课时作业2 余弦定理
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cosB等于( )
A. B.
C. D．－
解析：cosB＝＝.
答案：A
2．已知△ABC满足B＝60°，AB＝3，AC＝，则BC的长等于( )
A．2 B．1
C．1或2 D．无解
解析：设BC＝x，则()2＝9＋x2－6xcos60°，解得x＝1或2.
答案：C
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或 D.或
解析：由a2＋c2－b2＝ac联想到余弦定理cosB＝＝，∴B＝.
答案：A
4．若三角形三边之比为3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角是( )
A．90° B．60°
C．120° D．150°
解析：设三边分别为3k,5k,7k，最大内角为7k所对的角α，由余弦定理得cosα＝＝－，∴最大内角α＝120°，故选C.
答案：C
5．△ABC中，已知2A＝B＋C，且bc＝a2，则该三角形的形状是( )
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．非等边的等腰三角形
D．有一角为60°的直角三角形
解析：∵A＋B＋C＝π，且2A＝B＋C，∴A＝，
又∵bc＝a2，∴cosA＝＝＝，
∴(b－c)2＝0，∴b＝c，∴此三角形为等边三角形．
答案：B
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
解析：设三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2.
设增加的长度为m，
则c＋m>a＋m，c＋m>b＋m，
又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2>c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2，
∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．
答案：A
二、填空题
7．在△ABC中，如果sinA∶sinB∶sinC＝5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是________．
解析：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶6∶8，设a＝5x，b＝6x，c＝8x，则三角形最大角C的余弦值是cosC＝＝－.
答案：－
8．在△ABC中，B＝且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析：在△ABD中，B＝，BD＝2，AB＝1，
则AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3.
所以AD＝.
答案：
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则＝________.
解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
则49＝b2＋25＋5b，解得b＝3或b＝－8(舍去)，
所以＝＝.
答案：
三、解答题
10．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，c＝5，求边b.
解：(1)由a＝2bsinA，根据正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝.
又△ABC为锐角三角形，则角B为锐角，
所以B＝.
(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝27＋25－45＝7，
所以b＝.
11．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．
解：解法1：利用边的关系来判断．
由正弦定理，得＝，
由2cosAsinB＝sinC，得cosA＝＝.
又由余弦定理，得cosA＝，
∴＝，
即c2＝b2＋c2－a2.∴a＝b.
又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab.
∴4b2－c2＝3b2.
∴b＝c.∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形．
解法2：利用角的关系来判断．
∵A＋B＋C＝180°，
∴sinC＝sin(A＋B)．
又∵2cosAsinB＝sinC，
∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB.
∴sin(A－B)＝0.
又A与B均为△ABC的内角，
∴A＝B.
又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得
(a＋b)2－c2＝3ab，
a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，
即a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得cosC＝.
又0°
故△ABC为等边三角形．
B创新达标
12．如图1，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，
∠BCD＝135°，求BC的长．
图1
解：在△ABD中，由余弦定理有AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB.
设BD＝x，有142＝x2＋102－2·10xcos60°，
x2－10x－96＝0，
∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16.
∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°.
又∠BDA＝60°，∴∠BDC＝30°.
在△BCD中，由正弦定理＝，
可得BC＝·sin30°＝8.第一章 解三角形
课时作业1 正弦定理
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．在△ABC中，下列式子与相等的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
2．在△ABC中，A＝178°，B＝1°，则有( )
A.> B.<
C.＝ D．以上结论都不对
解析：由正弦定理，知＝.
答案：C
3．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
解析：由正弦定理，知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.
答案：A
4．在△ABC中，A＝45°，AB＝2，则AC边上的高等于( )
A．2 B.
C．2 D．不确定
解析：AC边上的高等于ABsinA＝2sin45°＝.
答案：B
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于( )
A. B.
C. D．2
解析：由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC得＝2R＝＝＝.
答案：B
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，m＝(b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则cosA的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得，(b－c)cosA－acosC＝0.
由正弦定理可得，
(sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0.
sinBcosA－sin(A＋C)＝0.
∴sinBcosA－sinB＝0，∴cosA＝，故选C.
答案：C
二、填空题
7．在△ABC中，若AB＝3，B＝75°，C＝60°，则BC＝________.
解析：c＝AB＝3，B＝75°，C＝60°，则A＝45°，由正弦定理，得＝，所以a＝BC＝＝＝.
答案：
8．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶5，的值为________．
解析：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶3∶5.
答案：－
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＋c＝＋1，sinA＋sinB＝sinC，则c＝________.
解析：由sinA＋sinB＝sinC，得＋＝，由正弦定理，得＋＝，所以a＋b＝c.所以c＋c＝＋1.所以c＝1.
答案：1
三、解答题
10．在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数：
(1)a＝4，b＝5，A＝30°；
(2)a＝5，b＝4，A＝60°；
(3)a＝，b＝，B＝120°；
(4)a＝，b＝，A＝60°.
解：(1)∵角A为锐角，a(2)∵a>b，角A为锐角，∴B(3)∵角B为钝角，a>b，∴无解．
(4)∵角A为锐角，a∴a11．△ABC中，若＝＝，判断△ABC的形状．
解：由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC及＝＝，
得＝＝，即tanA＝tanB＝tanC.
又A，B，C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.
∴△ABC是等边三角形．
B创新达标
12．在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A＝，sinB＝.
(1)求A＋B的值；
(2)若a－b＝－1，求a、b、c的值．
解：(1)∵A、B为锐角，sinB＝，
∴cosB＝＝.
又cos2A＝1－2sin2A＝，∴sinA＝，cosA＝＝.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝×－×＝.
∵0(2)由(1)知C＝，∴sinC＝.
由正弦定理＝＝得
a＝b＝c，即a＝b，c＝b.
∵a－b＝－1，
∴b－b＝－1，∴b＝1.
∴a＝，c＝.课时作业4 三角形中几何计算
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．在△ABC中，已知C＝60°，b＝4，则BC边上的高等于( )
A. B．2
C．4 D．6
解析：BC边上的高等于bsinC＝6.
答案：D
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
解析：由×BC×ACsinC＝3，得×4×3sinC＝3，
所以sinC＝.所以C＝60°或120°.
又△ABC是锐角三角形，所以C＝60°.
答案：B
3．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为( )
A.或 B.或
C.或 D.
解析：由正弦定理得sinC＝＝.∵B＝30°，∴0°答案：B
4．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C．2 D．3
解析：b2－bc－2c2＝0 ∴(b－2c)(b＋c)＝0
∴b＝2c
∵a2＝b2＋c2－2bccosA解得c＝2，b＝4.
∵cosA＝ ∴sinA＝
∴S△ABC＝bcsinA＝×2×4×＝.
答案：A
5．△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则角A的对边长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：a＋b＋c＝20 ∴b＋c＝20－a
即b2＋c2＋2bc＝400－40a＋a2
∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc ①
又cosA＝＝
∴b2＋c2－a2＝bc ②
又S△＝bc·sinA＝10
∴bc＝40 ③
由①②③可知a＝7.
答案：C
6．△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B．1＋
C. D．2＋
解析：∵2b＝a＋c，平方得a2＋c2＝4b2－2ac.又S△ABC＝且B＝30°，∴S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝＝，得ac＝6，∴a2＋c2＝4b2－12.由余弦定理得cosB＝＝＝，又b>0，解得b＝1＋.
答案：B
二、填空题
7．在△ABC中，BC＝1，∠B＝，当△ABC的面积等于时，sinC＝________.
解析：△ABC的面积S＝acsinB＝，解得c＝4.
所以b＝＝.
所以cosC＝＝－.
所以sinC＝.
答案：
8．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于________．
解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos30°
∴AC2－2AC＋3＝0.∴AC＝.
∴S△ABC＝AB·ACsin30°＝×2××＝.
答案：
9．若在△ABC中，AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值是________．
解析：设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得
S△ABC＝AB·BCsinB＝×2x， ①
根据余弦定理得
cosB＝＝＝，将其代入①式得
S△ABC＝x＝，
由三角形三边关系有
解得2－2故当x＝2时，S△ABC取得最大值2.
答案：2
三、解答题
10．若△ABC的面积为，c＝2，A＝60°，求b、a的值．
解：∵S＝bc·sinA＝bsin60°＝，∴b＝1.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，
∴a＝.
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解：(1)因为cos＝.
所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.
又由·＝3，得bccosA＝3，
所以bc＝5.
因此S△ABC＝bcsinA＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6.
所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5.
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，
所以a＝2.
B创新达标
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝.
(1)求sinC的值；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝，cosA＝，所以C＝－A，sinA＝.
于是sinC＝sin(－A)
＝cosA＋sinA＝.
(2)由(1)知sinA＝，sinC＝.
又因为B＝，b＝，
所以在△ABC中，由正弦定理得
a＝＝.
于是△ABC的面积
S＝absinC
＝×××
＝.课时作业3 距离、高度、角度问题
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )
A．10° B．50°
C．120° D．130°
解析：如图1，∴∠BAC＝130°.
图1
答案：D
2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为( )
A．1 B．2sin10°
C．2cos10° D．cos20°
解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．
答案：C
3．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1、d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A．d1>d2 B．d1C．d1>20 m D．d2<20 m
解析：由tan50°＝，tan40°＝及tan50°>tan40°可知，d1答案：B
4．海上A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°角，从C岛望A岛和B岛成45°角，则B、C之间的距离是( )
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
答案：C
5．如图3所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
图3
A．30＋30m B．30＋15 m
C．15＋30 m D．15＋3 m
解析：由正弦定理可得
＝，
PB＝＝，
h＝PBsin45°＝(30＋30)m.故选A.
答案：A
6．如图4所示，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
图4
A．20(＋)海里/小时
B．20(－)海里/小时
C．20(＋)海里/小时
D．20(－)海里/小时
解析：由题意可知∠NMS＝45°，∠MNS＝105°，则∠MSN＝180°－105°－45°＝30°.而MS＝20，
在△MNS中，由正弦定理得
＝，∴MN＝＝＝＝＝10(－)．
∴货轮的速度为10(－)÷＝20(－)(海里/小时)，故选B.
答案：B
二、填空题
7．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为________．
解析：
图5
如图5，树高为AB＋BC的长．
在△ABC中，AB＝AC·tan60°＝5，BC＝＝10.
∴树高为(5＋10)m.
答案：(10＋5)米
8．如图6所示，在平地上有一点A，测得一塔尖C的仰角为45°，向前行进a m到B处又测得塔尖C的仰角为60°，则塔高是________．
图6
解析：在△ABC中，＝，∴BC＝＝＝a＝(＋1)a，在Rt△BCD中，CD＝BC·sin60°＝(＋1)a·＝a.
答案：a
9．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图7所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是________米．
图7
解析：根据题意，可得∠ABC＝45°－30°＝15°，∠DAC＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，∴AC＝AB＝40米．
在△ADC中，∠BDC＝120°，
由正弦定理，得＝，
∴CD＝＝.
答案：
三、解答题
10．如图8，货轮在海上以35 n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．
图8
解：在△ABC中，B＝152°－122°＝30°，C＝180°－152°＋32°＝60°，A＝180°－30°－60°＝90°，BC＝，∴AC＝sin30°＝.
答：船与灯塔间的距离为n mile.
11．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔10000 m，速度为180 km/h，飞机在A处先看到山顶的俯角为15°，经过420 s的水平飞行后到达B处，又看到山顶的俯角为45°，如图9，求山顶的海拔高度．(取＝1.4，＝1.7)
图9
解：∵A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝180 km/h×420 s＝21000(m)．
∵在△ABC中，＝，
∴BC＝×sin15°＝10500(－)，
∵CD⊥AD，
∴CD＝BCsin∠CBD＝BC×sin45°
＝10500(－)×
＝10500(－1)
＝10500(1.7－1)
＝7350(m)．
山顶的海拔高度为：10000－7350＝2650(m)．
B创新达标
12．A、B、C是一直线公路上的三点，BC＝2AB＝2 km，从三点分别观测一塔P，从A测得塔在北偏东60°，从B测得塔在正东，从C测得塔在东偏南30°，求该塔到这条公路的距离．
解：如图10，∠PBC＝α，在△PBC与△PAB中，
图10
由正弦定理有∴＝2.
设PA＝k，则PC＝2k.
在△PAC中，有9＝4k2＋k2－2k·2k·cos60°.
解得k＝.
由面积公式有××2×sin60°＝×3×h，
得h＝(km)．
答：该塔到这条公路的距离是 km.