课时作业22 方程的根与函数的零点
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．函数f(x)＝x－的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：方程x－＝0有两根2，－2，
∴函数f(x)＝x－有两个零点．故选C.
答案：C
2．若二次函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则a、b的值分别是( )
A．5,6 B．－5,6
C．6,5 D．6，－5
解析：由题意可知2和3是方程x2＋ax＋b＝0的两根．
答案：B
3．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则( )
A．f(0)>0，f(2)<0
B．f(0)·f(2)<0
C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0
D．以上说法都不正确
解析：函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在着零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)<0，故A、B、C都是错误的，正确的为D.
答案：D
4．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( )
A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
解析：在D中， f(1)·f(2)＝(e－3)·e2<0.
答案：D
5．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：设f(x)＝x3－()x－2，则f(0)＝03－()－2＝
－4<0，f(1)＝13－()－1＝1－2＝－1<0，f(2)＝23－()0＝7>0，f(3)＝33－＝>0，f(4)＝43－()2＝>0，利用零点存在性定理知，存在着x0∈(1,2)，满足f(x0)＝0，即x＝()x0－2.
答案：B
6．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( )
A．a<－1 B．a>1
C．－1
解析：设f(x)＝2ax2－x－1，由题意知此函数为二次函数，其图象为抛物线，此抛物线与x轴有一个交点，且这个交点在(0,1)内，故f(0)f(1)<0，即－(2a－2)<0，
∴a>1.
答案：B
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．已知函数f(x)的图象连续不间断，有如下的x，f(x)对应值表：
X 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064
函数f(x)含有零点的区间为________．
解析：利用函数y＝f(x)零点存在性的判定定理，结合列表可知，存在零点的区间为(2,3)，(3,4)，(4,5)．
答案：(2,3)，(3,4)，(4,5)
8．已知方程2x2＋(m＋1)x＋m＝0有一正根一负根，则实数m的取值范围是________．
解析：m应满足解得m<0.
答案：m<0
9．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.
图1
答案：(1，＋∞)
三、解答题(共计40分)
10．(10分)求证：方程3x＝在(0,1)内必有一个实数根．
证明：设函数f(x)＝3x－.由函数的单调性定义，可以证出函数f(x)在(－1,2)上是增函数．
而f(0)＝30－2＝－1<0，f(1)＝31－＝>0，
即f(0)·f(1)<0，说明函数f(x)在区间(0,1)内有零点，且只有一个．
所以方程3x＝在(0,1)内必有一个实数根．
11．(15分)求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0满足：
(1)有两个负根；
(2)有两个实根，且都比1大．
解：(1)设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴有两个交点且均在y轴左侧 ，结合图象可知，有解得－1(2)设f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴有两个交点，且均在1的右侧，结合函数的图象可知，有解得m∈ .
12．(15分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)设x1，x2∈R，x1解：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.
又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.
又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根，所以f(x)必有两个零点．
(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]
＝[f(x1)－f(x2)]，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x2)－f(x1)]．
∵g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2，且f(x1)≠f(x2)，
∴g(x1)g(x2)<0.
所以g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根，
即方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]必有一实根属于区间(x1，x2)．单元综合测试四(必修1综合检测一)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
解析：∵A∩B＝{1,2}，∴(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}．
答案：D
图1
2．如图1所示，U表示全集，用A，B表示阴影部分正确的是( )
A．A∪B
B．( UA)∪( UB)
C．A∩B
D．( UA)∩( UB)
解析：由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为( UA)∩( UB)．
答案：D
3．若f(x)＝1－2x，g(f(x))＝(x≠0)，则g的值为( )
A．1 B．3
C．15 D．30
解析：g(1－2x)＝，令＝1－2x，则x＝，∴g＝＝15，故选C.
答案：C
4．设函数f(x)＝则使得f(－1)＋f(m－1)＝1成立的m的值为( )
A．10 B．0，－2
C．0，－2,10 D．1，－1,11
解析：因为x<1时，f(x)＝(x＋1)2，所以f(－1)＝0.当m－1<1，即m<2时，f(m－1)＝m2＝1，m＝±1.当m－1≥1，即m≥2时，f(m－1)＝4－＝1，所以m＝11.
答案：D
5．若x＝6是不等式loga(x2－2x－15)>loga(x＋13)的一个解，则该不等式的解集为( )
A．(－4,7) B．(5,7)
C．(－4，－3)∪(5,7) D．(－∞，－4)∪(5，＋∞)
解析：将x＝6代入不等式，得loga9>loga19，所以a∈(0,1)．则解得x∈(－4，－3)∪(5,7)．
答案：C
6．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最大值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
解析：2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2x＋1>0，
∴在(－∞，＋∞)上递减且无最小值．
答案：A
7．方程()x＝|log3x|的解的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：
图2
在平面坐标系中，画出函数y1＝()x和y2＝|log3x|的图象，如图2所示，可知方程有两个解．
答案：C
8．下列各式中，正确的是( )
解析：函数y＝在(－∞，0)上是减函数，而－<－，∴ eq (－)\s\up10(\f(2,3)) > eq (－)\s\up10(\f(2,3)) ，故A错；
函数y＝在(－∞，＋∞)上是增函数，而－>－，∴ eq (－)\s\up10(\f(1,3)) > eq (－)\s\up10(\f(1,3)) ，故B错，同理D错．
答案：C
9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H1→H2→H3这个食物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为( )
A．105 kJ B．104 kJ
C．103 kJ D．102 kJ
解析：H12＝10，∴H1＝103.
答案：C
10．如图3所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是如下图所示的( )
图3
解析：当h＝时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，故排除A，B，D.
答案：C
11．函数f(x)在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f(1－m)＋f(－m)<0，则m的取值范围是( )
A．(0，) B．(－1,1)
C．(－1，) D．(－1,0)∪(1，)
解析：f(1－m)<－f(－m)，
∵f(x)在(－1,1)上是奇函数，∴f(1－m)1－m>m>－1，
解得0答案：A
12．(2009·山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(2009)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由题意可得：x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，从而f(x－1)＝f(x－2)－f(x－3)．
两式相加得f(x)＝－f(x－3)，f(x－6)＝f[(x－3)－3]＝－f(x－3)＝f(x)，
∴f(2009)＝f(2003)＝f(1997)＝…＝f(5)＝f(－1)＝log22＝1.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.的值是________．
解析：＝＝.
答案：
14．若函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为__________．
解析：kx2＋4kx＋3恒不为零．若k＝0，符合题意，k≠0，Δ<0，也符合题意．所以0≤k<.
答案：
15．已知全集U＝{x|x∈R}，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k解析： UA＝{x|1∴k＋1≤1或k≥3，
∴k≤0或k≥3.
答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)
16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y(只)与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为________．
解析：当x＝1时，y＝alog22＝a＝100，∴y＝100log2(x＋1)，
∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年，
∴y＝100log2(31＋1)＝500，
∴2016年麋鹿的只数约为500.
答案：500
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，其中x∈R，如果A∩B＝B，求实数a的取值范围．
解：A＝{0，－4}，又A∩B＝B，∵B A.
∴B＝ 或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．
(1)若B＝ ，则x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的Δ<0，于是：4[(a＋1)2－(a2－1)]<0，∴a<－1.
(2)若B＝{0}，则解之得a＝－1.
(3)若B＝{－4}时，则
解之得a∈ .
(4)若B＝{0，－4}，则解之得a＝1.
综上所述：a≤－1或a＝1.
18．(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵f(x)的两个零点分别是－3和2.
∴函数图象过点(－3,0)，(2,0)，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0②
①－②得b＝a＋8③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，
即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3(x＋)2＋＋18，图象的对称轴方程是x＝－，且0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，
∴函数f(x)的值域是[12,18]．
19．(12分)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，－∞)上是单调增函数．
(1)求证：函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数；
(2)若f(1)解：(1)证明：设x1－x2≥0，
因为f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，
∴f(－x1)>f(－x2)，
又因为f(x)是偶函数，
所以f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，
f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数．
(2)当0由f(1)∴－1>lgx,0当x≥1时，lgx≥0，
由f(1)∴lgx>1，x>10，
综上所述，x的取值范围是∪(10，＋∞)．
20．(12分)已知函数y＝g(x)与f(x)＝loga(x＋1)(a>1)的图象关于原点对称．
(1)写出y＝g(x)的解析式；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋g(x)＋m为奇函数，试确定实数m的值；
(3)当x∈[0,1)时，总有f(x)＋g(x)≥n成立，求实数n的取值范围．
解：(1)设M(x，y)是函数y＝g(x)图象上任意一点，则M(x，y)关于原点的对称点为N(－x，－y)，
N在函数f(x)＝loga(x＋1)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)，
∴y＝－loga(1－x)．
(2)∵F(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)＋m为奇函数．
∴F(－x)＝－F(x)
∴loga(1－x)－loga(1＋x)＋m
＝－loga(1＋x)＋loga(1－x)－m
∴2m＝loga＋loga＝loga1＝0，
∴m＝0.
(3)由f(x)＋g(x)≥n得，loga≥n，
设Q(x)＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要Q(x)min≥n即可，
∵Q(x)＝loga(－1＋)在[0,1)上是增函数，
∴Q(x)min＝Q(0)＝0.即n≤0即为所求．
21．(12分)某DVD光盘销售部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，每张DVD光盘的进价是6元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价(元) 7 8 9 10 11 12 13
日均销售量(张) 480 440 400 360 320 280 240
(1)请根据以上数据作出分析，写出日均销售量P(x)(张)关于销售单价x(元)的函数关系式，并写出其定义域；
(2)问这个销售部销售的DVD光盘销售单价定为多少时才能使日均销售利润最大？最大销售利润是多少？
解：(1)根据图表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40张，
∴P(x)＝480－40(x－7)＝－40x＋760，
由x>0且－40x＋760>0，得0∴P(x)关于x的函数关系式为
P(x)＝－40x＋760(0(2)设日均销售利润为y元，于是可得
y＝(－40x＋760)(x－6)－300
＝－40x2＋1000x－4860
＝－40(x－)2＋1390，
当x＝12.5时，y有最大值，最大值为1390.
答：只需将销售单价定为12.5元，就可使日均销售利润最大，最大为1390元．
22．(12分)已知函数f(x)＝lg(4－k·2x)(其中k为实数)，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若f(x)在(－∞，2]上有意义，试求实数k的取值范围．
解：(1)由题意可知：4－k·2x>0，即解不等式：k·2x<4，
①当k≤0时，不等式的解为R，
②当k>0时，不等式的解为x当k>0时，f(x)的定义域为(－∞，log2)．
(2)由题意可知：对任意x∈(－∞，2]，不等式4－k·2x>0恒成立．得k<，设u＝，
又x∈(－∞，2]，u＝的最小值1.所以符合题意的实数k的范围是(－∞，1)．单元综合测试三(第三章)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：∵Δ＝b2＋4×2×3＝b2＋24>0，
∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．
答案：C
2．函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1,0) B．－1
C．1 D．0
解析：令1＋＝0，得x＝－1，即为函数零点．
答案：B
3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是( )
解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．
答案：C
4．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．无法判断 D．等于零
解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．
答案：C
5．函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是( )
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
解析：f()＝－2<0， f(1)＝e－1>0，∵f()·f(1)<0，∴f(x)的零点在区间(，1)内．
答案：B
6．方程logx＝2x－1的实根个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无穷多个
解析：方程logx＝2x－1的实根个数只有一个，可以画出f(x)＝logx及g(x)＝2x－1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.
答案：B
7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于( )
A．55台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：设产量为x台，利润为S万元，则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)
＝－0.1x2＋36x－3000
＝－0.1(x－180)2＋240，则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．
答案：D
8．已知α是函数f(x)的一个零点，且x1<αA．f(x1)f(x2)>0 B．f(x1)f(x2)<0
C．f(x1)f(x2)≥0 D．以上答案都不对
解析：定理的逆定理不成立，故f(x1)f(x2)的值不确定．
答案：D
9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )
A．10吨 B．13吨
C．11吨 D．9吨
解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.
则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，
∴x＝9.
答案：D
10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为( )
答案：A
11．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则( )
A．k＝0 B．k>1
C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0
解析：令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.
答案：D
12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …
y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 …
那么方程2x＝x2的一个根所在区间为( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
解析：设f(x)＝2x－x2，由表格观察出x＝1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0；
在x＝2.2时，2x综上知f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内．
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是__________．
解析：设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．
答案：(2,3)
14．已知函数f(x)＝ax2－bx＋1的零点为－，，则a＝__________，b＝__________.
解析：由韦达定理得－＋＝，且－×＝.解得a＝－6，b＝1.
答案：－6 1
图1
15．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l，则这块场地面积y与场地一边长x的关系为________．
解析：由题意知场地的另一边长为l－2x，
则y＝x(l－2x)，且l－2x>0，即0答案：y＝x(l－2x)(016．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
解析：设过滤n次才能达到市场要求，则2%(1－)n≤0.1%
即()n≤，∴nlg≤－1－lg2，
∴n≥7.39，∴n＝8.
答案：8
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
解：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意知：c＝3，－＝2.
设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则x＋x＝10，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(－)2－＝10，∴16－＝10，
∴a＝1.代入－＝2中，得b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋3.
18．(12分)求方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解(精确度0.1)．
解：令f(x)＝x2＋2x－5(x>0)．
∵f(1)＝－2，f(2)＝3，
∴函数f(x)的正零点在区间(1,2)内．
取(1,2)中点x1＝1.5，f(1.5)>0.取(1,1.5)中点x2＝1.25，f(1.25)<0.
取(1.25,1.5)中点x3＝1.375，f(1.375)<0.
取(1.375,1.5)中点x4＝1.4375，f(1.4375)<0.取(1.4375,1.5)．
∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，
∴方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解为x＝1.5(或1.4375)．
19．(12分)要挖一个面积为800 m2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．
解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为m，于是鱼池与路的占地面积为
y＝(x＋2)(＋4)＝808＋4x＋＝808＋4(x＋)＝808＋4[(－)2＋40]．
当＝，即x＝20时，y取最小值为968 m2.
答：鱼池与路的占地最小面积是968 m2.
20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P和Q(万元)，这两项利润与投入的资金x(万元)的关系是P＝，Q＝，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x万元，获得总利润y(万元)，写出y关于x的函数关系式及其定义域．
解：投入养殖加工生产业为60－x万元．由题意可得，y＝P＋Q＝＋，
由60－x≥0得x≤60，∴0≤x≤60，即函数的定义域是[0,60]．
21．(12分)已知某种产品的数量x(百件)与其成本y(千元)之间的函数关系可以近似用y＝ax2＋bx＋c表示，其中a，b，c为待定常数，今有实际统计数据如下表：
产品数量x(百件) 6 10 20
成本合计y(千元) 104 160 370
(1)试确定成本函数y＝f(x)；
(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p＝p(x)；
(3)据利润函数p＝p(x)确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)
解：(1)将表格中相关数据代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得a＝，b＝6，c＝50.所以y＝f(x)＝x2＋6x＋50(x≥0)．
(2)p＝p(x)＝－x2＋14x－50(x≥0)．
(3)令p(x)＝0，即－x2＋14x－50＝0，
解得x＝14±4，即x1＝4.2，x2＝23.8，
故4.20；x<4.2或x>23.8时，p(x)<0，
所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈；
当产品数量为2380件时由盈变亏．
22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．
(3)2006年(即x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？
解：(1)散点图如图2：
图2
(2)设f(x)＝ax＋b.由已知得，
解得a＝，b＝，
∴f(x)＝x＋.
检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1；
f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴模型f(x)＝x＋能基本反映产量变化．
(3)f(7)＝×7＋＝13，
由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．课时作业25 函数模型的应用举例
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：四种函数模型中只有对数型函数具有初期利润增长迅速，后越来越慢．
答案：D
2．一个湖泊的水量从某年开始每年减少3%，则能反映该湖泊的水量y与公元年数x的函数关系式的是( )
A．y＝0.97x B．y＝a0.97x
C．y＝a0.97(x－b) D．y＝a·0.97x＋b
解析：由于x为公元年数，故指数应为x与开始减少的第一年的公元年数差．
答案：C
3．某新型电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售800台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：代入验算．
答案：C
4．规定从甲地到乙地的通话x min的电话费f(x)＝1.06×(0.50×[x]＋1)，(其中x>0，[x]是大于x的最小整数)，则从甲地到乙地通话5.5 min的电话费为( )
A．3.71 B．3.97
C．4.24 D．4.77
解析：当x＝5.5时，y＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)
＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
答案：C
5．北京电视台每星期六播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小蜥蜴体长15 cm，体重15 g，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm时，它的体重大约是( )
A．20 g B．25 g
C．35 g D．40 g
解析：假设小蜥蜴从15 cm长到20 cm，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为l的蜥蜴的体重为W1，因此有W20＝W15·＝35.5(g)，合理的答案为35 g．故选C.
答案：C
6．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用s1、s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是( )
解析：A表示同时到达；C表示没有追赶；D表示兔子先到终点，正确答案是B.
答案：B
二、填空题(每小题8分，共计24分)
图1
7．有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的矩形，如图1所示，则围成的矩形最大面积为________m2(围墙厚度不计)．
解析：设矩形宽为x m，则矩形长为(200－4x)m，则矩形面积S＝x(200－4x)
＝－4(x－25)2＋2500(0∴x＝25时，Smax＝2500 m2.
答案：2500
8．某邮局现只有面值为0.6元，0.8元，1.1元的三种邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且资费恰为7.50元，则至少要购买__________张邮票．
解析：尽量多选1.1元的邮票，若粘贴1.1元的邮票6张，邮资还差7.5－6×1.1＝0.9元，还需0.6元、0.8元邮票各1张．这样情况共需8张，但这种情况总邮资超过了7.5元，所以不适合；若粘贴1.1元邮票5张，邮资还差7.5－5×1.1＝2元，恰好还需0.6元邮票2张，0.8元邮票1张，共8张．适合题意．
答案：8
9．水滴进玻璃容器，如图2所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时间变化的，请填上匹配的图象与容器．
图2
A—( ) B—( ) C—( ) D—( )
解析：图A和B的水面上升速度是匀速的，且A上升得快，因此A—(3)，B—(2)，图C的水面开始是缓慢上升，后来上升得快，而图D的水面是开始上升得快，中间较缓慢，后来加快，因此C—(4)，D—(1)．
答案：(3) (2) (4) (1)
三、解答题(共计40分)
10．(10分)某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所获利润为P＝－(x－40)2＋10(万元)．为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通，公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润Q＝－(60－x)2＋·(60－x)(万元)．
问：从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？
解：若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元专款中拿出40万元投资，可获最大利润10万元．这样10年总利润最大值为W＝10×10＝100(万元)．
若对该产品开发，则前5年中，
当x＝30时，Pmax＝，
前5年总利润为W1＝×5＝(万元)；
设后5年中，x万元用于本地销售投资，(60－x)万元用于异地销售投资，则总利润
W2＝[－(x－40)2＋10]×5＋(－x2＋x)×5
＝－5(x－30)2＋4500.
当x＝30时，(W2)max＝4500(万元)．
∴10年总利润最大值为＋4500(万元)．
因＋4500>100，故该项目具有极大的开发价值．
11．(15分)某项科学技术参数t的可信与否，由a的值来确定，a∈[，1)时t是可信的；否则t是不可信的．经过大量的实验得知，对于函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)，f(x)≤－1在(－∞，＋∞)上总有解．试问t可信吗？
解：首先a>0且a≠1.因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，f(x)＝loga(x2－2x＋3)≤－1，所以012．(15分)某集团公司在2007年投入巨资分三期兴建垃圾资源处理厂，具体情况如下表：
一期2007年投入1亿元 兴建垃圾堆肥厂 年处理有机肥十多万吨 年综合收益2千万元
二期2009年投入4亿元 兴建垃圾焚烧发电一厂 年发电量1.3亿kw 年综合收益4千万元
三期2011年投入2亿元 兴建垃圾焚烧发电二厂 年发电量1.3亿kw 年综合收益4千万元
如果每期的投资从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2007年以后的n年(2008年为第1年)的总收益为f(n)(单位：千万元)，试求f(n)的表达式，并预测哪一年能收回全部投资款．
解：由表中的数据知本题需用分段函数进行处理，由表中的数据得：
f(n)＝
显然，当n≤4时，不能收回投资款；当n≥5时，由f(n)＝10n－24>70，
得n>9.4，可取n＝10，所以到2017年底可以全部收回投资款．单元综合测试五(必修1综合检测二)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．(2009·全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合 U(A∩B)中的元素共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解析：U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴ U(A∩B)＝{3,5,8}，有3个元素，故选A.
答案：A
2．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝log2x
解析：A为偶函数，C、D均为非奇非偶函数．
答案：B
3．函数y＝＋log2(x＋3)的定义域是( )
A．R B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－3,0)∪(0，＋∞)
解析：要使函数有意义，自变量x的取值须满足
，解得x>－3且x≠0.
答案：D
4．函数y＝()x的反函数的图象为( )
答案：D
5．已知f(x3－1)＝x＋1，则f(7)的值为( )
A.－1 B.＋1 C．3 D．2
解析：令x3－1＝7，得x＝2，∴f(7)＝3.
答案：C
6．已知log23＝a，log25＝b，则log2等于( )
A．a2－b B．2a－b
C. D.
解析：log2＝log29－log25＝2log23－log25＝2a－b.
答案：B
7．函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的值域是( )
A．[0,12] B．[－，12]
C．[－，12] D．[，12]
解析：画出函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的图象，由图象得值域是[－，12]．
答案：B
8．下列四个图象中，表示函数f(x)＝x－的图象的是( )
解析：函数y＝x，y＝－在(0，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上为增函数，故满足条件的图象为A.
答案：A
9．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上( )
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有无数个零点
解析：∵y＝－x2＋8x－16＝－(x－4)2，∴函数在[3,5]上只有一个零点4.
答案：B
10．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是( )
A．x>1 B．x<1
C．0解析：由题目的条件可得，解得1答案：D
11．若函数f(x)＝loga|x－2|(a>0，且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上( )
A．是增函数且有最大值
B．是增函数且无最大值
C．是减函数且有最小值
D．是减函数且无最小值
解析：在区间(1,2)上函数y＝loga|x－2|＝loga(2－x)是增函数，因此0答案：D
12．为了进一步保障手机消费者权益，某市工商行政管理部门于2006年3月15日起对《移动电话买卖合同》规范文本作出了调整．
新合同条款规定：对符合换货条件但消费者要求退货的情况，按照移动电话“三包”规定，消费者应按照“移动电话价款×0.25%×购买天数”来支付折旧费，而原先的合同则规定“折旧费＝移动电话价款×0.5%×购买天数”．
据以上合同条款内容的修改，以下说法不正确的是( )
A．若按新合同条款计算，一位消费者购买一台价格为2200元的手机150天时合理要求退货，他需要为此支付825元折旧费
B．实行新合同条款之后，在相同的条件下消费者需要支付的移动电话折旧费减少为原来的一半
C．若按原合同条款计算，当购买天数超过200天后，退货就失去了意义
D．新合同实施后，消费者购买的手机价格越低，在退货时对消费者越有利
解析：由题意，只有D是不正确的，因为折旧费由三个因素构成，即手机价格，折旧率以及购买天数，单纯强调任何一个因素都是片面的，因此D不正确．
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知集合A＝{x|x<－1或2≤x<3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A∪B＝__________.
答案：{x|x<4}
14．函数y＝的定义域为__________．
解析：根据对数函数的性质可得log2(3－4x)≥0＝log21，解得3－4x≥1，得x≤，所以定义域为(－∞，]．
答案：(－∞，]
15．据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域S(km2)与时间t(年)可近似看作指数函数关系，已知近两年污染区域由0.16 km2降至0.04 km2，则污染区域降至0.01 km2还需要__________年．
解析：设S＝at，则由题意可得a2＝，从而a＝，于是S＝()t，设从0.04 km2降至0.01 km2还需要t年，则()t＝，即t＝2.
答案：2
16．我们将一系列值域相同的函数称为“同值函数”，已知f(x)＝x2－2x＋2，x∈[－1,2]，试写出f(x)的一个“同值函数”(除一次函数、二次函数外)__________．
解析：函数f(x)＝x2－2x＋2在[－1,2]上的值域为[1,5]，从而可以构造一个值域为[1,5]的函数，这样的函数可以有很多．
答案：y＝log2x，x∈[2,32](不唯一)
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x－a<0}，
(1)当a＝3时，求A∩B；
(2)若A B，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝3时，B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}，则有A∩B＝{x|1≤x<3}．
(2)B＝{x|x－a<0}＝{x|x当A B时，有a≥4，即实数a的取值范围是[4，＋∞)．
18．(12分)(1)计算： eq (2)\s\up5(\f(1,2)) ＋(lg5)0＋ eq ()\s\up5(-\f(1,3)) ；
(2)解方程：log3(6x－9)＝3.
解：(1)原式＝ eq ()\s\up5(\f(1,2)) ＋(lg5)0＋[()3]－＝＋1＋＝4.
(2)由方程log3(6x－9)＝3得6x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，∴x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解．
19．(12分)判断函数f(x)＝＋x3＋的奇偶性．
解：由ax－1≠0，得x≠0，
∴函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝＋(－x)3＋＝－x3＋
＝－x3＋＝－－x3－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
20．(12分)某市出租车的收费标准是：3 km起价5元(乘一次车的最少车费)；行驶3 km后，每千米车费1.2元；行驶10 km后，每千米车费再加收50%的空驶费(即每千米车费1.8元)．
(1)写出车费与路程的关系式．
(2)一顾客行程30 km，为了省钱，他设计了两种乘车方案；
a．分两段乘车：乘一车行15 km，换乘另一车再行15 km；
b．分3段乘车：每行10 km，换乘一次车．
问：哪一种方案更省钱？
解：(1)由题设易求车费f(x)和路程x的函数关系式为
f(x)＝
即f(x)＝.
(2)30 km不换乘车的车费为1.8×30－4.6＝49.40元．
方案a.：行两个15 km的车费为2(1.8×15－4.6)＝44.80元；
方案b.：行三个10 km的车费为3(1.2×10＋1.4)＝40.20元．
可见方案a和方案b都比不换乘车省钱，方案b比方案a更省钱．
21．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
解：若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1,1]上没有零点，所以a≠0.
令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，
解得a＝；
①当a＝时，y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；
②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)<0，即1当a＝1时，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一个零点；
③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则有：
；或；
解得：a≥5或a<；综上所述：实数a的取值范围是：a≥1或a≤.
22．(12分)已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝1，
(1)求f(x)，g(x)；
(2)判断函数h(x)＝f(x)＋g(x)的奇偶性；
(3)证明函数S(x)＝xf(x)＋g()在(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)设f(x)＝k1x(k1≠0)，g(x)＝(k2≠0)．
∵f(1)＝1，g(1)＝1，∴k1＝1，k2＝1.∴f(x)＝x，g(x)＝.
(2)由(1)得h(x)＝x＋，则函数h(x)的定义域是
(－∞，0)∪(0，＋∞)，
h(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数．
(3)证明：由(1)得S(x)＝x2＋2.设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则S(x1)－S(x2)＝(x＋2)－(x＋2)＝x－x＝(x1－x2)(x1＋x2)．
∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x10.
∴S(x1)－S(x2)<0.∴S(x1)∴函数S(x)＝xf(x)＋g()在(0，＋∞)上是增函数．课时作业23 用二分法求方程的近似解
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．已知函数f(x)的图象如图1，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
答案：D 图1
2．设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0属于区间( )
A．(3,4) B．(2,3)
C．(1,2) D．(0,1)
解析：令f(x)＝lnx＋x－4.
∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，
所以x0属于区间(2,3)．
答案：B
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.1)为( )
A．1.21 B．1.34
C．1.43 D．1.55
解析：根据二分法的思想，零点所在区间为(1.40625，
1．4375)．
∴近似根应为1.43.
答案：C
4．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
解析：∵f(x)在[－1,1]上是增函数且f(－)·f()<0，
∴f(x)在[－，]上有唯一实根，
∴f(x)在[－1,1]上有唯一实根．
答案：C
5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0 …
y＝2x 0.3298 0.3789 0.4352 0.5 0.5743 0.6597 0.7578 0.8705 1 …
y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …
那么方程2x＝x2有一个根位于下列区间的( )
A．(－1.6，－1.2) B．(－1.2，－0.8)
C．(－0.8，－0.6) D．(－0.6,0.2)
解析：设f(x)＝2x－x2，则
f(－1.2)＝0.4352－1.44<0，
f(－0.8)＝0.5743－0.64<0，
f(－0.6)＝0.6597－0.36>0，
∴函数f(x)在区间(－0.8，－0.6)必有一个零点．
答案：C
6．已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则需要将区间对分的次数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：本题考查二分法求方程近似解，由求解方程近似解的步骤可知需将区间对分4次．
答案：B
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________.
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
解析：令f(x)＝ex－x－2，则
f(1)＝2.72－3＝－0.28，
f(2)＝7.39－4＝3.39.
f(1)·f(2)<0，
∴一个根所在的区间为(1,2)．
答案：(1,2)
8．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝
0．1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.0001)的近似值，那么将区间(a，b)等分的次数至少是________．
解析：设至少等分n次，则≤10－4.
∴2n≥103，∴n至少取10.
答案：10
9．方程x5－5x2－lgx＝0在区间(1,10)内的实数解的个数是__________个．
解析：设f(x)＝x5－5x2－lgx，
由于f(1)＝－4<0，f(10)>0，
而函数f(x)＝x5－5x2－lgx在(1,10)内单调，那么方程在区间(1,10)内的实数解的个数为1个．
答案：1
三、解答题(共计40分)
10．(10分)用二分法求方程x3－4＝0的近似解(精确度0.1)．
解：求方程x3－4＝0的近似解，就是求函数f(x)＝x3－4的零点的近似值，用二分法列表如下
端点(中点)坐标 计算中点函数值 取区间
f(1)＝－3<0 f(2)＝4>0 [1,2]
x1＝＝1.5 f(x1)＝－0.625<0 [1.5,2]
x2＝＝1.75 f(x2)＝1.359>0 [1.5,1.75]
x3＝＝1.625 f(x3)＝0.291>0 [1.5,1.625]
x4＝＝1.563 f(x4)＝－0.1816<0 [1.563,1.625]
∵区间[1.563,1.625]的长度小于0.1，
所以方程x3－4＝0的近似解是1.625.
11．(15分)在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
解：第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
12．(15分)设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，求正整数k.
解：设f(x)＝lnx＋x－4，则函数f(x)＝lnx＋x－4在正数范围内是单调递增的，故函数f(x)＝lnx＋x－4仅有一个零点，
∵f(1)＝ln1＋1－4<0，f(2)＝ln2＋2－4<0，f(3)＝ln3＋3－4>0，
∴f(2)·f(3)<0，即k＝2.课时作业24 几类不同增长的函数模型
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．下列函数中，随x值的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50x(x∈Z) B．y＝1000x
C．y＝0.4×2x－1 D．y＝·ex
解析：指数“爆炸式”增长，y＝0.4×2x－1和y＝·ex虽然都是指数型函数，但y＝·ex的底数e较大些，增长速度更快．
答案：D
2．某产品的成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：y＝3000＋20x－0.1x2.
25x≥y，利用二次函数知识．
答案：C
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的函数关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们的繁殖数量可达到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析：由题意知：100＝alog22，
∴a＝100即y＝100log2(x＋1)，
∴y7＝100log28＝300.
∴到第7年它们的繁殖数量可达到300只．故选A.
答案：A
4．当2A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2x
C．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x
解析：法1：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.
法2：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
答案：B
5．在y＝2x，y＝log2x，y＝x这三个函数中，当0恒成立的函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：作出图象，图象分三种：直线型，例如一次函数的图象；向上弯曲型，例如指数函数f(x)＝2x的图象；向下弯曲型，例如对数函数f(x)＝lgx的图象，可知只有y＝2x符合要求．
答案：B
6．如图1给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
图1
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
图2
7．已知函数的图象如图2所示，试写出它的一个可能的解析式______________．
解析：可由图象的两点特征去确定．
第一点：过两定点(0,1)，(10,3)．
第二点：增长情况．
答案：y＝lg(x2＋1)＋1(x≥0)(答案不唯一)
8．2010年全球经济已经转暖，据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万人，0.4万人和0.76万人，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是________．
解析：画出散点图，选择拟合效果最好的函数．
答案：y＝·2x
9．一个居民小区收取冬季供暖费，根据约定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米25元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米20元．李华家的住房的使用面积是90平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过____平方米．
解析：设李华家的住房的建筑面积为x m2，则20x≤90×25，即x≤112.5.
答案：112.5
三、解答题(共计40分)
10．(10分)某乡镇现在人均占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后人均占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式．
解：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量360M，经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食，经过2年后，人均占有粮食y＝，…，经过x年后，人均占有粮食y＝，即所求函数解析式为y＝360()x.
11．(15分)有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入资金x万元的关系为：p＝x，q＝，今有3万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获得最大利润？最大利润为多少？
解：设投入乙x万元，投入甲(3－x)万元，总利润为y，
y＝(3－x)＋(0≤x≤3)，
令t＝，则t2＝x，y＝－t2＋t＋
＝－(t－)2＋，t∈[0，]，
当t＝时，ymax＝，此时x＝2.25.
答：应对甲投入0.75万元，对乙投入2.25万元．最大利润为万元．
图3
12．(15分)我国进入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系近似满足P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈[0，)，x为市场价格，b、k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图3所示．
(1)根据图象求b、k的值；
(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝211－，当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．
解：(1)由图象知
(2)P＝Q时，2(1－6t)(x－5)2＝211－，
即(1－6t)(x－5)2＝11－，2(1－6t)＝＝－.
令m＝，∵x≥9，∴m∈(0，]．故2(1－6t)＝17m2－m.
当m＝时，2(1－6t)取最大值，故t≥，即税率的最小值为.