2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
10.1随机事件与概率
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是（???
）
A.?恰有1次投中????????????????????B.?至多有1次投中????????????????????C.?2次都投中????????????????????D.?2次都未投中
【答案】
D
【解析】某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是：2次都未投中.
故答案为：D.
2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（
??）
A.?至少有1个白球；都是白球????????????????????????????
??????B.?至少有1个白球；至少有1个红球
C.?恰有1个白球；恰有2个白球????????????????????????????????D.?至少有1个白球；都是红球
【答案】
C
【解析】至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；
至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；
恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件不是对立事件；
至少有1个白球；都是红球，是互斥事件和对立事件.
故答案为：C
3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为
和P，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】由题意得：
，
故答案为：B.
4.围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为
，都是白子的概率为
，则取出的2粒颜色不同的概率为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为
，
取出的2粒颜色不同的概率为
.
故答案为：D.
5.下列叙述正确的是（???
）
A.?频率是稳定的，概率是随机的
B.?互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C.?5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
D.?若事件A发生的概率为P(A)，则
【答案】
D
【解析】频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A不符合题意；
互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B不符合题意；
5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是
，C不符合题意；
由概率的定义，随机事件的概率在
上，D符合题意．
故答案为：D．
6.甲、乙两人下棋，和棋的概率为
，乙获胜的概率为
，则下列说法正确的是（??
）
A.?甲获胜的概率是
????????B.?甲不输的概率是
????????C.?乙输棋的概率是
????????D.?乙不输的概率是
【答案】
A
【解析】“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P＝1－
－
＝
；
设事件A为“甲不输”，则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝
＋
＝
或设事件A为“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件，所以P(A)＝1－
＝
.
故答案为：A
7.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量
去描述1次试验的成功次数，则
（??
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】设某项试验的失败率为
，则可以求出某项试验的成功率为
，根据概率的性质可知：
，
，
故答案为：C.
8.学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为
，则这周能进行决赛的概率为（
??）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】设在这周能进行决赛为事件
，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件
，
，
，则
，
又事件
，
，
两两互斥，
则有
，
故答案为：D．
9.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（??
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】设圆的半径为
，则圆的面积
，
正六边形的面积
，
所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率
，
故答案为：A.
10.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾
和股
分别表示直角三角形的两条直角边，用弦
来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】设直角三角形的长直角边为
，短直角边为
，由题意
，∵大方形的边长为
，小方形的边长为
，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴满足题意的概率值为：
，
故答案为：B.
11.已知直角梯形
中，
，
，
，
，
，点
在梯形内，那么
为钝角的概率为（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】以AB为直径,在梯形ABCD中半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域,AB=4,故半圆的面积是
,梯形ABCD的面积是
,∴,满足∠AEB为钝角的概率为
.
故答案为：A.
12.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间Y统计结果如下：
办理业务所需的时间Y/分
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时，据上表估计第三个顾客等待不超过4分钟就开始办理业务的概率为（??
）
A.?0.22?????????????????????????????????????B.?0.24?????????????????????????????????????C.?0.30?????????????????????????????????????D.?0.31
【答案】D
【解析】解：第三个顾客等待不超过4分钟包括：①第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，②第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，③第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时3分钟，④第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，⑤第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，⑥第一个顾客办理业务用时3分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，
且这此时事件彼此是互斥的，
故第三个顾客等待不超过4分钟的概率P=0.1×0.1+0.1×0.4+0.1×0.3+0.4×0.1+0.4×0.4+0.3×0.1=0.31，
故选：D
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知随机变量
，若
，则
________．
【答案】
0.2
【解析】随机变量
，∴曲线关于
对称，
∴
，故答案为0.2.
14.小明家的晚报在下午5：30~6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00~7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐，那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是________.
【答案】
【解析】设晚报被送到的时间为下午
时，小明家晚餐开始的时间为下午
时，
由题意可得：
，其表示的区域是边长为1的正方形区域，面积为
；
又事件“晚报在晚餐之前被送到”即为：
，
设事件
表示：“晚报在晚餐之前被送到”，如图中阴影部分所示，
由
得
，由
得
，
所以阴影部分的面积为：
，
则
.
故答案为：
.
15.随机变量X的概率分布规律为P（X=k）=
，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P（
.
＜X＜
）的值为________．
【答案】
【解析】解：∵P（X=k）=）=
，k=1，2，3，4，
∴
=1，
∴c=
，
∵P（
＜X＜
）=P（X=1）+P（X=2）=
；
故答案为：
．
16.已知A、B、C相互独立，如果P（AB）=
，
，
，
=________．
【答案】
【解析】解：∵A、B、C相互独立，P（AB）=
，
，
，∴
，
解得P（A）=
，P（B）=
，P（C）=
，
∴
=（1﹣P（A））?P（B）=
．
故答案为：
．
解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为
，
计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率；
（3）射中环数不足8环的概率．
【答案】
（1）解：
（2）解：
或
（3）解：
【解析】（1）根据互斥事件的概率加法公式即可得出结果。
（2）根据题意至少射中
7环即为射中10环、9环、8环、7环，根据相应的概率相加即可。
（3）根据题意射中环数不足8环即为射中7环、7环以下，根据对应概率相加即得。
18.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试,在备选的6道题中,甲答对其中每道题的概率都是
,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)得0分.
（1）求乙得分的分布列和数学期望;
（2）规定:每个人至少得20分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.
【答案】
（1）解：设乙的得分为
的可能值有
乙得分的分布列为:
X
0
10
20
30
P
?
所以乙得分的数学期望为
（2）解：乙通过测试的概率为
?
甲通过测试的概率为
,?
甲、乙都没通过测试的概率为
所以甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为
【解析】（1）求出随机变量X的可能取值及相应的概率，即可得到分布列，结合分布列求出期望即可；
（2）求出甲乙通过测试的概率，根据互斥事件概率的特点，即可求出至少一人通过测试的概率.
19.从某学校
的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155，160），第二组［160，165）……第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部份，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为
，事件
，事件
，求概率
．
【答案】
（1）解：第六组的频率为
,所以第七组的频率为
（2）解：身高在第一组[155,160）的频率为
，
身高在第二组[160,165）的频率为
，
身高在第三组[165,170）的频率为
，
身高在第四组[170,175）的频率为
，
由于
，
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为
，则
由
得
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为
由直方图得后三组频率为
,
所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为
（3）解：第六组
的人数为4人,设为
,第八组[190,195]的人数为2人,
设为
,则有
共15种情况，
因事件
{
}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件
包含的基本事件为
共7种情况，故
．
由于
，所以事件
{
}是不可能事件，
由于事件
和事件
是互斥事件，所以
【解析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图结合小矩形的面积公式以及频率之和为1，从而求出第七组的频率；
（2）由已知条件结合频率分布直方图结合中位数公式，估计出该校的800名男生身高的中位数，再利用频率和频数的关系式，即可求出身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（3）由已知事件
包含的基本事件，得到
，由事件是不可能事件，可得
，结合互斥事件概率求和公式，从而求出概率
的值。
20.某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）估计这次考试的及格率(60分及以上为及格).
（2）从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人).
【答案】
（1）解：依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为
,
所以，抽样学生成绩的合格率是
%.
（2）解：
"
，
，
”的人数是18,15,3.
所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一人，
选到第一名的概率
.
【解析】(1)根据频率分布直方图的意义，小矩形的面积即为相应概率。
（2）[70,100]的人数共有36人，由概率的意义知
P
=
。
21.我市电视台为了解市民对我市举办的春节文艺晚会的关注情况，组织了一次抽样调查，下面是调查中的其中一个方面：
按类型用分层抽样的方法抽取
份问卷，其中属“看直播”的问卷有
份．
（1）求
的值；
（2）为了解市民为什么不看的一些理由，用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为
的样本，将该样本看成一个总体，从中任取
份，求至少有
份是女性问卷的概率；
（3）现从（2）所确定的总体中每次都抽取1份，取后不放回，直到确定出所有女性问卷为止，记所要抽取的次数为
，直接写出
的所有可能取值（无需推理）.
【答案】
（1）解：
（2）解：
?
（3）解：
.
【解析】（1）根据分层抽样的特点，结合比例关系即可求出m；
（2）利用古典概型，求出基本事件总数和事件中所含基本事件数，即可求出相应的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出；
（3）根据题意，直接写出随机变量的所以可能取值即可.
22.某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米）．把这些高度列成了如下的频数分布表：
组别
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
3
14
15
12
4
（1）在这批树苗中任取一棵，其高度在85厘米以上的概率大约是多少？
（2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用组中值代替各组数据的平均值）
【答案】
（1）解：∵高度不低于85厘米的频数是12+4=16，
∴高度不低于85厘米树苗的概率为
=
．
（2）解：根据题意，样本容量即各组频数之和为2+3+14+15+12+4=50，
则树苗的平均高度
=
=73.8cm．
【解析】（1）根据题意，由频率分布表可得高度不低于85厘米的频数，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）首先计算出样本容量，进而由平均数的计算公式计算可得答案．2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
10.1随机事件与概率
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是（???
）
A.?恰有1次投中????????????????????B.?至多有1次投中????????????????????C.?2次都投中????????????????????D.?2次都未投中
2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（
??）
A.?至少有1个白球；都是白球????????????????????????????
??????B.?至少有1个白球；至少有1个红球
C.?恰有1个白球；恰有2个白球????????????????????????????????D.?至少有1个白球；都是红球
3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为
和P，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为
，都是白子的概率为
，则取出的2粒颜色不同的概率为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
5.下列叙述正确的是（???
）
A.?频率是稳定的，概率是随机的
B.?互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C.?5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
D.?若事件A发生的概率为P(A)，则
6.甲、乙两人下棋，和棋的概率为
，乙获胜的概率为
，则下列说法正确的是（??
）
A.?甲获胜的概率是
????????B.?甲不输的概率是
????????C.?乙输棋的概率是
????????D.?乙不输的概率是
7.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量
去描述1次试验的成功次数，则
（??
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
8.学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为
，则这周能进行决赛的概率为（
??）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
9.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（??
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
10.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾
和股
分别表示直角三角形的两条直角边，用弦
来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
11.已知直角梯形
中，
，
，
，
，
，点
在梯形内，那么
为钝角的概率为（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
12.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间Y统计结果如下：
办理业务所需的时间Y/分
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时，据上表估计第三个顾客等待不超过4分钟就开始办理业务的概率为（??
）
A.?0.22?????????????????????????????????????B.?0.24?????????????????????????????????????C.?0.30?????????????????????????????????????D.?0.31
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知随机变量
，若
，则
________．
14.小明家的晚报在下午5：30~6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00~7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐，那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是________.
15.随机变量X的概率分布规律为P（X=k）=
，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P（
.
＜X＜
）的值为________．
16.已知A、B、C相互独立，如果P（AB）=
，
，
，
=________．
解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为
，
计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率；
（3）射中环数不足8环的概率．
18.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试,在备选的6道题中,甲答对其中每道题的概率都是
,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)得0分.
（1）求乙得分的分布列和数学期望;
（2）规定:每个人至少得20分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.
19.从某学校
的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155，160），第二组［160，165）……第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部份，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为
，事件
，事件
，求概率
．
20.某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）估计这次考试的及格率(60分及以上为及格).
（2）从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人).
21.我市电视台为了解市民对我市举办的春节文艺晚会的关注情况，组织了一次抽样调查，下面是调查中的其中一个方面：
按类型用分层抽样的方法抽取
份问卷，其中属“看直播”的问卷有
份．
（1）求
的值；
（2）为了解市民为什么不看的一些理由，用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为
的样本，将该样本看成一个总体，从中任取
份，求至少有
份是女性问卷的概率；
（3）现从（2）所确定的总体中每次都抽取1份，取后不放回，直到确定出所有女性问卷为止，记所要抽取的次数为
，直接写出
的所有可能取值（无需推理）.
22.某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米）．把这些高度列成了如下的频数分布表：
组别
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
3
14
15
12
4
（1）在这批树苗中任取一棵，其高度在85厘米以上的概率大约是多少？
（2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用组中值代替各组数据的平均值）
