10.2事件的相互独立性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）

高中数学必修第二册第十章概率（人教A版2019）
10.2事件的相互独立性
【基础梳理】
要点一、事件的相互独立性
(1)定义:对任意两个事件A与B.如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)性质:如果事件A与事件B相互独立,那么A与,不与B,与B也相互独立
(3)"A与B相互独立"是“P(AB)=P(A)P(B)"的充要条件
(4)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们的概率之积”
要点二、相互独立事件与互斥事件的概率计算
已知两个事件A,B,它们的概率为P(A),P(B),将A,B中至少有一个发生记为事件AB,都发生记为事件AB,都不发生记为事件,恰有一个发生记为事件,至多有一个发生记为事件
概率
A,B互斥
A,B相互独立
P(A)+P(B)
1-P()P()
P(AB)
0
P(A)P(B)
P()
l-[P(A)+P(B)]
P()P()
P()
P(A)+P(B)
P(A)P()+P()P(B)
PABUABUAB)
1
1-P(A)P(B)
【课堂探究】
例1.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（??
）
A.?0.8??????????????????????????????????????B.?0.75??????????????????????????????????????C.?0.6??????????????????????????????????????D.?0.45
【答案】A
【解析】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．
例2设M，N为两个随机事件，给出以下命题：
（1.）若M、N为互斥事件，且
，
，则
；
（2.）若
，
，
，则M、N为相互独立事件；
（3.）若
，
，
，则M、N为相互独立事件；
（4.）若
，
，
，则M、N为相互独立事件；
（5.）若
，
，
，则M、N为相互独立事件；
其中正确命题的个数为（??
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
D
【解析】解：在（1）中，若M、N为互斥事件，且
，
，
则P（M∪N）=
=
，故（1）正确；
在（2）中，若
，
，
，
则由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（2）正确；
在（3）中，若
，
，
，
则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（3）正确；
在（4）中，若
，
，
，
当M、N为相互独立事件时，P（MN）=
，故（4）错误；
（5.）若
，
，
，
则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（5）正确．
故选：D．
【分析】在（1）中，P（M∪N）=
=
；在（2）中，由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（3）中，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（4）中，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=
；（5）由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件．
【课后练习】
1.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为
和
，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（??
）
A.?920?????????????????????????????????????B.?925?????????????????????????????????????C.?380?????????????????????????????????????D.?19400
【答案】
D
【解析】击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中，及甲前两次均未击中、乙第二次才击中，所以其概率为
，
故答案为：D.
【分析】利用独立事件求概率公式结合互斥事件求概率公式，从而结合已知条件求出按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率。
2.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为
和
，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】根据题意：
.
故答案为：A.
【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案.
3.甲射击一次命中目标的概率是
，乙射击一次命中目标的概率是
，丙射击一次命中目标的概率是
，现在三人同时射击目标一次，则目标被击中的概率为（???
）
A.?
????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】解：由于甲、乙、丙射击一次命中目标的概率分别为
，
，
，
三人同时射击目标一次，则目标不被击中的概率为：
，
由对立事件的概率公式，得到目标被击中的概率为：
.
故答案为：A.
【分析】根据题意由概率乘法公式代入数值计算出三人同时射击目标一次，则目标不被击中的概率，再由对立事件概率的定义即可求出结果。
4.某人通过普通话二级测试的概率是
，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】解：∵某人通过普通话二级测试的概率是
，他连线测试3次，
∴其中恰有1次通过的概率是：
p=
=
．
故答案为：A．
【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得出结果。
5.如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(???
)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】【分析】由独立事件同时发生的概率,得.选A。
6.袋中有大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球,
若摸到白球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为４的概率是（??）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】【分析】由于袋中有大小、形状相同的白、黑球各一个，那么每次摸到白球的概率为,摸到黑球的概率为，
那么三次摸球得分为4=2+1+1,说明了一次摸到白球，两次摸到黑球，则根据独立重复试验的概率公式可知,选C.
7.排球比赛的规则是2局3胜制（2局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为
，前2局中乙队以
领先，则最后乙队获胜的概率是（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为
最后
局均为甲队获胜，
由独立事件的概率公式可得
，
因此，则最后乙队获胜的概率是
.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为
最后
局均为甲队获胜，由独立事件的概率公式即可求得最后乙队获胜的概率。
8.在如图所示的电路图中，开关
闭合与断开的概率都是
，且是相互独立的，则灯灭的概率是(???
)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】由题意可得，要使灯泡甲亮，必须
闭合，
或
闭合，故灯亮的概率为
，则灯灭的概率是
，
故答案为：C.
【分析】根据相互独立事件概率的乘法公式，即可求出灯灭的概率.
9.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为
，则n的最小值为（??
）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
【答案】A
【解析】解：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，
事件“至少有一次正面向上”的概率为
，
∴p=1﹣（
）n
，
∴（
）n≤
．
∴n的最小值为4．
故选：A．
【分析】利用对立事件及n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式得到p=1﹣（
）n
，由此能求出n的最小值．
10.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为
，
，
，则此密码能译出的概率是（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【解析】解：∵甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为
，
，
，
∴此密码不能译出的概率（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）=
，
故此密码能译出的概率P=1﹣
=
，
故选：C
【分析】此密码能译出是此密码不能译出的对立事件，求出此密码不能译出的概率，利用对立事件的概率减法公式可得答案．