着一个小正方体，若这个组合体的俯视图是图②，则这个组合体的左视图是（ ）
6．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是 （ ）
7．一个全透明的玻璃正方体，上面嵌有一根黑色的金属丝，如图，金属丝在俯视图中的形状是 （ ）
8．如图，灯光与物体的影子的位置最合理的是 （ ）
9．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度 （ ）
A．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米
10. 已知一个物体由x个相同的正方体堆成，它的正视图(即主视图)和左视图如图所示，那么x的最大值是 （ ）
A．13 B．12
C．11 D．10
二、填空题(每小题3分,满分18分)
11．在①长方体、②球、③圆锥、④圆柱、⑤三棱柱这五种几何体中，其主视图、左视图、俯视图都完全相同的是 （填上序号即可）.
12．一根均匀的竹竿长2米，太阳正中午时将竹竿倾斜与地面成600角，此时，竹竿的影长是____________.
13．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看着一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上的阴影面积是___________．
14．如图是某几何体的三视图，则该几何体是___________，体积等于_________．
15．由一些大小相同的小正方形组成的几何体三视图如图所示，那么，组成这个几何体的小正方体有_________块.
16．如图，都是由边长为1的正方体组成的图形，第①个图形的表面积为6，第②个图形的表面积为18，则第④个图形的表面积是_________，第10个图形的表面积是________.
三、解答题（本题满分72分）
17．（本题满分8分）如图，请你画出下列图形的三视图.
18．（本题满分8分）某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图所示，请你画出此时第三根木棒的影子.
19．（本题满分8分）一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积是多少
20．（本题满分8分）用小立方体搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,，这样的几何体只有一种吗？如果不止一种，试问它至少需要多少个小立方体？最多需要多少个小立方体
21．（本题满分10分）如图，已知线段AB=2cm，投影面为P．
（1）当AB垂直于投影面P时（如图①），请画出线段AB的正投影；
（2）当AB平行于投影面P时（如图②），请画出它的正投影，并求出正投影的长.
（3）在（2）的基础上，点A不动，线段AB绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转300，请在图③中画出线段AB的正投影，并求出其正投影长.
22．（本题满分8分）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长BD为21米，留在墙上的影子高CD为2米，求旗杆的高度.
23．（本题满分10分）如图是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图．
24．（本题满分12分）如图①，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=,两灯柱之间的距离OO′=m.
(l）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；
(2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（AD+AC)是否是定值？请说明理由；
(3）若李华在点A朝着影子（如图②箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.
参考答案
第二十九章 投影与视图 ( http: / / / 200503 / ca641299.htm )
实践探究
1．略 2．（1）按时间先后顺序分别是（b）（d ）（a）（c）（e）.（2）上午太阳光照射物体产生影子较长，后逐渐变短，到中午最短，到下午又逐渐变长 3．略 4．由主视图、左视图是矩形，俯视图是一个带有圆的矩形，可以想象该立体图形是一个挖去圆柱的长方体，由三视图可知该长方体的长、宽、高分别是30mm、20mm、40mm，圆柱的底面直径为16mm，高为40mm，故其表面积是（5200+512π）mm2，体积是（24000-2560π）mm3
整合训练
1．C 2．A 3．A 4．D 5．A 6．A 7．C 8．B 9．D 10．C 11．④
12．1米 13．0.81π米2 14．三棱柱，a3 15．5 16．60；330 17．略 18．略
19．33分米2 20．最少9块，最多13块 21．（1）AB的正投影是一个点；（2）正投影长为2cm；（3）cm 22．16米 23．略 24．（1）；（2）（定值）；（3）
图1
P
A
C
D
B
图2
图3
图4
图5
图6
图7(2)
图7(1)
图8
图9
图10
图11
A． ）
D． ）
C． ）
B． ）
第1题
C
D
A．． ）
正面
第2题
B
A．． ）
B． ）
C． ）
D． ）
第3题
A
B
C
D
第4题
正面
图①
图②
B
C
第5题
A
D
A．
B．
C．
D．
第6题
A
B
C
D
第7题
C． ）
D． ）
B． ）
A． ）
第8题
O
B
N
M
A
第9题
第10题
第14题
第13题
主视图
左视图
俯视图
第15题
第16题
PAGE课题：29.3 课题学习 制作立体模型
一．教学目标
1. 知识与技能目标
（1）实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识；
（2）加强在实践活动中手脑结合的能力；
（3）体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系.
2. 过程与方法目标
（1）通过创设情境，让学生自主探索立体图形的制作过程；
（2）通过自主探索，合作研究讨论，使学生加深投影和视图的认识；
（3）模型制作，体会由平面图形转化为立体图形的过程与乐趣.
3. 情感、态度价值观目标
（1）通过创设问题情境，使学生感受平面图形与立体图形的关系；
（2）通过参与数学实践，培养合作探索精神和尊重理解他人想法的学习品质；
（3）通过动手实践活动，培养学生的创新意识与创造发明的意识；
二．教学重点和难点：
重点：让学生亲自经历规律的发现、深入、研究、应用的过程；
难点：学生通过手工制作，实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中，科学的研究态度.
三．教学方法和手段：
创设情境、合作制作、讨论交流
四．教学用具：
1．教具准备：多媒体教学课件、制作完的模型样品
2．学具准备：刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等
五．教学设计：
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一．创设情境，提出任务二、创设情境，研究问题三、动手试验 师：情境1.以硬纸板为主要原材料，分别作出下面的两组视图所表示的立体模型 图1 图2情境2 按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型师：下面的每组平面图形，都是由四个等边三角形组成的.（1）指出其中哪些可以叠成多面体.把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；（2）画出由上面图形能叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；（3）如果上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？ 学生动手制作想象做成的图形的样子也是一种乐趣学生动手制作实际动手制作立体物品有利于学生空间想象力的建立.开始的想象会有一定难度，但是在随着立体模型的建立，学生空间的想象力可以得到极大的丰富.
四．课堂小结，反思收获 1. 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.很明显，关于投影和视图的知识是从实际需要（建筑、制造等）中产生的，它们与实际模型联系得非常紧密.2. 感性认识需要上升为理性认识，理论指导下的实践会更明确有效3. 从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转化，即学会画三视图和由三视图得出立体图形.从能力上说，认识平面图形与立体图形的联系，对于培养空间想象能力上非常重要的.
八．课后熟悉，反思整理
六．板书设计：
七．设计说明：
1.该教案突出了学生动手实践的特点；
2.在实践的基础上感悟平面图形向立体图形的转化；
制作立体图形29.2 三视图（2）导学案
【学习目标】
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。
【学习重点】
根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型
【学习难点】
根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型
【导学过程】
一、知识链接
（1）正方体的三视图都是 。
（2）圆柱的三视图中有两个是 ，另一个是 。
（3）圆锥的三视图中有两个是 ，另一个是 和 。
（4）四棱锥的三视图中有两个是 ，另一个是 。
（5）球体的三视图都是 。
二、合作学习，探究新知
例1根据下面的三视图说出立体图形的名称.
分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形。
（1）由主视图可知，物体正面是 ；由俯视图可知，由上向下看物体是 ；由左视图知,物体的侧面是 。综合各视图可知，物体是 .
（2）由主视图可知，物体正面是 ；由俯视图可知，由上向下看物体是 ；由左视图知,物体的侧面是 。综合各视图可知，物体是 .
例2根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状.
分析.由主视图可知，物体正面是 ；由俯视图
可知，由上向下看物体是 ，且有一条棱(中间的实
线)可见到，两条棱(虚线)被遮挡；由左视图知,物体的侧
面是 ，且有一条棱〔中间的实线)可见到。综合各
视图可知，物体是 .
三、巩固再现：P114 练习
四、针对练习：
小琳过14周岁生日，父母为她预定的生日蛋糕如图所示，它的主视图应该是 ( )
2．某物体三视图如图，则该物体形状可能是 ( )
(A)长方体．
(B)圆锥体．
(C)立方体．
(D)圆柱体．
3．下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图，这些相同的小正方形的个数是( )
(A)4个． (B)5个． (C)6个． (D)7个．
4．如果用 表示1个立方体，用 表示两个立方体叠加，用 表示三个立方体叠加，那么下图由6个立方体叠成的几何体的主视图是 ( )
5.如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是 ( )
6．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是 ( )
7．有一实物如图，那么它的主视图是 ( )
8．如图是正三菱柱，它的主视图正确的是( )
9．两个物体的主视图都是圆，则这两个物体可能是( )
(A)圆柱体、圆锥体． (B)圆柱体、正方体．
(C)圆柱体、球． (D)圆锥体、球．
10.由若干个同样大小的正方体堆积成一个实物，不同侧面观
察到如下投影图，则构成该实物的小正方体个数为 ( )
(A)6． (Ｂ)７． (C)8． (D)9．
11．我们常说的三种视图是指 .
12．请写出三种视图都相同的两种几何体是 .
13．如图16是某物体的三种视图，请描述这个物体的形状，并画出其图形.
14．一个物体的俯视图是圆，则该物体有可能是 (写两个即可)．
15．一个几何体的三视图如下,那么这个几何体是 .
16.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是 ．
17.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是 ．
18．根据下列物体的三视图，填出几何体的名称：
（1）如图7所示的几何体是______.
（2）如图8所示的几何体是______.
19．由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图如图5所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
20．某几何体的三视图如下所示，则该几何体可以是（ ）
图16
图7
图8
主视图
左视图
俯视图
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．29.3课题学习 制作立体模型（活动课）
一、学习目的
通过根据三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。
二、工具准备
刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。
三、具体活动
１、以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所表示的立体模型。
２、按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型
３、下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。
（１）指出其中哪些可以折叠成多面体。把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；
（２）画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；
（３）如果上图中小三角形的边长为１，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？
四、课题拓广
三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，结合具体例子，写一篇短文介绍三视图、展开图的应用。
(1)
(2)
(3)29.2三视图（一）
教学目标
知识目标
会从投影的角度理解视图的概念会画简单几何体的三视图
能力目标
通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系。
3、情感目标
使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图
难点：对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图
教学过程
一、创设情境，引入新课
这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？
物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。
如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面
作为投影面，其中正对着我们的叫做正
面，正面下方的叫做水平面，右边的叫
做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三
个投影面内同时进行正投影，在正面内
得到的由前向后观察物体的视图，叫做
主视图，在水平面内得到的由上向下观
察物体的视图，叫做俯视图;在侧面内得
到由左向右观察物体的视图，叫做左视
图.
如图(2)，将三个投影面展开在一个平面
内，得到这一物体的一张三视图(由主视
图，俯视图和左视图组成).三视图中的各
视图，分别从不同方面表示物体，三者合
起来就能够较全面地反映物体的形状.
三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，
主视图与左视图表示同一物体的高.左视图与俯
视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小
是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正
确的位置.并且使主视图与俯视图的长对正，
主视图与左视图的高平齐.左视图与俯视图的
宽相等
通过以上的学习，你有什么发现？
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图
二、应用新知
例1画出下图2所示的一些基本几何体的三视图.
分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:
1.确定主视图的位置，画出主视图;
2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。
3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
解：
三、练习：
1、
2、你能画出下图1中几何体的三视图吗 小明画出了它们的三种视图(图2),他画的对吗 请你判断一下.
四、小结
1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。
2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。
五、作业：课题：29.1投影（1）
一、教学目标：
1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；
2、了角平行投影和中心投影的区别.
3、使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识.
二、教学重、难点
教学重点：理解平行投影和中心投影的特征；
教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影.
三、教学过程：
（一）创设情境
你看过皮影戏吗 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，在关中地区很为流行.皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎.（有条件的）放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏
（二）你知道吗
（有条件的）出示投影：
北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．
问题：那什么是投影呢？
出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象.
一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
??有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.
（三）问题探究（在课前布置，以数学学习小组为单位）
探究平行投影和中心投影和性质和区别
1、以数学习小组为单位，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影.
2、 不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？
3、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别.如图4-14，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了，且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如图4-15，当△ABC所在的平面与投影面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换.
4、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
平行投影与中心投影的区别与联系
区别 联系
光线 物体与投影面平行时的投影
平行投影 平行的投射线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子.(即都是投影)
中心投影 从一点出发的投射线 放大(位似变换)
（四）应用新知：
（1）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm.
①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意图；
（2）一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C’，请画出正方形纸板的投影示意图.
（3）两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影？并说明理由.
解：分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(图4-17).很明显，图(1)的投射线互相平行，是平行投影.图(2)的投射线相交于一点，是中心投影.
四、学习反思：
我们这节课学习了什么知识？
五、作业：
1、画出一个四边形的不同平行投影图和中心投影图投影与视图单元教案
第1课时 投影（1）
教学目标：
1、知识目标
经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；
2、能力目标
了角平行投影和中心投影的区别及性质。
3、情感目标
使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
教学重点：理解平行投影和中心投影的特征；
教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。
教学过程：
一、创设情境
你看过皮影戏吗 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎。（有条件的）放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏
二、引入课题
出示投影：北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．
问题：那什么是投影呢？
一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
??有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.
三、问题探究
探究平行投影和中心投影和性质和区别
1、以数学习小组为单位，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影。
2、 不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？
3、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别。当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了，且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.当△ABC所在的平面与投影面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换。
4、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
平行投影与中心投影的区别与联系
区别 联系
光线 物体与投影面平行时的投影
平行投影 平行的投射线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影)
中心投影 从一点出发的投射线 放大(位似变换)
四、应用新知：
（1）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。
①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意图；
（2）一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C’，请画出正方形纸板的投影示意图。
（3）两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影？并说明理由。
解：分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(图4-17).很明显，图(1)的投射线互相平行，是平行投影.图(2)的投射线相交于一点，是中心投影。
五、学习反思：
我们这节课学习了什么知识？
六、作业：
画出一个四边形的不同平行投影图和中心投影图
第2课时 投影（二）
教学目标：
1、知识目标
了解正投影的概念；能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
2、能力目标
培养动手实践能力，发展空间想象能力。
3、情感目标
使学生会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识，培养学生良好的学习习惯．
教学重点：正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
教学难点：归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影
教学过程：
一、复习引入新课
下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影 图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别
解：结论:图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影;图(2) (3)中，投影线互相平行，形成平行投影;图(2)中，投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影线正对着投影面).
指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
二、合作学习，探究新知
1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置:
(1)铁丝平行于投影面;
(2)铁丝倾斜于投影面，
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状
通过观察，我们可以发现;
(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB = A1B1
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB > A2B2
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3
2、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:
(1)纸板平行于投影面;
(2)纸板倾斜于投影面;
(3)纸板垂直于投影面
结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样;
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化;
(3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段.
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
3、例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.
(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1);
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P图 (2).
分析口述画图要领
解答按课本板书
三、练习
（1）P112 练习和习题29.1 1、2、5
四、谈谈收获
五、作业
P113 3、4
第3课时 三视图（一）
教学目标
知识目标
会从投影的角度理解视图的概念会画简单几何体的三视图
能力目标
通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系。
3、情感目标
使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图
难点：对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图
教学过程
一、创设情境，引入新课
这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？
物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。
如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面
作为投影面，其中正对着我们的叫做正
面，正面下方的叫做水平面，右边的叫
做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三
个投影面内同时进行正投影，在正面内
得到的由前向后观察物体的视图，叫做
主视图，在水平面内得到的由上向下观
察物体的视图，叫做俯视图;在侧面内得
到由左向右观察物体的视图，叫做左视
图.
如图(2)，将三个投影面展开在一个平面
内，得到这一物体的一张三视图(由主视
图，俯视图和左视图组成).三视图中的各
视图，分别从不同方面表示物体，三者合
起来就能够较全面地反映物体的形状.
三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，
主视图与左视图表示同一物体的高.左视图与俯
视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小
是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正
确的位置.并且使主视图与俯视图的长对正，
主视图与左视图的高平齐.左视图与俯视图的
宽相等
通过以上的学习，你有什么发现？
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图
二、应用新知
例1画出下图2所示的一些基本几何体的三视图.
分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:
1.确定主视图的位置，画出主视图;
2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。
3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
解：
三、练习：
1、
2、你能画出下图1中几何体的三视图吗 小明画出了它们的三种视图(图2),他画的对吗 请你判断一下.
四、小结
1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。
2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。
五、作业：
第4课时 三视图（二）
教学目标：
1、知识目标
进一步明确正投影与三视图的关系
2、能力目标
经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图；培养动手实践能力，发展空间想象能力。
情感目标
使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
重点：简单立体图形的三视图的画法
难点：三视图中三个位置关系的理解
教学过程：
一、复习引入
1、画一个立体图形的三视图时要注意什么？（上节课中的小结内容）
2、说一说：直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图
3、做一做：画出下列几何体的三视图
4、讲一讲：你知道正投影与三视图的关系获 图29.2-7
二、讲解例题
例2画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图.
分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构
成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的
上下、前后位置关系.
解:如图29.2-7是支架的三视图
例3右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图
分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见
内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定;
看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡
而看不见部分的轮廓线画成虚线. 图29.2-9
解.图如图29.2-7是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁.
三、巩固再现
1、P119 练习
2、一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图.
四、作业
课本习题
第5课时 三视图（三）
教学目标：
1、知识目标
学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
能力目标
经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。
3、情感目标
使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
教学重点与难点：根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型
教学过程：
一、复习引入
前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形（实物）呢？引导学生结合例例例的三视图想象一下构造还原过程（发展空间想象能力）
二、新课学习
例4根据下面的三视图说出立体图形的名称.
分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形，
解:(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所示;
(2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是圆锥，如图(2)所示.
例5根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状.
分析.由主视图可知，物体正面是正五边形
，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形
的，且有一条棱(中间的实线)可见到。两
条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,物体的侧
面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可
见到,综合各视图可知，物体是五棱柱形状的.
解:物体是五棱柱形状的，如下图所示.
三、巩固再现
1、P121 练习
2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。
四、小结：
1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。
2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。
3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。
五、作业
课本习题
第6课时 三视图（四）
教学目标
1、知识目标
学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2、能力目标
经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力；
情感目标
知道将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值。
重点：根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用
难点：根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状
教学过程
一、复习引入
1、完成下列练习
（1）、如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。
（2）、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。
（3）、某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。
（A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球
2、让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应立体图形的图片，借助图片信息让学生体会到本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学里开设的模具和机械制图专业和课程就需要这方面的知识，激发学生的学习兴趣，导入本课。
二、讲授新课
例6某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.
分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积.
解:由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(左)).
密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm.边长为50mm，图(右)是它的展开图.
由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为
三、练习巩固
P122 练习
补充例题：根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的 共有几层 一共需要多少个小正方体
分析:由俯视图确定该建筑物在平面上的形状，由主视图、左视图确定空间的形状如图所示.
解:该建筑物的形状如图所示:
有3层，共9个小正方体.
思考：一个物体的主视图如上右图所示, 请画出它的俯视图，耐心想一想有
几种不同的情形
四、小结：根据物体的三视图想像物体的形状一般是由俯视图确定物体在平面上的形状.然后再根据左视图、主视图嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状.
五、作业
P124~125 8、9
第7课时 投影与三视图（复习）
教学目标：
1、知识目标
通过复习系统掌握本章知识，
2、能力目标
提高解决问题分析问题的能力，培养空间想象能力。
3、情感目标
体验数学来源于实践，又作用于实践。
教学重点：投影和三视图
教学难点：画三视图
教学过程：
一、以提问形式小结本章知识
1、本章知识结构框架：
2、填空：
（1）人在观察目标时，从眼睛到目标的 叫做视线。 所在的位置叫做视点，有公共 的两条 所成的角叫做视角。
视线不能到达的区域叫做 。
（2）物体在光线的照射下，在某个 内形成的影子叫做 ，这时光线叫做 ，投影所在的 叫做投影面。
由 的投射线所形成的投影叫做平行投影。
由 的投射线所形成的投影叫做中心投影。
（3）在平行投影中，如果投射线 垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
（4）物体的三视图是物体在三个不同方向的 。
上的正投影就是主视图，水平面上的正投影就是 ， 上的正投影就是左视图。
二、例题讲解
例1、（１）在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短
C、小明和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长
分析：阳光是平行光线，出现平行投影。路灯是点光源，是中心投影，形成的影子是不一样的
例2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。
分析：从俯视图上看，该立体图形是个对称图形，从主视图、左视图上看，正面和左面都是等腰三角形，因此我们可以想象，该立体图形是正四棱锥。
例3、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三同学在教室外，位置如图所示，张丽能看得见三位同学吗？请说明理由。
例４、如右上图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。
（１）确定光源的位置；
（２）在图中画出表示电线杆高度的线段。
分析：由条件易知，本题属于中心投影问题，根据中心投影的特点，物体与影子对应点的连线必须经过光源，因此我们可以利用两线的交点来求光源的位置。
例５、如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图。
（１）请你画出这个几何体的一种左视图；
（２）若组成这个几何体的小正方体的块数为ｎ，请你写出ｎ的所有可能值。
分析：左视图为侧视图，由于几何体只知道主视图和俯视图，那么左视图就不是唯一的，而主视图表示几何体共有三层，所以侧视图有多种可能，俯视图只看见５个小正方体，这５个正方体可分布在１、２、３层。
三、课外作业：见课本第132页复习题29。课题：29.3 课题学习 制作立体模型
一．教学目标
1. 知识与技能目标
（1）实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识；
（2）加强在实践活动中手脑结合的能力；
（3）体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系.
2. 过程与方法目标[]
（1）通过创设情境，让学生自主探索立体图形的制作过程；
（2）通过自主探索，合作研究讨论，使学生加深投影和视图的认识；
（3）模型制作，体会由平面图形转化为立体图形的过程与乐趣.
3. 情感、态度价值观目标
（1）通过创设问题情境，使学生感受平面图形与立体图形的关系；[]
（2）通过参与数学实践，培养合作探索精神和尊重理解他人想法的学习品质；
（3）通过动手实践活动，培养学生的创新意识与创造发明的意识；
二．教学重点和难点：
重点：让学生亲自经历规律的发现、深入、研究、应用的过程；
难点：学生通过手工制作，实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中，科学的研究态度.
三．教学方法和手段：
创设情境、合作制作、讨论交流
四．教学用具：
1．教具准备：多媒体教学课件、制作完的模型样品
2．学具准备：刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等
五．教学设计：
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一．创设情境，提出任务[][]二、创设情境，研究问题三、动手试验[] 师：情境1.以硬纸板为主要原材料，分别作出下面的两组视图所表示的立体模型[] 图1 图2情境2 按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型师：下面的每组平面图形，都是由四个等边三角形组成的.（1）指出其中哪些可以叠成多面体.把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；（2）画出由上面图形能叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；（3）如果上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？ 学生动手制作想象做成的图形的样子也是一种乐趣[]学生动手制作实际动手制作立体物品有利于学生空间想象力的建立.开始的想象会有一定难度，但是在随着立体模型的建立，学生空间的想象力可以得到极大的丰富.[]
四．课堂小结，反思收获 1. 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.很明显，关于投影和视图的知识是从实际需要（建筑、制造等）中产生的，它们与实际模型联系得非常紧密.2. 感性认识需要上升为理性认识，理论指导下的实践会更明确有效3. 从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转化，即学会画三视图和由三视图得出立体图形.从能力上说，认识平面图形与立体图形的联系，对于培养空间想象能力上非常重要的.
八．课后熟悉，反思整理
六．板书设计：
[]
[]
七．设计说明：
1.该教案突出了学生动手实践的特点；
2.在实践的基础上感悟平面图形向立体图形的转化；
制作立体图形29.2三视图（四）
教学目标
1、知识目标
学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2、能力目标
经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力；
情感目标
知道将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值。
重点：根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用
难点：根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状
教学过程
一、复习引入
1、完成下列练习
（1）、如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。
（2）、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。
（3）、某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。
（A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球
2、让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应立体图形的图片，借助图片信息让学生体会到本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学里开设的模具和机械制图专业和课程就需要这方面的知识，激发学生的学习兴趣，导入本课。
二、讲授新课
例6某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.
分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积.
解:由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(左)).
密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm.边长为50mm，图(右)是它的展开图.
由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为
三、练习巩固
补充例题：根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的 共有几层 一共需要多少个小正方体
分析:由俯视图确定该建筑物在平面上的形状，由主视图、左视图确定空间的形状如图所示.
解:该建筑物的形状如图所示:
有3层，共9个小正方体.
思考：一个物体的主视图如上右图所示, 请画出它的俯视图，耐心想一想有
几种不同的情形
四、小结：根据物体的三视图想像物体的形状一般是由俯视图确定物体在平面上的形状.然后再根据左视图、主视图嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状.
五、作业29.1投影（2）导学案
【学习目标】
1、了解正投影的概念；
2、能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。
【学习重点】
正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
【学习难点】
归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影
【导学过程】
一、知识链接：
下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影 图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别
二、自学提纲：
（1）正投影的定义： 叫做正投影．在实际制图中，经常采用正投影．
（2）物体的位置与其正投影的关系：当物体平行于投影面时，其正投影与原物体的形状、大小 ；当物体倾斜于投影面时，其正投影与原物体的形状、大小 ；当物体垂直于投影面时，其正投影成 。
三、教师点拨：
例1：如图3,在Rt△ABC中,∠C=,在阳光的垂直照射下,点C落在斜边AB上的D点.
⑴试探究线段AC、AB和AD之间的关系,并说明理由.
⑵线段BC、AB和BD之间也有类似的关系吗
例2:一个圆柱的轴截面平行于投影面,圆柱的正投影是一个边长为10的正方形,求圆柱的体积和表面积.
解析:本题的关键是求圆柱的高和底面半径,圆柱的轴截面是一个长方形,圆柱体的高和底面圆的直径是它的两邻边的长,由于长方形平行于投影面,因此其投影与它全等,即该长方形的两邻边相等.可求出圆柱的高和地面半径,从而求出圆柱的体积和表面积.
四、针对练习：
1．球的正投影是 ( )
(A)圆面． (B)椭圆面． (C)点． (D)圆环.
2．底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是 ( )
(A)圆． (B)三角形． (C)矩形． (D)正方形.
3．指出如图所示的立体图各个面的正投影图形，并画出投影线的方向如箭头所示立体图的正投影.
4．如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )
5.如图3，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面形成阴影的示意图。已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米。若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A、0.36π平方米 B、0.81π平方米 C、2π平方米 D、3.24π平方米
6．分别画出下列几个几何体从正面和上面看的正投影．
7.正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是( )
(A)正方形． (B)平行四边形或一条线段． (C)矩形． (D)菱形．
8.将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影是 ；
9、关于盲区的说法正确的有（ ）
（1）我们把视线看不到的地方称为盲区
（2）我们上山与下山时视野盲区是相同的
（3）我们坐车向前行驶，有时会发现一些高大的建筑物会被比它矮的建筑物挡住
（4）人们常说“站得高，看得远”，说明在高处视野盲区要小，视野范围大
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
图3
D
C
B
A
图3
