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3.1.2椭圆的简单几何性质教学设计
课题
3.1.2椭圆的简单几何性质
单元
第三单元
学科
数学
年级
高二
教材分
析
本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用
.
本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
课程目标与核心素养
课程目标1.掌握椭圆的性质，能根据性质正确地做出椭圆草图；2.掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；3.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率.能运用椭圆的简单几何性质分析解决问题.学科素养1.数学抽象：椭圆的几何性质；2.逻辑推理：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质；
3.数学运算：直线与椭圆位置关系的判断；
4.数学建模：利用椭圆的知识解决应用问题.
重点
由几何条件求出椭圆的方程.
难点
由椭圆的方程研究椭圆的几何性质.
教学准备
多媒体课件、实物投影仪、学生自己画椭圆.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
温故知新
问题1：椭圆是怎样定义的？椭圆的标准方程怎么表示？我们把平面内与两个定点、
的距离的和等于常数（大于
）的点的轨迹叫做椭圆.问题2：椭圆的标准方程焦点在轴上时，
;
焦点在轴上时，
.
学生回顾上节课的内容.
有助学生对前面知识的记忆.
讲授新课
探索研究与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，主要包括：范围、形状、大小、对称性、特殊点.观察：椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？范围观察上图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形框内。思考：如何用方程（代数方法）研究曲线的范围，就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围？
由椭圆方程,可知：,所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式，即.同理有,即.这说明椭圆位于直线和围成的矩形框里.对称性椭圆的图形给人们以视觉上的美感，如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？关于轴、轴、原点对称，椭圆即是轴对称图形，也是中心对称图形。
问题：能否从方程（代数）的角度分析这种对称性？以代后,方程不变.说明当点在椭圆上时,它关于轴的对称点也在椭圆上；所以椭圆关于轴对称.以代后,方程不变.说明当点在椭圆上时,它关于轴对称点也在椭圆上,所以椭圆关于轴对称.以代,代,方程不变，说明当点在椭圆上时,它关于原点对称点也在椭圆上,所以椭圆关于原点对称；综上,椭圆是以轴、轴都是对称的.这时,坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。特殊点（顶点）研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.问题：椭圆上哪些点比较特殊？与坐标轴交点问题：如何得到这些点的坐标？椭圆中，令得，因此点，点是椭圆与轴的两个交点；同理，令得，因此点，点，是椭圆与轴的两个交点.线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．离心率问题：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状都一样吗？观察图，发现不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.思考能用适当的量刻画椭圆的扁平程度吗？思考
1.用什么量来刻画椭圆扁圆程度?
长轴
焦距用什么量来刻画椭圆扁平程度?比值离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆离心率的取值范围是：椭圆离心率对其形状的影响：1）越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．典型例题例4：求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标.解：把原方程化成标准方程，得，于是.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是，离心率，两个焦点的坐标分别是，四个顶点的坐标分别是.练习：求长轴长是6，离心率是的椭圆的标准方程.解：设椭圆的方程为
由已知得2a=6，则a=3，因为，所以c=2，，所以椭圆的标准方程是.例5：如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的-一部分，灯丝位于椭圆的-一个焦点上，片门位于另一个焦点上。由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知,.
试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1
cm).解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为在Rt
中,由椭圆的性质知
,，所以;.所以，所求椭圆方程为
例6：动点到定点的距离和到定直线的距离之比是常数，求动点点的轨迹。解：如图，设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合，
由此得将上式两边平方，并化简，得即：
例7：
已知直线l：4x-5y+m=0，椭圆C：＋＝1.
m为何值时，
直线l与椭圆C：(1)有两个公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：直线l的方程与椭圆C的方程联立
得方程组
消去y，得
①.方程①的根的判别式.(1)当Δ＞0，即
时，方程①有两个不同的实数根，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．(2)当Δ＝0，即m1
=25,m2=-25
时，方程①有两个相同的实数根，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即
时，方程①没有实数根，这时直线l与椭圆C没有公共点．课堂练习求适合下列条件的椭圆的标准方程：焦点在x轴上，
焦点在y轴上，
2.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则( D )
A．a2＝15，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9[由题意得，椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9.]3．（2018·全国高考）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（C
）A．
B．
C．
D．【解析】根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C.
学生自己动手操作.学生独立思考、讨论交流.学生动手折纸学生独立思考、讨论交流.小组合作探究可以看出与这两个量可以刻画椭圆的扁平程度.学生分析解题思路，教师展示过程.
通过椭圆的标准方程，运用方程与函数的思想，获得椭圆的几何性质，进而推广到一般.帮助学生进一步体会数形结合的思想方法.让学生利用直观感悟得到椭圆的对称性，比较符合学生的现实，也是学生得到椭圆对称性的基本方法.同时根据学生的探究结果，将对称性的证明采用接受式学习，来突破这个难题，提升学生的理性思维.以坐标法研究问题为主线，设计问题层次分明，让学生充分经历完整用坐标法解决问题的过程，领会坐标法和数形结合思想.不仅掌握了知识，也掌握了研究问题的方法，激发了学生的学习兴趣．加强学生对椭圆简单几何性质的理解和巩固，同时加深关系式的应用.巩固椭圆的几何性质，先写出标准方程，根据方程判断焦点的位置，求出、、，再求几何性质.
课堂小结
学生回顾本节课知识点，教师补充.
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.
板书
§3.1.2
椭圆的简单几何性质知识回顾二、椭圆的简单几何性质
三、典型例题范围
四、课堂小结对称性
五、作业布置
特殊点离心率
教学反思
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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3.1.2
椭圆的简单几何性质
人教A版（2019）
选择性必修第一册
复习回顾
1.
椭圆的定义?
|MF1|+|MF2|=2a
(2a>|F1F2|)
2.椭圆的标准方程
焦点所在轴
焦点在x轴
焦点在y轴
图形
标准方程
焦点坐标
a,b,c的关系
x
y
o
x
y
o
(±c,
0)
(0,
±c)
a2=b2+c2
探索研究
-a
≤
x
≤
a，-b
≤
y
≤
b
容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内
思考：如何用方程（代数方法）研究曲线
的范围，就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围？
范围
椭圆位于直线
x=±a，y=±b所围成的矩形中.
y=b
y=-b
x=-a
x=a
o
y
F1
F2
x
新知讲解
2.对称性
椭圆的图形给人们以视觉上的美感，观察图形，有什么发现？
x
y
x
y
x
y
椭圆关于y轴、x轴、原点对称.
新知讲解
问题：
能否从方程（代数方法）角度分析对称性？
P1(-x,
y)
(1)P(x,
y)
(2)P(x,
y)
(3)P(x,
y)
y轴
原点
x轴
P3(-x,
-y)
P2(x,
-y)
椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
新知讲解
研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.
3.顶点
o
F1
F2
B2
B1
A1
A2
顶点
(-a,0)
(a,0)
(0,
-b)
(0,
b)
长轴
短轴
问题：椭圆上哪些点比较特殊？如何得到这些点的坐标？
新知讲解
思考？
1.用什么量来刻画椭圆的扁平程度？
4.离心率
长轴、焦距
(即:
a、c
)
2.用什么量来刻画椭圆的扁平程度？
比值
合作探究
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
1.椭圆离心率的取值范围：
0
1
2.椭圆离心率对其形状的影响：
1）e
越接近
1，c
就越接近
a，
此时椭圆就越扁.
2）e
越接近
0，c
就越接近
0，
此时椭圆就越圆.
新知讲解
例4：求椭圆
的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解：把原方程化成标准方程，得
，于是
.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是
，离心
率
，两个焦点坐标分别是
，四个
顶点坐标分别是
.
新知讲解
练习：求长轴长是6，离心率是
的椭圆的标准方程：
解：设椭圆方程为
或
(a>b>0)
由已知得
2a=6，则a=3
∵
∴
c=2
∴b2=a2-c2=9-4=5.
∴椭圆的标准方程为
或
新知讲解
例5:
如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点
上，片门位于另一个焦点
上.由椭圆一个焦点
发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点
.
已知
，
.
试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1
cm).
新知讲解
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为
在Rt
中,
由椭圆的性质知
,
，所以
所以，所求椭圆方程为：
新知讲解
例6:
动点
到定点
的距离和
到定直线
的距离的比是常数
，求动点
的轨迹.
解：如图，设d是点M到直线
的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合
由此可得
将上式两边平方，并化简，得
即
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.
新知讲解
新知讲解
解：直线l的方程与椭圆C的方程联立
得方程组
消去y，得
①.
方程①的根的判别式.
(1)当Δ＞0，即
时，方程①有两个不同的实数根，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．
(2)当Δ＝0，即m1
=25,m2=-25
时，方程①有两个相同的实数根，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即
时，方程①没有实数根，这时直线l与椭圆C没有公共点．
课堂练习
1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
2、已知椭圆
(a＞b＞0)与椭圆
有相同的长轴，
椭圆
(a＞b＞0)的短轴长与
的短轴长相等，则（
）
A.
B.
C.
D.
D
（1）解：
（2）解：
课堂练习
3.
(2018年高考）
已知椭圆C：
的一个焦点为（2，0），
则C的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
C
课堂总结
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(±a,0)、(0,±b)
(±c,0)
(±b,0)、(0,±a)
(0
,±
c)
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
长半轴长为a,
短半轴长为b.(a>b)
-a
≤
x≤
a,
-
b≤
y≤
b
-a
≤
y
≤
a,
-
b≤
x
≤
b
长半轴长为a,
短半轴长为b.(a>b)
板书设计
1.范围
2.对称性
例3,4,5,6,7
四、作业布置
三、典型例题
二、椭圆的简单几何性质
一、知识回顾
3.1.2
椭圆的简单几何性质
3.特殊点
4.离心率
作业布置
第112页练习2、3、4、5.
115页
习题3.1
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