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3.2.1双曲线及其标准方程教学设计
课题
3.2.1双曲线及其标准方程
单元
第三单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
学生认识圆锥曲线从椭圆开始，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高.如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章，所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用.
课程目标与核心素养
课程目标1.掌握双曲线的标准方程及其求法；2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题；3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.学科素养1.数学抽象：双曲线的定义；2.逻辑推理：运用定义推导双曲线的标准方程
；3.数学运算：双曲线标准方程的求法；
4.数学建模：运用双曲线解法实际问题；
5.直观想象：双曲线及其标准方程.
重点
用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.
难点
双曲线标准方程及其求法.
教学准备
多媒体
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
温故知新
一、椭圆的定义平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆.
建系
设点
列式
化简椭圆的标准方程焦点在轴上的椭圆标准方程：焦点在轴上的椭圆标准方程：
回顾上节课的内容.
有助学生对前面所学知识的记忆.
讲授新课
问题导入:平面内与两定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？通过动画演示拉链实验得：①如图（A）②如图（B）
由①②可得：（差的绝对值）双曲线定义平面内到两个定点的距离差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线.（1）两个定点——双曲线的焦点；（2）两个焦点的距离——焦距，记作：；（3）常数是，则.思考？（1）在平面内与两定点的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么？
双曲线一支（2）若，则轨迹是什么？
两条射线（3）若，则轨迹是什么？
轨迹不存在（4）若，则轨迹是什么？
线段的垂直平分线认识生活中的双曲线思考？优美的双曲线怎样表示？双曲线标准方程推导：建系以所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系.设点设是双曲线上任意一点，设,则；与两定点的距离差的绝对值等于，列式则，即
问题：针对，我们该如何化简呢？是直接平方呢，还是整理后再平方呢？通过分析，我们知道针对，应先整理再平方，这样可使计算简单，具体操作如下：化简化简得：，两边同除以，得-=1由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a令b2=c2-a2,其中b>0，代入上式整理得：
.试想：若以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，则会得到怎样的双曲线方程呢?注意：①方程用“-”连接；②的大小不定；③；④如果的系数是正，则焦点在轴上
如果的系数是正，则焦点在轴上.典例解析例1：已知双曲线的两个焦点坐标分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P与距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解：由于双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，由双曲线的定义知c＝5，a＝5所以，即双曲线的标准方程为.例2：已知A，B两地相距800米，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：建立如图（3.2-5）平面直角坐标系，使A，B两点在轴上，并且原点O与线段AB的中点重合，设炮弹爆炸点P的坐标为，则，即2a=680，a=340，又AB=800，所以2c=800，c=400，，因为，即点P的轨迹是双曲线的右支，因此，所以爆炸点的轨迹方程为：.课堂练习1．已知F1(3，0)，F2(－3，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则点P的轨迹是( )A．双曲线 B．双曲线的一支C．不存在
D．一条射线
B 解析：动点到两定点的距离的差为常数4，而常数小于两定点之间的距离，故点P的轨迹为双曲线的一支．
2．已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )A.－＝1
B.－＝1C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
C 解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.3．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．－10，所以(k－1)(k＋1)<0，所以－1解：设点坐标为，因为点的坐标为，所以直线的斜率为：，同理直线的斜率为：，由已知得，化简得到点的轨迹是，所以点的轨迹是去掉两点的双曲线.
学生观看动画实验.学生回答根据椭圆求标准方程的步骤建立合理坐标系求双曲线的方程应该较简单.对教师提出的问题进行思考、分析.学生分析解题思路，教师展示过程.
问题导入，激发学生的学习兴趣.用类比的思想，通过已经学过的椭圆的知识猜想双曲线，开展后续教学.让学生尝试化简求出焦点在轴上的双曲线标准方程，分析得出焦点在轴上的双曲线标准方程，并进行对比、概括、记忆.加强学生对双曲线定义和标准方程的理解和巩固，同时加深关系式的应用.
课堂小结
1.双曲线的定义
平面内与两定点的距离差的绝对值等于常数的点的集合称为双曲线.2.双曲线的标准方程：焦点在轴上：
焦点在轴上：
学生回顾本节课知识点，教师补充.
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.
板书
§
3.2.1
双曲线及其标准方程双曲线的定义双曲线的标准方程
四、课堂小结焦点在X轴上焦点在Y轴上
五、作业布置典型例题
结语
悲伤的双曲线如果我是双曲线，你就是那渐近线．如果我是反比例函数，你就是那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路无交点．为何看不见，等式成立要条件．难道正如书上说的，无限接近不能达到．为何看不见，明月也有阴晴圆缺．此事古难全，但愿千里共婵娟.
教学反思
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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3.2.1
双曲线及其标准方程
人教A版（2019）
选择性必修第一册
温故知新
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹．
一、椭圆定义：
二、椭圆的标准方程：
建系
设点
列式
化简
焦点在
x
轴上的椭圆标准方程：
焦点在
y
轴上的椭圆标准方程：
新知导入
差
等于常数的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．
思考
实验探究
实验探究
实验探究
如图A所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,
分别固定在点F1、F2上,把笔尖放在点M
处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,
笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,
如图B所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.
①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：|
|MF1|-|MF2|
|
=
2a
（差的绝对值）
新知讲解
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
F1
F2
M
|
|MF1|
-
|MF2|
|
=
2a
（2a
<
|F1F2|）
注意：①
两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
②
|F1F2|=2c
——焦距.
③此常数记为2a，则a新知讲解
（2）若2a
=
2c,则轨迹是？
（3）若2a>
2c,则轨迹是？
（4）若2a
=0
,则轨迹是？
（1）在平面内与两定点F1，F2的距离的差等于非零常数2a
(小于|F1F2
|)的点的轨迹是什么？
思考
双曲线的一支
线段F1F2的垂直平分线
两条射线
轨迹不存在
新知讲解
认识生活中的双曲线
优美的双曲线怎样表示？
思考
新知讲解
双曲线标准方程推导
建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系.
x
M
O
y
设点
设M（x
,
y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,
非零常数等于2a
（a>0）
，则F1(-c,0),F2(c,0).
列式
|
|
MF1|
-
|MF2
|
|=
2a
即
|
-
|
=
2a
F1
F2
合作探究
化简
化简得：
令b2=c2-a2,其中b>0，代入上式整理得：
两边同除以
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程.
，得
-=1
由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a
新知讲解
思考
焦点在Y轴上的双曲线的标准方程是什么？
O
M
x
y
M
x
O
y
F1
F2
F1
F2
新知讲解
注意：①
方程用“－”号连接.
②
a,b
大小不定.
③=+
如何确定焦点位置？
④如果的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果的系数是正的，则焦点在y轴上.
新知讲解
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
-=1(a>0,b>0)
新知讲解
例2：已知
A,B两地相距800米，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒，且声速为340m/s,
求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：如图3.2-5，
建立平面直角坐标系Oxy,使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合.
设炮弹爆炸点P的坐标为(x，
y),则
因为|PA|-|PB|=680>0，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为：
即2a=680，a=
340.又|AB|=800，所以2c=
800，c=400,
课堂练习
B
课堂练习
C
课堂练习
-1课堂练习
4.如图设
A，B
两点的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线
AM，BM
相交于点
M，且它们的斜率之积是
，试求点M
的轨迹方程，并由点
M
的轨迹方程判断轨迹的形状？
解：设点M
的坐标为（x，y），因为点A的坐标为（-
5，0），
所以直线
AM
的斜率
同理，直线
BM
的斜率
课堂练习
由已知，有
化简，得点M
的轨迹方程为：
所以点M
的轨迹是除去（-5，0），（5，0）两点的双曲线.
课堂总结
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的集合称为双曲线.
距离之差：
焦距：
2、双曲线的标准方程：
焦点在x轴上：
焦点在y轴上：
1、双曲线的定义：
板书设计
1.双曲线的定义
2.双曲线标准方程
例1、2、
四、作业布置
三、课堂小结
二、探索新知
一、温故知新
3.2.1
双曲线及其标准方程
作业布置
课本121页练习题1，2，3，4
结语
悲伤的双曲线
如果我是双曲线，你就是那渐近线．
如果我是反比例函数，你就是那坐标轴．
虽然我们有缘，能够生在同一个平面．
然而我们又无缘，漫漫长路无交点．
为何看不见，等式成立要条件．
难道正如书上说的，无限接近不能达到．
为何看不见，明月也有阴晴圆缺．
此事古难全，但愿千里共婵娟.
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