广东省深圳实验承翰学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

深圳实验承翰学校2020—2021学年高一下学期期中考试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z＝(1﹣i)(1﹣2i)，其中i是虚数单位，则z的虛部为
A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i
2．已知向量false＝(1，2)，false＝(﹣4，m)，若false与false垂直，则实数m＝
A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．8
3．下列条件中,能使直线m⊥平面α的是
(A)m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α (B)m⊥b,b∥α
(C)m∩b=A,b⊥α (D)m∥b,b⊥α
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量false＝(a＋b，sinC)，false＝(false，sinB﹣sinA)，若false∥false，则角B的大小为
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．如图，已知false，用false，false表示false，则false等于
A．false B．false C．false D．false

6.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面.有以下命题:
①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确命题的个数是
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
7．在中，，角，，的对边分别为，，，则的形状为
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
8．已知向量false＝(cos20°，cos70°)，false＝(sin10°，sin80°)，若t是实数，且false，则false的最小值为
A．false B．1 C．false D．false
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知复数z在复平面上对应的点为Z(3，﹣1)，i为虚数单位，则下列正确的是
A．z＝﹣1＋3i B．false＝10 C．false＝3＋i D．z＋i是实数
10．已知m，n是实数，false，false，false为向量，则下列运算中正确的有
A．false B．若false，则false
C．false D．false
11．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即false．现有△ABC满足sinA：sinB：sinC＝2：3：false，且△ABC的面积S△ABC＝false，请运用上述公式判断下列命题正确的是(　ABD　)
A．△ABC周长为5＋false B．△ABC三个内角A，C，B满足关系A＋B＝2C
C．△ABC外接圆半径为false D．△ABC中线CD的长为false
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．若复数false，i为虚数单位，则false＝ ．
14．若平面向量false，false满足false，false，且false，则false与false夹角的大小为 ．
15．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为false米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 米/秒．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知复数false＝a＋3i，false＝2﹣ai（afalseR，i是虛数单位）．
（1）若false在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数false是实系数一元二次方程x2﹣6x＋m＝0的根，求实数m的值．
18．（本小题满分12分）阅读一下一段文字：false，false，两式相减得：false，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
（1）若AD＝6，BC＝4，求false的值；
（2）若false＝4，false＝﹣1，求false的值．
20．（本小题满分12分）在①false，②S△AMN＝false，③AC＝AM这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝false，c＝8，点M，N是BC边上的两个三等分点，false， ．
（1）求AM的长； （2）求△ABC外接圆的半径．
21．（本小题满分12分）如图所示,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,
∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角ABEP的大小.

21题图 22题图
22．（本小题满分12分）亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是聊城的地标建筑，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标．某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点P距地面的高度，选取了与点P在地面上的射影A在同一水平面内的两个测量基点B，C（如图所示）；现测得∠ABC＝∠ACB＝∠ACP＝30°，B，C两点间的距离是390米．
（1）求最高点P距地面的高度PA；
（2）若摩天轮最低点Q距地面的距离QA＝20米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要20分钟．从游客进入摩天轮位于最低点Q处的轿厢开始计时，转动t分钟后距离地面的高度为h米．若在摩天轮所在的平面内，以PQ的中点为坐标原点，PO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求在转动一周的过程中，h（单位：米）关于t（单位：分钟）的函数解析式．
深圳实验承翰学校2020—2021学年高一下学期期中考试
数学试题答案
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
D
D
C
B
D
C
CD
AD
ABD
ACD
填空题：
13.false 14. false 15. false 16. false
解答题：
19.
21.(1)证明:如图所示,连接BD,
由四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以PA⊥BE.
而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解:由(1)知PB⊥BE.又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角ABEP的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA==,所以∠PBA=60°,
故二面角ABEP的大小是60°.
22.