10.1随机事件与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）

高中数学必修第二册第十章概率（人教A版2019）
10.1随机事件与概率
【基础梳理】
要点一、有限样本空间与随机事件
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验，常用字母E表示.例如，抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等,都可以看成随机试验.
2.样本点和样本空间
（1）定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间
（2）表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点
（3）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间=为有限样本空间
3.事件
(1)随机事件:我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件:作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件.
(3)不可能事件:空集中不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.
要点二、事件的关系和运算
含义
包含关系
一般地,若事件A发生,则事件B一定发
生，找们就称事件B包含事件A(或事件
A包含于事件B),记作BA(或AB)
相等关系
如果事件B包含事件A,事件A也包含
事件B,即BA且AB,则称事件A与
事件B相等,记作A=B
并事件
(和事件)
一般地,事件A与事件B至少有一个发
生,这样的一个事件中的样本点或者在
事件A中,或者在事件B中，我们称这个
事件为事件A与事件B的并事件(或和
事件)，记作AUB(或A+B)
交事件
(积事件)
一般地,事件A与事件B同时发生,这样
的一个事件中的样本点既在事件A中，
也在事件B中,我们称这样的一个事件
为事件A与事件B的交事件(或积事件)，
记作A∩B(或AB)
互斥事件
一股地，如果事件A与事件B不能同时
发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，
A∩B=,则称事件A与事件B互斥
(或互不相容）
对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何
次试验中有且仅有一个发生，即AUB=
,且A∩B=,那么称事件A与事件B
互为对立.事件A的对立事件记为
要点三、古典概率
概率的定义
对随机事件发生可能性大小的度重(数值)称为事件的概率,事件
A的概率用P（A）表示.
古典概型
（1）古典概型的定义
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(2)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型:
①样本点(基本事件)个数有限,但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限,但等可能;
③样本点(基本事件)个数无限,也不等可能.
古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间包含n个样本点,事件
A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
其中,n(A)和n(）分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
要点四、概率的基本性质
性质1
对任意的事件A,都有P（A)≥0
性质2
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P()=1,P()=0
性质3
互斥事件的概率加法公式:如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P（B)
性质4
对立事件的概率公式:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P（B)=1-P(A),P（A)=1-P(B)
性质5
概率的单调性:如果AB,那么P（A)≤P(B)
性质6
概率的计算公式:设A
,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).特别地,当A与B互斥，即A∩B=时.可得到性质3
【课堂探究】
例1.设
为两个随机事件，给出以下命题：（1）若
为互斥事件，且
，
，则
；（2）若
，
，
，则
为相互独立事件；（3）若
，
，
，则
为相互独立事件；（4）若
，
，
，则
为相互独立事件；（5）若
，
，
，则
为相互独立事件；其中正确命题的个数为（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
D
【解析】若
为互斥事件，且
，
则
，
故（1）正确；
若
则由相互独立事件乘法公式知
为相互独立事件，
故（2）正确；
若
，
则
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知
为相互独立事件，
故（3）正确；
若
，
当
为相互独立事件时，
故（4）错误；
若
则
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知
为相互独立事件，
故（5）正确.
故答案为：D.
【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1
，结合相互独立事件
的概率满足
，可判断（2）、（3）、（4）、（5
）的正误.
例2下列说法中，正确的是（??
）
A.?“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨
B.?“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上
C.?“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖
D.?在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天
【答案】D
【解析】解：A、“明天降雨的概率是80%”表示明天有降雨的可能性，故错误；
B、“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示抛一枚硬币正面朝上与反面朝上的机会是一样的，故错误；
C、“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误；
D、在同一年出生的367名学生，而一年中至多有366天，因而至少有两人的生日是同一天．
故选D．
【分析】本题解决的关键是理解概率只是反映事件发生机会的大小．根据概率的意义分析各个选项，找到正确选项即可．
【课后练习】
1.把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(???
)
A.?对立事件????????????????????B.?不可能事件????????????????????C.?互斥但不对立事件????????????????????D.?以上都不对
【答案】
C
【解析】黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，
但事件“甲分得红牌”不发生时，
事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，
∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，从而得出事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件。
2.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（
??）
A.?“至少有一个黑球”与“都是黑球”??????????????????B.?“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.?“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”????????D.?“至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】
C
【解析】解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，
在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，A不符合题意；
在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，B不符合题意；
在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，
但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C符合题意；
在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．
3.12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（???
）
A.?抽得3件正品???????????????????????????????????????????????????????B.?抽得至少有1件正品
C.?抽得至少有1件次品????????????????????????????????????????????D.?抽得3件正品或2件次品1件正品
【答案】
A
【解析】对于A
,
抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件;
对于B
,
抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,
对于C
,
抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,
对于D
,
抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件.
故答案为：A
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.
4.书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件
表示“两本都是《红楼梦》”；事件
表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件
表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（???
）
A.?
与
是互斥事件???????????????????????????????????????????B.?
与
是互斥事件
C.?
与
是对立事件????????????????????????????????????????????D.?
，
，
两两互斥
【答案】
B
【解析】由于事件
包含于事件
，
与
是既不是对立也不是互斥事件，
与
是互斥事件，
与
是互斥事件.所以A,C,D三个选项错误.
故答案为：B
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念，对
三个事件进行分析，由此确定正确选项.
5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，则乙不输的概率是（???
）
A.?0.8????????????????????????????????????????B.?0.7????????????????????????????????????????C.?0.3????????????????????????????????????????D.?0.2
【答案】
A
【解析】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
，甲获胜的概率是
，
∴乙不输的概率是：
．
故答案为：A．
【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解即可．
6.某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（???
）
A.?0.23??????????????????????????????????????B.?0.2??????????????????????????????????????C.?0.16??????????????????????????????????????D.?0.1
【答案】
A
【解析】
每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为
,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立，若
射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为0.1；若
射击2次就击落敌机，则他2次都击中利敌机的机首，概率为
；或者
第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为
,若
至多射击两次，则他能击落敌机的概率为
,
故答案为：A.
【分析】根据题意首先求得A射击一次就击落敌机的概率为0.1；A射击2次击落敌机，则他2次都击中利敌机的机首、或者A第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，再分别求得这2种情况的概率，最后把这3个概率相加，即得所求．
7.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(??
)
A.?A?D???????????????????????????B.?B∩D＝????????????????????????????C.?A∪C＝D???????????????????????????D.?A∪C＝B∪D
【答案】
D
【解析】解：事件C
“恰有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是第一枚击中第二枚没中，第二种是第一枚没中第二枚击中.
事件D“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中.
对于选项A，事件A包含在事件D中，故A正确.
对于选项B，由于事件B,D不能同时发生，故B∩D＝?正确.
对于选项C，由题意知正确.
对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.故D不正确.
故答案为：D.
【分析】理解互斥事件的概念，对“至少”的理解是解题的关键。
8.下列各组事件中，不是互斥事件的是(??
)
A.?一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6??????????B.?统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分
C.?播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒??????????D.?检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
【答案】
C
【解析】解：在选项C中，由于事件“发芽90粒”与事件“至少发芽80粒”能同时发生，故两事件不是互斥事件.
故答案为：C.
【分析】理解互斥事件的概念即不可能同时发生事件。
9.李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”?“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”?“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为
，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为
，有三个人休假的概率为
，所以两家店铺都不能正常营业的概率为
，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为
.
故答案为：D.
【分析】设两家店铺都不能正常营业为事件A，则应该包括四人休假或三人休假分别计算概率再求和，最后求事件A的对立事件的概率可得答案。
10.在体育选修课排球模块基本功
发球
测试中，计分规则如下
满分为10分
：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加
分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加
分，以此类推，
，连续七次发球成功加3分
假设某同学每次发球成功的概率为
，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(??
)
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率
；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率
，所求概率
；
故答案为：B.
【分析】根据二项分布的概率计算公式，求出四次发球成功，有两个连续得分的概率和四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类的概率，结合互斥事件的加法公式，即可求出相应的概率.