12.1轴对称（2)
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(共36张PPT)
如果一个图形沿着一条直线 ，两侧的图形能够 ，这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做______。
对称轴
对折
完全重合
把一个图形沿着某一条直线 ,如果它能够 ,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做 。
A′
A
B
C
B′
C′
折叠
与另一个图形重合
对称点
MN⊥AF于P
AP = AF
1、图中的对称点有哪些？
2、点Ａ和Ｆ的连线与直线MN有什么样的关系？
图中的两个三角形关于直线MN对称
Q
p
G
直线MN垂直且平分线段ＡＦ
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
M
N
A
B
C
F
D
E
探究1
轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
即对应点的连线段被对称轴垂直平分。
直线MN垂直平分线段AF、CD、BE
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
M
N
Q
p
G
A
B
C
F
D
E
P.
. Q
A
A′
B
C
C′
B′
l
如图，已知
△ABC、△A′B′C′
关于直线l轴对称，
延长对应线段
AB、A′ B ′，
你有什么发现？
探究2
两个图形关于某条直线轴对称，对应线段(或对应线段的延长线)的交点在对称轴
上。
画线段AB的垂直平分线L，在L上取任意点P，量一量点P到A与B的距离，你有什么发现？再取几个点试试。你能说明理由吗？
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
垂直平分线的性质定理：
∵直线l是线段AB的垂直平分线
∴PA=PB
探究3
1.因为 ，所以AB＝AC。
理由：
AD为BC的中垂线
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
B
C
A
D
2.如图， NM是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有： 。
①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
A
B
M
N
D
①②③
A
l
B
3.如图， 等腰三角形ABC中，AB=AC，直线l为对称轴，试判断l与线段BC的关系？为什么？
C
4.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+DB与DE有什么关系？
D
A
B
C
E
例1：如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
D
C
B
E
A
12
7
例2：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AB于M，交AC于N。BC=21，△BCN的周长为53，求△ABC的周长。
A
B
C
M
N
21
53
巩固
1.如图，△ACD的周长为50，DE是
AB垂直平分线，则AC+CB= 。
A
B
C
D
E
随堂练习
巩固
2.如图，在△ABC，AB=AC=10，DE垂直平分AB，△BDC的周长为17，求BC。
A
B
C
D
E
随堂练习
巩固
3.如图，在△ABC，AC=16，DE垂直
平分AB。
(1)当AE=13时，BE= ；
(2)当△BEC的周长为26时，BC= ；
(3)当BC =15时，
△BEC的周长为 。
A
B
C
D
E
随堂练习
巩固
4.如图， △ABC中， DE是AB边的垂直平分线，并分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，若∠B=30 °，求
∠C的度数。
A
B
C
D
E
随堂练习
小结：
1.轴对称的性质1
2.轴对称的性质2
3.轴对称图形的性质
4.线段垂直平分线的定义
5.线段垂直平分线性质
布置作业：
1.轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的______________。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
M
N
Q
p
G
A
B
C
F
D
E
2. 两个图形关于某条直线轴对称，对应线段(或对应线段的延长线)的交点在________上。
垂直平分线
对称轴
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
反过来,若AP=BP，则P在线段AB的垂直平分线上吗
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
垂直平分线的判定定理：
垂直平分线的性质定理：
∵PA=PB
∴点P在线段AB
的垂直平分线上
Q
∵QA=QB
∴点P在线段AB的 垂直平分线上
∴直线PQ是线段AB的垂直平分线
线段的垂直平分线可以看成是到线段两端点距离相等的所有点的集合.
如图， AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？
A
C
B
M
∵AB=AC
∴点A在线段BC的 垂直平分线上
解：
∵MB=MC
∴点M在线段BC的 垂直平分线上
∴直线AM是线段BC的
垂直平分线
直线AM是线段BC的垂直平分线.
1.因为 ，所以A在线段BC的中垂线上
理由：
AB＝AC
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
B
C
A
D
2.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，E是AD上的任意一点，
求证：BE=CE
A
E
D
B
C
4. 已知：AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：AD垂直平分EF.
角的平分线
O
D
E
A
B
P
C
性质定理： 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定定理： 到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
线段的垂直平分线
性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合
A
B
M
N
P
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
尺规作图：作线段的垂直平分线
例1.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
(1)求证：PA=PB=PC；
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你得出什么结论呢？
A
B
C
P
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
A
B
C
1.政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，请你规划一下，该购物中心应建于何处，才能使它到三个小区的距离相等？
B
A
C
求作一点P，
使它到△ABC的三个顶点的距离相等.
实际问题
数学化
p
PA=PB=PC
2.在某一乡村公路L的同侧，有两个农场A、B，为了便于两个工厂的工人看病，乡政府计划在公路边上修建一所医院，使得它到两工厂的距离相等，试问医院的院址应选在何处？
A
B
l
2.如图，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
L
A
B
3.在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？
O
A
B
. C
. D
如果一个图形沿着一条直线 ，两侧的图形能够 ，这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做______。
对称轴
对折
完全重合
把一个图形沿着某一条直线 ,如果它能够 ,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做 。
A′
A
B
C
B′
C′
折叠
与另一个图形重合
对称点
MN⊥AF于P
AP = AF
1、图中的对称点有哪些？
2、点Ａ和Ｆ的连线与直线MN有什么样的关系？
图中的两个三角形关于直线MN对称
Q
p
G
直线MN垂直且平分线段ＡＦ
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
M
N
A
B
C
F
D
E
探究1
轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
即对应点的连线段被对称轴垂直平分。
直线MN垂直平分线段AF、CD、BE
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
M
N
Q
p
G
A
B
C
F
D
E
P.
. Q
A
A′
B
C
C′
B′
l
如图，已知
△ABC、△A′B′C′
关于直线l轴对称，
延长对应线段
AB、A′ B ′，
你有什么发现？
探究2
两个图形关于某条直线轴对称，对应线段(或对应线段的延长线)的交点在对称轴
上。
画线段AB的垂直平分线L，在L上取任意点P，量一量点P到A与B的距离，你有什么发现？再取几个点试试。你能说明理由吗？
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
垂直平分线的性质定理：
∵直线l是线段AB的垂直平分线
∴PA=PB
探究3
1.因为 ，所以AB＝AC。
理由：
AD为BC的中垂线
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
B
C
A
D
2.如图， NM是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有： 。
①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
A
B
M
N
D
①②③
A
l
B
3.如图， 等腰三角形ABC中，AB=AC，直线l为对称轴，试判断l与线段BC的关系？为什么？
C
4.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+DB与DE有什么关系？
D
A
B
C
E
例1：如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
D
C
B
E
A
12
7
例2：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AB于M，交AC于N。BC=21，△BCN的周长为53，求△ABC的周长。
A
B
C
M
N
21
53
巩固
1.如图，△ACD的周长为50，DE是
AB垂直平分线，则AC+CB= 。
A
B
C
D
E
随堂练习
巩固
2.如图，在△ABC，AB=AC=10，DE垂直平分AB，△BDC的周长为17，求BC。
A
B
C
D
E
随堂练习
巩固
3.如图，在△ABC，AC=16，DE垂直
平分AB。
(1)当AE=13时，BE= ；
(2)当△BEC的周长为26时，BC= ；
(3)当BC =15时，
△BEC的周长为 。
A
B
C
D
E
随堂练习
巩固
4.如图， △ABC中， DE是AB边的垂直平分线，并分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，若∠B=30 °，求
∠C的度数。
A
B
C
D
E
随堂练习
小结：
1.轴对称的性质1
2.轴对称的性质2
3.轴对称图形的性质
4.线段垂直平分线的定义
5.线段垂直平分线性质
布置作业：
1.轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的______________。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
M
N
Q
p
G
A
B
C
F
D
E
2. 两个图形关于某条直线轴对称，对应线段(或对应线段的延长线)的交点在________上。
垂直平分线
对称轴
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
反过来,若AP=BP，则P在线段AB的垂直平分线上吗
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
垂直平分线的判定定理：
垂直平分线的性质定理：
∵PA=PB
∴点P在线段AB
的垂直平分线上
Q
∵QA=QB
∴点P在线段AB的 垂直平分线上
∴直线PQ是线段AB的垂直平分线
线段的垂直平分线可以看成是到线段两端点距离相等的所有点的集合.
如图， AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？
A
C
B
M
∵AB=AC
∴点A在线段BC的 垂直平分线上
解：
∵MB=MC
∴点M在线段BC的 垂直平分线上
∴直线AM是线段BC的
垂直平分线
直线AM是线段BC的垂直平分线.
1.因为 ，所以A在线段BC的中垂线上
理由：
AB＝AC
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
B
C
A
D
2.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，E是AD上的任意一点，
求证：BE=CE
A
E
D
B
C
4. 已知：AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：AD垂直平分EF.
角的平分线
O
D
E
A
B
P
C
性质定理： 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定定理： 到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
线段的垂直平分线
性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合
A
B
M
N
P
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
尺规作图：作线段的垂直平分线
例1.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
(1)求证：PA=PB=PC；
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你得出什么结论呢？
A
B
C
P
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
A
B
C
1.政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，请你规划一下，该购物中心应建于何处，才能使它到三个小区的距离相等？
B
A
C
求作一点P，
使它到△ABC的三个顶点的距离相等.
实际问题
数学化
p
PA=PB=PC
2.在某一乡村公路L的同侧，有两个农场A、B，为了便于两个工厂的工人看病，乡政府计划在公路边上修建一所医院，使得它到两工厂的距离相等，试问医院的院址应选在何处？
A
B
l
2.如图，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
L
A
B
3.在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？
O
A
B
. C
. D