高一下数学半期测试
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)
1.
在△ABC中,a=7,c=3,.sinC的值为( )
A.
B.
C.
D.
2.
值为(
)
A.
B.
1
C.
D.
3.
设等比数列的公比,前项和为,则=(
)
A.
2
B.
4
C.
D.
4.
已知向量,向量,则向量在方向上的投影为(
)
A.
1
B.
-1
C.
D.
5.
已知,则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
6.
已知非零向量满足,且,则与的夹角为(
)
A.
B.
C.
D.
7.
已知,,,成等差数列,,,,,成等比数列,则的值是(
)
A.
B.
C.
或
D.
8.
在中,已知,则为(
)
A
等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等边三角形
D.
等腰或直角三角形
9.
若f(x)=2tan
x-,则f的值为( )
A.-
B.8
C.4
D.-4
10.
如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于( )
A.100米
B.50米
C.50米
D.50(1)米
11.
我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则的面积,根据此公式,若,且,则的面积为(
)
A.
B.
C.
D.
12.
在各项均为正数的等比数列中,公比,若,,,数列的前项和为,则取最大值时,的值为(
)
A.
B.
C.
D.
或
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)
13.
的值为______.
14.
已知公比为整数的等比数列的前项和为,且,,若,则数列的前项和为______.
15.
如图,在△ABC中,,,若,则λ+μ的值为
16.
给定下列命题:
①在△ABC中,若?0,则△ABC是钝角三角形;
②在△ABC中,,,若||=||,则△ABC是直角三角形;
③若A、B是△ABC的两个内角,且A<B,则sinA<sinB;
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对边的长,且a2+b2﹣c2<0,则△ABC一定是钝角三角形.
其中真命题的序号是
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.)
17.
已知向量,,且与共线.
(1)求的值;
(2)若与垂直,求实数值.
18.
设向量
(I)若
(II)设函数
19.
已知锐角中内角所对的边分别为,且满足
(1)求角的大小;
(2)若,,求的面积.
20.
已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为.若,,.
(1)求数列与的通项公式;
(2)求数列的前项和.
21.
已知,,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
22.
各项均为正数的数列的前n项和为,且满足.各项均为正数的等比数列满足.
(1)求证为等差数列并求数列、的通项公式;
(2)若,数列前n项和.
①求;
②若对任意,均有恒成立,求实数m的取值范围.
高一数学半期测试题
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)
1.在△ABC中,a=7,c=3,.sinC的值为( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据题意,由正弦定理可得,变形可得sinC,代入数据计算可得答案.
解:根据题意,△ABC中,a=7,c=3,,
有,则sinC;
故选:B.
【点评】本题考查正弦定理的应用,关键是掌握正弦定理的形式,属于基础题.
2.
的值为(
)
A.
B.
1
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
观察角度并变形,利用两角和与并公式计算.
【详解】.
故选:A
【点睛】考查了诱导公式和两角和与差公式的逆用,属于容易题.
3.
设等比数列的公比,前项和为,则=(
)
A
2
B.
4
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合等比数列的通项公式、前项和公式,用首项表示出,,从而可求出的值.
【详解】解:因为,,所以.
故选:C.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前项和公式.对于等差数列、等比数列,常用首项和公差(公比)表示已知条件.
4.
已知向量,向量,则向量在方向上投影为(
)
A.
1
B.
-1
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量在方向上的投影,带入数值即可.
【详解】向量在方向上的投影.
故选:B
【点睛】本题主要考查向量的投影,熟记公式是解决本题的关键,属于简单题.
5.
已知,则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将两边同时平方,再结合同角三角函数的关系及二倍角公式求解即可.
【详解】解:因为,
两边同时平方得,
所以,所以,
故选:C.
【点睛】本题考查了二倍角公式,重点考查了同角三角函数的关系,属基础题.
6.
已知非零向量满足,且,则与的夹角为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量垂直与数量积的关系以及,即可求出结果.
【详解】因为,所以,
即,
又,所以,即;
又,所以.
故选:B.
【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、夹角公式,属于基础题.
7.
已知,,,成等差数列,,,,,成等比数列,则的值是(
)
A.
B.
C.
或
D.
【答案】A
【解析】
依题意可知,所以.
8.
在中,已知,则为(
)
A.
等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等边三角形
D.
等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据正弦定理进行边换角,然后结合二倍角公式求解即可.
【详解】由,有,
由正弦定理有,即
所以有或
即或
所以三角形为等腰三角形或直角三角形,
故选:D
.
【点睛】考查三角形形状的判定,正确应用正弦定理进行边化角是解题突破口,属于基础题.
9.
.若f(x)=2tan
x-,则f的值为( )
A.-
B.8
C.4
D.-4
答案:B
10.
如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于( )
A.100米
B.50米
C.50米
D.50(1)米
【分析】设AB=xm,根据俯角的定义得到∠MAC=45°,∠MAD=30°,由平行线的性质得到∠D=30°,∠ACB=45°,再根据等腰三角形的性质得BC=AB=x,根据含30度的直角三角形三边的关系得DBAB,即100+xx,解出x即可.
解:设AB=xm,则由题意,∠D=30°,∠ACB=45°,
在Rt△ABC中,BC=AB=x,
在Rt△ADB中,DB=CD+BC=100+x,
∴DBAB,即100+xx,解得x=50(1)m.
∴山AB的高度为50(1)米.
故选:D.
【点评】此题考查了仰角的知识.要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形,注意数形结合思想与方程思想的应用.
11.
我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则的面积,根据此公式,若,且,则的面积为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简,求得,再结合已知及余弦定理,求得的值,代入已知公式,即可求解.
【详解】由题意,因为,所以,
即,
又由,所以,
由因为,所以,所以,即,
因为,
由余弦定理可得,解得,
则的面积为.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用,意在考查推理与运算能力,属于中档试题.
12.在各项均为正数的等比数列中,公比,若,,,数列的前项和为,则取最大值时,的值为(
)
A.
B.
C.
D.
或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质求出、的值,可求出和的值,利用等比数列的通项公式可求出,由此得出,并求出数列的前项和,然后求出,利用二次函数的性质求出当取最大值时对应的值.
【详解】由题意可知,由等比数列的性质可得,解得,
所以,解得,,,
则数列为等差数列,,
,,
因此,当或时,取最大值,故选D.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)
13.
的值为______.
14.
已知公比为整数的等比数列的前项和为,且,,若,则数列的前项和为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件先计算出,,然后得到,再利用裂项求和法得到答案.
【详解】公比为整数的等比数列的前项和为
,
解得或(舍去)
,
前100项和为
故答案为
【点睛】本题考查了数列的通项公式,前n项和,综合性强,意在考查学生对于数列的方法的灵活运用.
15.
如图,在△ABC中,,,若,则λ+μ的值为
【分析】根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可.
解:∵,
∴
又∵,
∴,
又∵
∴(),
∴λ,μ,
则λ+μ,
16.
给定下列命题:
①在△ABC中,若?0,则△ABC是钝角三角形;
②在△ABC中,,,若||=||,则△ABC是直角三角形;
③若A、B是△ABC的两个内角,且A<B,则sinA<sinB;
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对边的长,且a2+b2﹣c2<0,则△ABC一定是钝角三角形.
其中真命题的序号是 ②③④ .
【分析】①在三角形中要分清是内角C还是其补角.
②求出则0,判断即可.
③根据正弦定理,A<B,则a<b,即可判断.
④根据余弦定理判断即可.
解:对于①若?0,则0,则角C为锐角,△ABC是不一定是钝角三角形;故错误.
对于②.若||=||,则若||2=||2,则0,∴△ABC为直角三角形,故正确
对于③根据正弦定理,A<B,则a<b,sinA<sinB,故正确.
对于④∵a2+b2﹣c2<0,由余弦定理可知cosC0,即角C为钝角,故正确.
故答案为:②③④
【点评】本题为三角形知识的应用,正确利用正余弦定理和三角函数的知识是解决问题的关键,属基础题
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.)
17.
已知向量,,且与共线.
(1)求的值;
(2)若与垂直,求实数的值.
【答案】(1),(2).
【解析】
【分析】
(1),然后利用与共线求出答案即可
(2)利用数量积的相关知识直接计算即可.
【详解】(1)
因为与共线,所以,
解得.
(2)由(1)知,所以
由与垂直,得,
所以,
解得.
【点睛】本题考查共线向量、向量的坐标运算以及向量的数量积,属于基础题.
18.
设向量
(I)若
(II)设函数
【答案】(I)(II)
【解析】
【分析】
【详解】(1)由=(sinx)2+(sinx)2=4sin2x,
=(cosx)2+(sinx)2=1,
及,得4sin2x=1.
又x∈,从而sinx=,所以x=.
(2)
sinx·cosx+sin2x
=sin
2x-cos
2x+=sin+,
当x∈时,-≤2x-≤π,
∴当2x-=时,
即x=时,sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
19.
已知锐角中内角所对的边分别为,且满足
(1)求角的大小;
(2)若,,求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)根据正弦定理,已知条件转化为,由于,所以,由根据锐角三角形,于是得到;
(2)根据第(1)问及已知条件,由余弦定理变形得出,整理后得出的值,再根据面积公式可以得到的面积.
【详解】(1)由,根据正弦定理得
,
∴,则由为锐角三角形,得.
(2)∵,,,
∴由余弦定理有,
得,
即,解得.
∴的面积.
20.
已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为.若,,.
(1)求数列与的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
.(2)
.
【解析】
【分析】
(1)先由题中条件得到,再设等差数列的公差为,结合题中数据求出公差,进而可得的通项公式;设等比数列的公比为,求出公比,即可得出通项公式;
(2)先由(1)的结果,得到,再由分组求和法,结合等差数列与等比数列前项和公式,即可得出结果.
【详解】(1)
由,,
则
设等差数列的公差为,则,所以.
所以
设等比数列的公比为,由题,即,所以.
所以;
(2)
,
所以前项和为
.
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列,熟记通项公式、前项和公式即可,属于常考题型.
21.
已知,,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)原式除以,分子分母再同时除以即可得解;(2)由及二倍角公式求出、,再由求出、,代入的展开式即可得解.
【详解】(1)原式;
(2)且,,则,
,
,
,,,
,
又,,
.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的关系化简求值、二倍角公式、两角和的余弦公式、配凑法求三角函数值,重点考查转化与化归和计算能力,属于中档题型.
22.
各项均为正数的数列的前n项和为,且满足.各项均为正数的等比数列满足.
(1)求证为等差数列并求数列、的通项公式;
(2)若,数列的前n项和.
①求;
②若对任意,均有恒成立,求实数m取值范围.
【答案】(1),(2)①;
②
【解析】
【分析】
(1)利用已知条件转化求解数列是等差数列,求解首项公差,利用等比数列求数列的首项和公比.
(2)①化简,利用错位相减法求解数列的前n项和.
②转化求出m与n的不等式,利用最值求解m的范围即可.
【详解】(1)∵,∴.
∴,
∴,又各项为正,
∴,
∴开始成等差,
又,
∴,
∴
∴为公差为3的等差数列,
∴,,
∴.
(2),
①,
,
∴,
,
,
?∴.
②恒成立,
∴,
即恒成立,
设,
,
当时,;
当时,
∴,
∴.
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列通项公式的求法,数列求和,以及数列与不等式的关系,考查函数思想的应用,属于中档题.
18