2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
10.3频率与概率
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.从区间[0，1]内随机抽取2n个数
，
，…
，
，..
，
构成n个数对(
，
)，…，(
，
)，其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为(??
)
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为（
??）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
3.下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是(
??)
A.?旋转的次数的多少不会影响估计的结果???????????????B.?旋转的次数越多，估计的结果越精确
C.?旋转时可以按规律旋转???????????????????????????????????????D.?转盘的半径越大，估计的结果越精确
4.关于圆周率
，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计
的值：先请120名同学每人随机写下一个
都小于1的正实数对
，再统计其中
能与1构成钝角三角形三边的数对
的个数m，最后根据统计个数m估计
的值.如果统计结果是
，那么可以估计
的值为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.通过模拟试验，产生了20组随机数
7130?
3013?
7055?
7430?
7740
4122?
7884?
2604?
3346?
0952
6107?
9706?
5774?
5725?
6576
5929?
1768?
6071?
9138?
6254
每组随机数中，如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（?
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（??
）
A.?1193???????????????????????????????????B.?1359???????????????????????????????????C.?2718???????????????????????????????????D.?3413
7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（??
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
8.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?都不对
9.在区间
内随机取两个数分别为
，则使得方程
有实根的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
10.现用随机模拟方法近似计算积分
dx，先产生两组（每组1000个）在区间[0，2]上的均匀随机数x1
，
x2
，
x3
，
…，x1000和y1
，
y2
，
y3
，
…，y1000
，
由此得到1000个点（xi
，
yi）（i=1，2，…，1000），再数出其中满足
+
≤1（i=1，2，…，1000）的点数400，那么由随机模拟方法可得积分
dx的近似值为（??
）
A.?1.4???????????????????????????????????????B.?1.6???????????????????????????????????????C.?1.8???????????????????????????????????????D.?2.0
11.用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x，但是基本事件都在区间[﹣1，3]上，则需要经过的线性变换是（ ）
A.?y=3x﹣1????????????????????????????B.?y=3x+1??????????????????????????????C.?y=4x+1??????????????????????????D.?y=4x﹣1
12.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727?
0293?
7140?
9857?
0347?
4373?
8636?
9647?
1417?
4698
0371?
6233?
2616?
8045?
6011?
3661?
9597?
7424?
6710?
4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A.?0.85????????????????????????????????????B.?0.8192????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????D.?0.75
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6
，
S6=________．
14.如图，面积为10的矩形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在矩形中随机撒一粒种子，它落在阴影区域内的概率为
，则阴影区域的面积为________．
15.已知△ABC是一个面积较大的三角形，点P是△ABC所在平面内一点且
+
+2
=
，现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是________．
16.在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为________?．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.生活在湖边的渔民为了方便而快速地知道湖中有多少条鱼，常用一种称为“标记后再捕”的方法．先从湖中随意捕捉一定数量的鱼，例如1
000条鱼，在每条鱼的身上作记号后又放回湖中；隔了一定时间后，再从湖中捕捉一定数量的鱼，例如300条鱼，查看其中有多少条有标记的鱼，假设有20条有标记，估计湖中鱼的总数．
18.利用随机模拟方法估计曲线y=x2与直线x=1及x轴围成的区域面积．
19.试利用随机模拟方法计算曲线y=2x
，
x轴及x=±1所围成的“曲边梯形”的面积．
20.为了了解某校高一学生体能情况，抽取200位同学进行1分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图所示），请回答下列问题：
（1）次数在100～110之间的频率是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是多少？
21.用随机模拟方法求函数
?与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
22.用计算机模拟方法估计：从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于的概率．2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
10.3频率与概率
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.从区间[0，1]内随机抽取2n个数
，
，…
，
，..
，
构成n个数对(
，
)，…，(
，
)，其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为(??
)
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】由题意，从区间[0，1]随机抽取2n个数x1
，
x2
，
…，xn
，
y1
，
y2
，
…，yn
，
构成n个数对（x1
，
y1），（x2
，
y2），…，（xn
，
yn），对应的区域的面积为12
．
而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1-
π?12
，
∴
=1-
，
∴π
．
故答案为：D．
2.如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为（
??）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为
，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为
.
法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB
，
OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为
，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为
，
故答案为：C.
3.下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是(
??)
A.?旋转的次数的多少不会影响估计的结果???????????????B.?旋转的次数越多，估计的结果越精确
C.?旋转时可以按规律旋转???????????????????????????????????????D.?转盘的半径越大，估计的结果越精确
【答案】
B
【解析】旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以A不正确．
故答案为：B
4.关于圆周率
，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计
的值：先请120名同学每人随机写下一个
都小于1的正实数对
，再统计其中
能与1构成钝角三角形三边的数对
的个数m，最后根据统计个数m估计
的值.如果统计结果是
，那么可以估计
的值为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】由题意
对都小于
的正实数
，满足
，面积为
，
两个数能与
构成钝角三角形的三边的数对
，满足
且
，
面积为
，
因为统计两数能与
构成钝角三角形三边的数对
的个数为
，
则
，所以
，
故答案为B.
5.通过模拟试验，产生了20组随机数
7130?
3013?
7055?
7430?
7740
4122?
7884?
2604?
3346?
0952
6107?
9706?
5774?
5725?
6576
5929?
1768?
6071?
9138?
6254
每组随机数中，如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（?
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】20组随机数中恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,有3013，
2604，5725，6576四组，因此四次射击中恰有三次击中目标的概率约为
故答案为：B.
6.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（??
）
A.?1193???????????????????????????????????B.?1359???????????????????????????????????C.?2718???????????????????????????????????D.?3413
【答案】B
【解析】解：μ=﹣1，σ=1，
∵P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.9544，
即P（﹣2＜x＜0）=0.6826，P（﹣3＜x＜1）=0.9544，
∴P（0＜x＜1）=
（0.9544﹣0.6826）=0.1359，
∴点落入阴影的概率p=
=0.1359，
∴落入阴影的点个数约为10000×0.1359=1359．
故选：B．
7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（??
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【解析】解：直角三角形的斜边长为
=17，
设内切圆的半径为r，则8﹣r+15﹣r=17，解得r=3．
∴内切圆的面积为πr2=9π，
∴豆子落在内切圆外部的概率P=1﹣
=1﹣
．
故答案为：D．
8.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?都不对
【答案】
A
【解析】所求的概率为
?,故选A.
9.在区间
内随机取两个数分别为
，则使得方程
有实根的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】
有实根
?由图形可知,
?，
故答案为：D.
10.现用随机模拟方法近似计算积分
dx，先产生两组（每组1000个）在区间[0，2]上的均匀随机数x1
，
x2
，
x3
，
…，x1000和y1
，
y2
，
y3
，
…，y1000
，
由此得到1000个点（xi
，
yi）（i=1，2，…，1000），再数出其中满足
+
≤1（i=1，2，…，1000）的点数400，那么由随机模拟方法可得积分
dx的近似值为（??
）
A.?1.4???????????????????????????????????????B.?1.6???????????????????????????????????????C.?1.8???????????????????????????????????????D.?2.0
【答案】B
【解析】解：由题意，由随机模拟方法可得积分
dx的近似值为
=1.6，
故选B．
11.用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x，但是基本事件都在区间[﹣1，3]上，则需要经过的线性变换是（ ）
A.?y=3x﹣1????????????????????????????B.?y=3x+1??????????????????????????????C.?y=4x+1??????????????????????????D.?y=4x﹣1
【答案】
D
【解析】解：根据题意得，需要经过的线性变换将0～1之间的随机数x变换成区间[﹣1，3]上的数，
设需要经过的线性变换为y=kx+b，则把它看成直线，此直线经过点（0，﹣1）和（1，3），如图．
从而有：
，
则需要经过的线性变换是y=4x﹣1．
故选D．
12.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727?
0293?
7140?
9857?
0347?
4373?
8636?
9647?
1417?
4698
0371?
6233?
2616?
8045?
6011?
3661?
9597?
7424?
6710?
4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A.?0.85????????????????????????????????????B.?0.8192????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????D.?0.75
【答案】
D
【解析】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
5727?
0293?
9857?
0347?
4373?
8636?
9647?
4698
6233?
2616?
8045?
3661?
9597?
7424?
4281．
共15组随机数，
∴所求概率为=0.75．
故选D．
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6
，
S6=________．
【答案】
【解析】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
△AOB是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为
S6=6×
×1×1×sin60°=
．
故答案为：
．
14.如图，面积为10的矩形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在矩形中随机撒一粒种子，它落在阴影区域内的概率为
，则阴影区域的面积为________．
【答案】6
【解析】解：由题意，
=
，
∴S阴影=10×
=6，
故答案为6．
15.已知△ABC是一个面积较大的三角形，点P是△ABC所在平面内一点且
+
+2
=
，现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是________．
【答案】1500粒
【解析】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则
+
=
，
∵
+
+2
=
，
∴
+
=﹣2
，
得：
=﹣2
，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
点P到BC的距离等于A到BC的距离的
．
∴S△PBC=
S△ABC
．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P=
，
将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是1500粒．
故答案为1500粒．
16.在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为________?．
【答案】
【解析】解：由题意，∵在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，
∴概率P=
，
∵边长为2的正方形ABCD的面积为4，
∴不规则图形M的面积的估计值为
．
故答案为：
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.生活在湖边的渔民为了方便而快速地知道湖中有多少条鱼，常用一种称为“标记后再捕”的方法．先从湖中随意捕捉一定数量的鱼，例如1
000条鱼，在每条鱼的身上作记号后又放回湖中；隔了一定时间后，再从湖中捕捉一定数量的鱼，例如300条鱼，查看其中有多少条有标记的鱼，假设有20条有标记，估计湖中鱼的总数．
【答案】
解：设湖中鱼大约由x条，
则有
=
，
得x=15000条，
经检验x=15000是方程的解．
答：湖中鱼大约有15000条．
【解析】第二次捕捞鱼共300条，有20条做了记号，即有记号的鱼占到总数的
，
然后根据一共1000条做了记号，来估算总数．
18.利用随机模拟方法估计曲线y=x2与直线x=1及x轴围成的区域面积．
【答案】
解：（1）利用计算机分别产生[0，1]和[0，1]上的均匀随机数：a=Rand和b=Rand，得随机数组（a，b）．
（2）统计试验总次数N和落在“曲边梯形”内的点数N1（满足b＜a2的点（a，b）数）
（3）计算频率
，
得点落在“曲边梯形”上的概率近似值．
（4）由几何概型得p=
，
所以=
，
于是得到S=
，
这就是“曲边梯形”面积的近似值．
【解析】先由计算器做模拟试验结果试验估计，满足条件b＜a2的点（a，b）的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．
19.试利用随机模拟方法计算曲线y=2x
，
x轴及x=±1所围成的“曲边梯形”的面积．
【答案】
解：（1）利用计算机分别产生[﹣1，1]和[0，2]上的均匀随机数：a=﹣1+2Rand和b=2Rand，得随机数组（a，b）．
（2）统计试验总次数N和落在“曲边梯形”内的点数N1（满足b＜2a的点（a，b）数）．
（3）计算频率
，
得点落在“曲边梯形”上的概率近似值．
（4）由几何概型得p=
，
所以=
，
于是得到S=
，
这就是“曲边梯形”面积的近似值．
【解析】用随机模拟方法计算曲线y=2x
，
x轴及x=±1所围成的“曲边梯形”的面积，分成四个步骤：
（1）利用计算机分别产生[﹣1，1]和[0，2]上的均匀随机数；
（2）统计试验总次数N和落在“曲边梯形”内的点数N1（满足b＜2a的点（a，b）数）．
（3）计算频率
，
得点落在“曲边梯形”上的概率近似值．（4）由几何概型得出“曲边梯形”面积的近似值．
20.为了了解某校高一学生体能情况，抽取200位同学进行1分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图所示），请回答下列问题：
（1）次数在100～110之间的频率是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是多少？
【答案】
（1）∵第二组面积为0.02×10=0.2，
∴次数在100～110之间的频率是0.2．
∵第二小组频数为12；
（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，
∴高一学生的达标率是
10×（0.035+0.025+0.015）=75%
即高一有75%的学生达标．
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是95×0.05+105×0.2+115×0.35+125×0.25+135×0.15=117.5．
【解析】（1）根据第二组小矩形的面积，做出第二组的频率．
（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．
（3）将每组的组中值乘以该组的频率即可求出学生跳绳次数的平均数．
21.用随机模拟方法求函数
?与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
【答案】
解:如图,阴影部分是函数y=
的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤:
⑴利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;
⑵统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<
的点(x,y)的个数);
⑶计算频率
,即为点落在阴影部分的概率的近似值;
⑷直线x=1,y=1和x,y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为
=S.
则S≈
,即阴影部分面积的近似值为
.
【解析】根据随机模拟的步骤，求出相应的面积，即可得出结论。
22.用计算机模拟方法估计：从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于的概率．
【答案】
解：区间（0，1）内任取两个实数记为（x，y），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，
其中满足两个实数的和大于
，
即x+y＞的平面区域如下图中橘色部分所示：
其中正方形面积S=1，阴影部分面积S=1﹣
=
∴从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于的概率为=0.875
【解析】在区间（0，1）内任取两个实数，确定该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件两个实数的和大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．
