安徽省安庆市916中学校2020-2021学年高一下学期4月月考数学试卷 Word版含答案

安庆九一六学校2020—2021学年度第二学期4月月考
高一数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）
1..已知i为虚数单位，在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)
A．　 　B． C．8π　　　 D．
3.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设＝a，＝b，则等于(　　)
A.－a＋b B.a－b
C.a－b D.a＋b
4.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5..在△ABC中，若lg a－lg c＝lg sin B＝－lg且B∈，则△ABC的形状是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
6.在△ABC中，∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　　)
A.2 B.4 C.2 D.12
7．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
8．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是(　　)
A．S球＜S圆柱＜S正方体 B．S正方体＜S球＜S圆柱
C．S圆柱＜S球＜S正方体 D．S球＜S正方体＜S圆柱
9．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，3asinA－bsinB＝csinC，则sinA的最大值为(　　)
A. B. C. D.
10．一船自西向东匀速航行，上午7时到达灯塔A的南偏西75°方向且距灯塔80 n mile的M处，若这只船的航行速度为10 n mile/h，则到达这座灯塔东南方向的N处时是上午(　　)
A．8时 B．9时 C．10时 D．11时
11.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D?ABC体积的最大值为(　　)
A．12　　　　　　　　 B．18
C．24 D．54
12．在△ABC中，BC＝5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且·＝5，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知复数z＝，则复数z＝________.
14.已知向量a，b的夹角为θ，且|a|＝2，|b|＝，a·b＝3，则θ＝____
15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为____
16.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．
三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)已知z＝1＋i，若＝1－i，求实数a，b的值．
18．已知一倒置圆锥的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求该圆锥的高；
(2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间的体积．
19．在中，.
(1) 求角的大小；
(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.
20.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
21.(本小题12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， 且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
22．(本小题12分)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
参考答案
1-5 DCADC
6-10 CAACD
11-12 BB
13.i
14.
15. 16π
16.(0,]
17.解　∵z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝a＋b＋(2＋a)i，
z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝i，
∴＝(2＋a)－(a＋b)i＝1－i，
由复数相等，得解得
18.解：(1)设圆锥的高为h cm，底面半径为R cm，母线长为l cm，则h＝＝＝8，所以圆锥的高为8 cm.
(2)球放入圆锥后的轴截面如图所示，设球的半径为r cm.
易得△OCD∽△ACO1，则＝，即＝，解得r＝3.
圆锥剩余空间的体积为圆锥的体积减去球的体积，即V圆锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)，故此时圆锥剩余空间的体积为60π cm3.
19.解：（1）由，两边平方，
即，得到，即。
所以 .
（2）在直角中， ，
在直角中， ，
又，所以，
所以 ，
由得，，故，
当且仅当时，，从而 .
20.[解]　(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x．则tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
21.解：(1)由已知，结合正弦定理，
得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以bc＝－2bccos A，即cos A＝－.
由于A为△ABC的内角，所以A＝.
(2)由已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，
结合正弦定理，得2sin2A＝(2sin B＋sin C)sin B＋(2sin C＋sin B)sin C，
即sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2＝.
又由sin B＋sin C＝1，
得sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1，
所以sin Bsin C＝，结合sin B＋sin C＝1，
解得sin B＝sin C＝.
因为B＋C＝π－A＝，所以B＝C＝，
所以△ABC是等腰三角形．
22.解：(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈，所以cos∠ABD＝.
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝.
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，
所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝.
又∠BCD＝2∠ABD，
所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，
所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.
在△CBD中，由正弦定理＝，
得CD＝＝＝，
所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.