2020-2021学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册4.2指数函数（2课时） 教学设计

指数函数（两课时）单元教学设计
1.内容和内容解析
1.1内容
指数函数的概念
指数函数的图像与性质
本单元本单元需要2课时。第1课时，指数函数的概念；第2课时，指数函数的图像与性质．这样划分课时保证数学内容相对的完整性。
1.2内容解析
本单元是在函数概念和性质、幂函数、指数及其运算性质的基础上，进一步研究指数函数的概念、图像和性质。指数函数是基本初等函数之一，是函数内容中重要的组成部分；是对数函数、等比数列、概率统计、导数等高中数学内容学习的基础，其思想方法和其他内容有着紧密的联系。另外指数函数在解决实际问题中有广泛的应用。例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来刻画他们的变化规律。因此，指数函数在数学内外都有重要的作用。
指数函数是一类具体的函数，有了研究幂函数的经验，便可以按研究一个函数的基本方法去研究指数函数的内容。指数函数的概念体现了指数函数变量间对应关系的本质，图象和性质则是在概念基础上进一步研究其变化规律，应该从概念出发认识图象和性质，并结合图象和性质进
一
步理解概念．
首先来看指数函数的定义。指数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型。其概念的教学应该在函数概念的基础上重点揭示指数增长或衰减规律：自变量增加一个单位，即自变量从变到+1，相应的函数值之比是一个常数，这就是指数函数的本质特征。教学中要引导学生通过实例抽象出指数函数这一特征，从而形成指数函数的概念。
再来看指数函数图像与性质。一般地，函数y=(a>0,且a)叫做指数函数(其中指数x是自变量,定义域是R。指数函数图像与性质的学习应该在y=(a>0,且a)的基础上，选取底数a(a>0,且a)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图像，直观的观察图像的位置、公共点，变化趋势，从而得出他们图像的共同特征。由函数图像能够得出函数性质，由函数性质也可以确定函数的图像特征，在教学过程中应突出这种数形结合的思想，并通过函数解析式、图像、性质多元联系地认识指数函数的本质和函数模型的特征。
1.3教学重点
指数函数的概念、图象和性质
教学目标
2.1单元目标
（1）通过生活实例，抽象出指数函数模型，形成概念，了解指数函数的实际意义。
（2）能用描点法或借助信息技术画出具体指数函数的图象，从图像中发现共性，得出指数函数性质。
（3）通过对指数函数概念、图像和性质的研究，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升数学抽象、直观想象素养
。
2.2目标解析
能结合教科书中游客增长的问题1和碳14衰减的问题2，通过运算发现其中具体的增长或衰减的规律，并从中体会实际问题中变量间的关系。在了解指数函数的实际意义的基础上，知道指数函数的含义和表示，清楚指出函数的定义域和底数a的取值范围。
能根据函数解析式或利用计算工具计算出指数函数的两个变量之间的一些对应值并列表，然后画出指数函数的图像；结合大量具体指数函数的图像，归纳这些图像的共同特征，将总结的规律填入表格。
结合指数函数的教学，体会“概念一图象一性质
”的研究具体函数的一般思路；在有具体实例抽象为具体函数，再由具体函数概括为指数函数的过程中，提升数学抽象素养；在结合函数图像认识函数性质的过程中，体会数形结合的思想方法，提升直观想象的数学素养。
教学问题诊断分析
3.1问题诊断
（1）本单元中由具体实例抽象出指数函数的概念，不仅要能想到将问题1游客人次的变化用图像直观表示，还要能结合图像对已知数据进行运算后发现规律，并能根据问题1和问题2得到的两个解析式概括出统一的函数关系式y=(a>0,且a)。这些对学生的思维能力要求较高。将问题2中函数解析式写出y=,x教学中，当学生不能通过数据发现规律时，教师要引导学生根据已知数据作出图像进行观察，然后启发学生对已知数据进行计算，通过运算得到每年与上一年旅游人次的比例为常数，从而结合图像发现变化规律的本质。这里，进行哪些运算有助于规律的发现，是学生已有知识经验缺乏的，教师要注意引导。
（2）教学中还要引导学生利用信息技术，从指数幂的意义、函数的对应关系和图象出发，结合实例理解指数函数底数的取值范围，并在学习对数和对数函数后进一步理解．
（3）在指数函数性质的学习过程中，尽管学生已经历过幂函数性质的学习，但那是在给定的五个具体函数基础上进行不完整、不系统的归纳，而且幂函数性质不“规整”，典型性有所欠缺，难以完全指导其他基本初等函数的研究。指数函数性质的探索则需要学生自行选择具体的函数，必要时教师可引导学生利用信息技术进行探索，通过画出底数a取大量不同值时的图象，发现并归纳函数的单调性；在探索的基础上将大量所作的图象分为增长和衰减两类，利用信息技术分别研究两类指数函数的变化。
3.2教学难点
用“增长率＂刻画变化规律，以及指数函数单调性的抽象概括。
教学支持条件分析
在本单元的教学中，可以利用信息技术中的Excel、函数作图等软件工具进行计算、列表和作图，以便于多元联系地表示指数函数，帮助学生克服学习中可能遇到的困难，更好地理解指数函数的概念和性质．在指数函数概念的教学中，利用信息技术可以很方便地将问题l中表格的数据转化为图象，由图象直观地发现旅游入次的整体变化情况；然后利用信息技术对这些数据进行计算，通过计算揭示图象蕴含的变化规律的本质．在指数函数图象和性质的教学中，利用信息技术可以进行多种方式的研究，比如任意作出大量需要的函数图象，通过观察图象归纳出不同图象的共同特征，进而抽象出函数的性质；又如建立函数的图象和数表的联系，通过跟踪图象上的点，数形结合地发现函数的图象特征和性质．
5.课时教学设计（一）
指数函数的概念
5.1课时教学内容
（1）指数函数的概念。
（2）指数增长和指数衰减模型。
5.2课时教学目标
能通过运算体会指数函数的实际意义；能从两个实例中抽象出指数函数的概念；能结合具体例子说明指数函数底数范围的必要性。
能根据题目条件求出指数函数解析式；能运用指数函数模型解决实际问题。
5.3教学重点与难点
（1）教学重点：指数函数概念
（2）教学难点：用“增长率＂刻画变化规律；对指数函数底数范围的理解。
5.4教学过程设计
环节一、创设情境，提出问题
引导语：对于幂（a>0），我们已经把指数x的范围拓展到了实数.上一章学习了函数的概念和基本性质,通过对幂函数的研究,进一步了解了研究一类函数的过程和方法。下面继续研究其他类型的基本初等函数
．
问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式由于旅游人数的不断增加，A,
B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。下表是A,
B两地景区2001年至
2015
年的游客人次的逐年增加量．
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
追问1：能否作出A,B两地景区游客人次变化的图象，根据图象并结合年增加量，说明两地景区游客人次的变化情况？
师生活动：学生先独自绘制，再小组交流，教师再总结：可以发现，Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）。B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律
．
设计意图：通过作图，学生可以更好的发现数据变化规律。
追问2：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试
．
师生活动：学生先用计算器独自计算，再小组交流分享结果，教师再总结。教师要指出变化规律就是变化中不变的性质。师生共同得出结论：
从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
=
=
......
=
结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数。教师总结：做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。
设计意图：在探究B地景区游客量变化的规律中，学生体会到了指数增长的实质。为揭示指数函数的本质属性做准备。
追问3：按照此规律，1年后游客人数是2001年的多少倍呢？2年后呢？x年后呢？
师生活动：师生共同得出结论：
1年后，游客人数是2001年的倍。
2年后，游客人数是2001年的倍
......
x年后，游客人数是2001年的倍
追问4：如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍,那么y与x之间有着什么样的关系呢？y是x的函数吗？
师生活动：教师引导学生得出y=,(x
)因为对任意一个x
，y都有唯一一个值与之对应，因此y是x的函数。
设计意图：通过寻求
A,
B两地景区游客人次增加的规律，引出用函数刻画指数增长的问题，为抽象出指数函数作准备。
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“
半衰期”，按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
追问1：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么死亡1年后，生物体死亡一年后生物体碳14的含量为多少？死亡2年后呢？死亡5730年后？
师生活动：共同得出结论：
死亡1年后，生物体碳14的含量为：
死亡2年后，生物体碳14的含量为：
......
死亡5730年后，生物体碳14的含量为：
追问2：根据“经过5730年衰减为原来的一半”，你可以将衰减率p求解出来吗?死亡x年后，生物体碳14的含量为多少呢?
师生活动：学生自己先独自计算，师生共同得出结论：由=可得，p=1-。死亡x年后，生物体碳14的含量为：
追问3：死亡x年后，生物体碳14的含量为y，那么y与x之间有着什么样的关系呢？y是x的函数吗？
师生活动：师生共同得出y=x因为对任意一个x，y都有唯一一个值与之对应,因此y是x的函数。
生物体碳14的含量每年以1-的衰减率衰减。像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减
．
设计意图：通过描述碳14衰减的规律，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽象得到指数函数概念做准备，将函数解析式写出y=x
环节二、抽象指数函数概念
问题3这两个函数有什么共同特征吗？类比一次、二次、幂函数的定义，你能为指数函数下一个定义吗？
师生活动：学生思考，交流，老师总结。共同特征：都是幂的形式，底数为常数，指数为自变量，我们称这样的函数为指数函数。学生类比已学函数的定义经验，得出指数函数的粗略定义。
追问1形如y=成为指数函数，那么底数a有什么样的限制呢？a=1会出现什么情况？a<0呢？a=0呢？
师生活动：共同得出结论
a=1时，y=1，是一个常函数
a<0时，需要分类，无研究价值，例如
a=0时，当x为负数时无意义
因此：指数函数的定义为:函数y=(a>0,且a)叫做指数函数(其中指数x是自变量,定义域是R。
设计意图：通过分析比较两个实例，概括出他们的本质特征，从而得出指数函数的本质属性，形成指数函数概念。通过追问，学生使用更加严谨的数学语言描述指数函数定义。通过举反例，学生理解限制底数a>0,且a的必要性。
环节三、例题讲解
例1
f(x)=(a>0,且a),且f(3)=,求f(0),f(1),f(-3)的值。
师生活动：学生先独立思考作答，教师分析：要求f(0)、f(1)、f(-3)的值，应先求f(x)=的解析式。教师在黑板上规范解题步骤。
设计意图：通过求函数解析式，并根据解析式求不同的函数值，进一步加深对指数函数的理解。
练习1下列图象中，有可能表示指数函数的是（）
练习2已知函数y=f(x),x,且f(0)=3,=2,=2,.....=2,n
,求函数的一个解析式。
设计意图：利用函数的三种表示形式，从不同角度推动学生对指数函数概念的理解，进
一
步明确概念，学会表示指数函数
，体会指数增长或衰减．
例2(1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为
150元，比较这15年间
A,B两地旅游收入变化情况
．
（2）在问题2中，某生物死亡后，过了10000年，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
师生活动：学生先自己独立写出函数解析式，教师再引导学生用计算工具进行相应的计算。体会指数增长和指数衰减这两个模型。教师指出：在实际问题中，经常会遇到类似于例２（１）的指数增长模型:设原有量为N,每次的增长率为p，
经过x次增长,该量增长到y，则(x)。形如y=(k)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型
设计意图：在引入概念的两个实例基础上，利用指数函数概念进一步解决与两个实例有关的问题，从而巩固对概念的理解，体会指数函数爆炸式增长，为后面函数的应用做准备。
练习3在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.
25％的增长率呈指数增长，那么经过
30天，
该湖泊
的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）。
设计意图：熟悉不同的指数增长的函数模型，并利用指数函数的概念解决实际问题，进一步巩固对概念的理解。检验学生能否会用指数函数模型解决实际问题。
6.课时教学设计（二）
指数函数的图像与性质
6.1课时教学内容
指数函数的图像与性质
6.2课时教学目标
会用描点法画出指数函数图像；能根据大量底数不同的指数函数图像发现共性；能将发现的共同特征抽象为指数函数的性质；能发现底数互为倒数的指数函数图像的位置关系并能够用数学语言解释这一关系。
能用指数函数的单调性比较两值大小；能用指数函数的性质解决实际问题。
6.3教学重点与难点
教学重点
指数函数的图像与性质
教学难点
对底数a分类研究；指数函数性质的发现与抽象
6.4教学过程设计
环节一、复习旧知，建立先行组织者
引导语：对于具体的函数，我们一般按照”概念一图象一性质”的过程进行研究．前面我们学习了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，回顾以往的研究经验，你能说说我们要研究哪些内容？研究方法是什么
？
师生活动：学生先独立思考，再小组交流。教师引导学生结合幂函数的学习，提出研究指数函数的图像和性质的内容和方法，教师总结：接下来要研究指数函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。通过数形结合的方法发现指数函数的性质。
设计意图：通过回顾以往研究函数图象和性质的内容和方法，提出研究指数函数的图象和性质的研究内容和研究方法，为接下来的学习建立先行组织者。教师用一般观念（研究具体函数的一般思路）引导学生探究，有益于增强学生学习的自主性。
环节二、观察图像，概括性质
问题4：先从简单的函数开始y=．请同学们完成x、y的对应值表，并用描点法画出函数的y=图象，你能说说这个函数有哪些特点吗？
x
y
-2
-1.5
0.35
-1
-0.5
0.71
0
0.5
1.41
1
1.5
2.83
2
师生活动：学生在描点画图列函数对应值表的过程中，可以使用计算工具，教师利用信息技术给出标准图像，以便学生更好的从图像中发现规律。
设计意图：学生自己绘图不仅可以加强学生的动手能力，而且还可以对指数函数图像特征有更深刻的印象。
问题5：列表描点画出函数的图象y=，并与函数y=的图象进行比较，它们有什么关系
？能否利用函数的y=图象，画出函数y=的图象。
师生活动：学生先通过描点法独立画出y=的图像，教师再通过信息技术在同一坐标系中画出y=和y=的标准图像。学生观察图像，交流自己的发现。教师要指出底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称。
问题6：选取底数a(a>0,且a)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象。观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性
？
师生活动：选取底数a(a>0,且a)的若干个不同的值，教师通过信息技术，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象。学生通过图像，交流自己的发现。
追问1：所画的函数图像可以分为哪几类？分类标准是什么？
师生活动：引导学生根据底数的取值范围对所画图像进行分类讨论，分别发现它们的共同特征。
追问2：当a>l时，指数函数y=的图象位置、公共点、变化趋势、定义域、值域和单调性如何？当00a>1
图像
定义域
值域
特殊点
单调性
师生活动：教师提出问题，引导学生根据图象进行探索、思考，逐步抽象出指数函数的图象特征和性质师生共同总结：当a>l时，指数函数y=的图象在x轴的上方，公共点为（0,1），随着底数的增大，函数图像越靠近y轴，定义域是整个实数集，值域是（0，），单调递增。类比a>l的情况，学生自己总结当O设计意图：通过数形结合的方式，学生从大量实例中抽象出指数增长和指数衰减两类指数函数的图像以及共同特征。
追问3：比较a>l与O师生活动：教师引导学生通过图像和表格太讨论两者的区别与联系。区别：图像、单调性不同。联系：定义域、值域、特殊点相同，图像关于y轴对称
设计意图：通过归纳与对比，让学生的知识结构更加的巩固，易迁移。
环节三、例题讲解，巩固新知
例3比较下列各题中两个值的大小：
(1),
(2),
(3),
师生活动：对于（1）（2），要比较的值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性来进行比较；对于（3），不能看作某一个指数函数的两个函数值，可以利用函数y=和y=的单调性和当x=0时，y=1这两条性质来进行比较。
设计意图：通过例3，学生可以体会到利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值得大小关系。
练习4比较下列各题中两个值的大小：
(1),
(2),
(3),
设计意图：通过对例3的变式，再一次巩固学生对两类指数函数单调性的理解。
例4如图，某城市人口呈指数增长．
(1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
(2)该城市人口从80万开始，经过20年，人口会增长到多少？
师生活动：因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期．
要计算20年后的人口数，关键是要找
到20年与倍增期的数量关系，由千倍增期是20年，因此容易得到“从80万人开始，20年后人口大约会增长到160万人”。
设计意图：通过应用函数图像解决问题，进一步认识指数函数图像，并由图像理解指数函数本质属性和性质。
练习5
在同一平面直角坐标系中画出y与y函数的图象，并说明它们的关系．
设计意图：通过绘制底数互为倒数的指数函数图像，可以让学生直观的感受两类指数函数的性质及其位置关系。
练习6
体内癌细胞初期增加很缓慢，但到了晚期就急剧增加试画出能大致反映体内癌细胞数量随时间变化的草图。
环节四、单元小结、形成结构
教师引导学生回顾本单元学习的主要内容，并回答下列问题：
(1)写出一个指数函数的解析式，说明底数、增长比例和初始量的值，画出该函数的草图，并说明其单调性
．
(2)通过本单元的学习，你对研究函数的内容和方法有什么更进一步的认识？对比以前学习过的一些具体函数，你能建立指数函数和它们的联系吗？请你结合下表谈谈体会。
指数函数
一次函数
二次函数
反比例函数
幂函数
解析式
定义域
值域
图像
性质