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9.1认识三角形导学案
课题
9.1认识三角形
单元
9
学科
数学
年级
七年级
知识目标
1.了解三角形的基本元素与主要线段.
2.能区分不同形状的三角形，按角、按边分类的两种方法.
3.掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示
重点难点
重点：三角形内角、外角，等腰三角形、等边三角形等概念。
难点：三角形的中线、角平分线、高的应用。
教学过程
知识链接
1.什么样的图形是三角形？
合作探究
一、教材第73页
1.三角形是由三条
首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.
如图三角形的顶点采用大写字母A、B、C，整个三角形表示为
.
2.如图，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的
，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的
，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角.
思考：(1)一个三角形（如△ABC）有多少个内角？多少个外角？
二、教材第74页
1.如图，三个三角形的内角各有什么特点？
(1)中：三个内角均为
；
(2)中：有一个内角是
；
(3)中：有一个内角是
.
那么三角形按角来分，应如何分类？
【归纳结论】三角形按角可以分为：
所有内角都是锐角——
；
有一个内角是直角——
；
有一个内角是钝角——
.
2.如图，三个三角形的边各有什么特点？
(1)中：三角形的三边
；
(2)中：三角形有两条边
；
(3)中：三角形的
都相等.
【归纳结论】我们把两条边相等的三角形称为
，相等的两边叫做等腰三角形的
；把三条边都相等的三角形叫做
.
三、教材第75页
1.如图所示，过顶点A作△ABC边BC的垂线，垂足为D，线段AD就是△ABC的一条
；
取△ABC边BC的中点E，连结AE，线段AE就是△ABC的一条
；
作△ABC的内角∠ABC的平分线交AC于点F，线段BF就是△ABC的一条
.
显然，△ABC有三条
、三条
、三条
.
2.（1）下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高.
（2）把锐角三角形换成直角三角形后，试一试.
（3）把锐角三角形换成钝角三角形后，试一试.
【归纳结论】
1.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形
，并且都相交于
；
2.锐角三角形的三条高相交于
一点，直角三角形的三条高相交于
，钝角三角形的两条高位于三角形的
且三条高所在的直线相交于
.
自主尝试
1.看图填空
(1)图中有△ABC、△ABE和
、
、；
(2)点B是△ABC和
、
、
的公共顶点，∠A是△ABC和
的公共角，BC是△ABC和
、
的公共边.
2.
三角形的角平分线是（
）
A.直线
B.射线
C.线段
D.不确定
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
【方法宝典】
根据三角形的有关概念解题即可.
当堂检测
1.如图所示,图中共有三角形
( )
A.1个
B.2个
C.3
个
D.4个
2..若△ABC的一个外角为50°,则△ABC一定是
( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
3.如图，在△ABC中有四条线段DE,BE,EG,FG,其中有一条线段是△ABC的中线,则该线段是
( )
A.DE
B.BE
C.EG
D.FG
4..下列说法不正确的是
( )
A.三角形的中线在三角形的内部
B.三角形的角平分线在三角形的内部
C.三角形的高都在三角形的内部
D.三角形必有一条高在三角形的内部
5..如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上的一点,
CF⊥AD于点H.下列说法正确的是
( )
A.AD是△ABE的角平分线
B.BE是△ABD中边AD上的中线
C.CH为△ACD中边AD上的高
D.AH为△ABC的角平分线
6.如图,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有 个.
7.如图,在△ABC中,AD为中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE= .?
8.如图,BM是△ABC的中线,若AB=5
cm,BC=3
cm,则△ABM和△BCM的周长之差是 .?
9.
已知:如图,
画出△ABC中BC边上的高,AB边上的中线,∠ABC的平分线.
10.如图,AD是△ABC的中线,BE是△ABD的中线.
(1)作出△BDE中BD边上的高;
(2)若△ABC的面积为40,BD=5,求△BDE中BD边上的高.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.
C 2.
B 3.B
4.C
5.C
6.6
7.2
8.2
cm
9.解:
如图所示.(1)过点A画AD⊥CB交CB的延长线于点D,则AD即为△ABC的BC边上的高.
(2)画AB边的中点F,连结CF,则CF即为AB边的中线.
(3)画BE平分∠ABC交AC于点E,则线段BE即为∠ABC的平分线.
10.解:(1)如图,
EF为△BDE中BD边上的高
(2)因为AD是△ABC的中线,
所以S△ABD=S△ABC.
同理,S△BDE=S△ABD,
所以S△BDE=S△ABC.
因为S△BDE=BD·EF,所以BD·EF=S△ABC.
又因为△ABC的面积为40,BD=5,
所以EF=4.
即△BDE中BD边上的高是4.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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华师大版
七下数学
9.1认识三角形
回顾旧知
1．在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题．
2．怎样的图形是三角形？
探究新知
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
问题2：三角形中有几条线段?有几个角?
A
B
C
有三条线段，三个角
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角形的角.
记法：三角形ABC用符号表示________.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表
示为________.
△ABC
c，a，b
边c
边b
边a
顶点C
角
角
角
顶点A
顶点B
练一练
辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？
不符合
不符合
不符合
要点归纳
三角形应满足以下两个条件：
表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,
△
CAB,
△
ACB等.
①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次.
探究新知
基本要素：
三角形的边：边AB、BC、CA；
三角形的顶点：顶点A、B、C；
三角形的内角(简称为三角形的角）：∠
A、
∠
B、
∠
C.
特别规定：
三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.
探究新知
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.它与
△ABC有和联系呢？
像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.
D
△ABC有多少个内角？多少个外角？
△ABC有3个内角，有6个外角
试一试
图中，三个三角形的内角各有什么特点？
由图可发现，在三角形中，
三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，
有一个角是直角的三角形叫直角三角形，
有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
试一试
(1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么?
(2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么样的三角形?
(3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？
等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.
三边都不相等的三角形.
如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢？
典例精析
等边三角形
等腰三角形
不等边三角形
（
顶角
（
底角
（
底角
按是否有边相等分
三角形
不等边三角形
等腰
三角形
底和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
按内角大小分
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
腰
底边
练一练
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（
）
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（
）
√
×
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（
）
×
（4）等边三角形是锐角三角形.（
）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（
）
×
√
想一想
问题1
什么是三角形的高？
问题2
怎样画三角形的高？
定义
如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高.
A
B
C
D
垂直符号
垂足
想一想
由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB=
∠ADC=90
°
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
E
F
O
(E,F)
如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？
D
O
画一画
画图发现
三角形的三条高交于一点.
（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；
（2）直角三角形的高交于直角的顶点；
（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.
归纳
例1、如图，在△ABC中，请作图
（1）画出△ABC的∠C的平分线；
（2）画出△ABC的边AC上的中线；
（3）画出△ABC的边BC上的高
A
B
C
D
如图，CF是一条角平分线；BE是AC边上的中线；AD是边BC上的高.
画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中线及高都要画成线段.
注意
典例精析
下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC
的BC边上的高(
)
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
D
练一练
如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC=BC=
AB
探究新知
如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？
A
B
C
定义：
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线.
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
BD=CD=BC
D
探究新知
画一画
如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
画图发现
三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形
D．周长相等的三角形
B
练一练
探究新知
如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
E
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
通过问题3你能发现什么规律？
三角形的中线能将三角形的面积平分.
如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
∠AOC=
∠BOC
探究新知
如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD是△ABC的角平分线．类比探索三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论？
B
C
D
A
三角形的三条角平分线交于三角形内一点.
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗？为什么？
相同点是：
∠
BAD=
∠
CAD;不同点是：前者是线段，后者是射线.
探究新知
例2、
如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm，
∠CAB=90
°,试求：
（1）△ABE的面积；
（2）△ACE和△ABE的周长的差.
A
B
C
D
E
解：（1）
典例精析
（2）
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周长的差
=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)
=AC+AE+CE-AB-AE-BE
=AC-AB=8-6=2(cm)
A
B
C
D
E
重要发现
三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的差.
1.如图，理解错误的是( )
A．∠A、∠B、∠ACB是△ABC的内角
B．∠BCD是与∠ACB相邻的外角
C．∠BCD＋∠A＝180°
D．△ABC的三条边分别是线段AB，BC，CA
C
2.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下操作正确的是( )
A
练一练
3.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
4.如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是( )
A．20° B．30° C．45° D．60°
A
A
5.如图，△ABC有
个内角，
个外角，与∠ABC相邻的外角有
个，它们的关系是
，∠ABC的一个外角与∠ABC的关系是
，当AB＝AC＝BC时，△ABC是
三角形．
三
六
两
相等
互补
等边
6.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm,
△DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.
A
D
B
C
解：
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD
.
∵BC-AC=5cm,
∴
△DBC与△ADC的周长差是5cm,
又∵
△DBC的周长为25cm，
∴
△ADC的周长=25-5=20(cm).
课堂小结
三角形
定义及其基本要素
顶点、角、边
分类
按角分类
按边分类分类
不重不漏
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
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