课时作业5 数列的概念与通项公式
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．数列1,3,6,10，x,21,28，…中，x的值是( )
A．12 B．15
C．17 D．18
解析：3＝1＋2,6＝3＋3,10＝6＋4，故x＝10＋5＝15.
答案：B
2．数列－1，，－，，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n
B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n
D．an＝(－1)n
解析：若是分式形式的，要分别观察分子、分母与相应的项数间的关系．
答案：A
3．下面五个结论：①数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；②数列的项数是无限的；③数列的通项公式是唯一的；④数列不一定有通项公式；⑤将数列看作函数，其定义域是N*或它有子集{1,2，…，n}．其中正确的是( )
A．①②④⑤ B．①④⑤
C．①③④ D．①②⑤
解析：②中，数列的项数也可以是有限的；③中，数列的通项公式可以不唯一．
答案：B
4．已知数列{an}中，an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
解析：∵an＋1＝an＋3>an(n∈N*)，∴数列为递增数列．
答案：A
5．以下四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是( )
A．380 B．39
C．32 D．18
解析：380＝19×20＝19×(19＋1)．
答案：A
6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30
解析：由an＝1＋，知a1，a2，…，a9组成递减数列，a10，a11，…，a30组成递减数列，计算知a1
答案：C
二、填空题
7．在数列，2，x,2，，2，…中，x＝________.该数列的一个通项公式是________．
解析：先找通项公式an，再确定x.
答案：，an＝ (n∈N*)
8．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
解析：∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
9．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．
解析：an＝＝－，又－3＝－，令an＝－3，即－＝－，∴n＝9.
答案：9
三、解答题
10．设数列{an}的通项公式为an＝.
(1)求a5，a6；
(2)0.96是该数列的第几项？
(3)0.86是不是该数列的项？
答案：(1)a5＝，a6＝.
(2)由0.96＝，
∴0.96n＋0.96＝n，
∴0.04n＝0.96，∴n＝24，
∴0.96是该数列的第24项．
(3)0.86＝，
∴n＝不是正整数．
∴0.86不是该数列的项．
11．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数，(1)求{an}的通项公式；(2)88是否是数列{an}中的项？
解：(1)设an＝kn＋b，则
解得：∴an＝4n－2.
(2)令an＝88，解得n＝ N*.
∴88不是{an}中的项．
B创新达标
12．设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N*)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．
解：因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋1－an>0(n∈N*)恒成立．又an＝n2＋kn(n∈N*)，所以(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立，即2n＋1＋k>0，所以k>－(2n＋1)(n∈N*)恒成立．而n∈N*时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时取得)，所以k>－3即为所求的范围．课时作业7 等差数列的概念与通项公式
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．若等差数列{an}的公差为d，则{3an}是( )
A．公差为d的等差数列 B．公差为3d的等差数列
C．非等差数列 D．以上都不是
解析：∵an＝a1＋(n－1)d，∴3an＝3a1＋(n－1)3d，即{3an}是首项为3a，公差为3d的等差数列．
答案：B
2．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列．则x的值为( )
A．7或－3 B．log37
C．log27 D．4
解析：由log3(2x＋11)－log3(2x－1)＝log3(2x－1)－log32，得：22x－4·2x－21＝0，∴2x＝7，∴x＝log27.
答案：C
3．已知a＝lg(－)，b＝lg(＋)，则a，b的等差中项为( )
A．0 B．lg
C．lg(5－2) D．1
解析：a＝lg(－)，b＝lg(－)，∴A＝＝0.
答案：A
4．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40 B．42
C．43 D．45
解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a3＝13，可得2a1＋3d＝13.∵a1＝2，∴d＝3.而a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42.故选B.
答案：B
5．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
解析：|an|＝|70＋(n－1)(－9)|＝|79－9n|＝9|8－n|.
∴n＝9时，|an|最小．
答案：B
6．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差的取值范围是( )
A．d> B．d<3
C.≤d<3 D.解析：从第10项开始为正数，说明：
答案：D
二、填空题
7．已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an＝________.
解析：a4＝8，a8＝4.
列出关于a1和d的方程组即可解得a1和d.
∵
∴an＝a1＋(n－1)d＝11－(n－1)＝12－n.
故答案为an＝12－n.
答案：12－n
8．若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.
解析：设两个等差数列的公差分别为d1、d2，即求，
由已知得即解得＝，
即＝.
提示：设出两个公差、列方程组求解．
答案：
9．已知数列{an}满足：a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
解析：根据已知条件a＝a＋4，即a－a＝4.
∵数列{a}是公差为4的等差数列，
a＝a＋(n－1)·4＝4n－3.
∵an>0，∴an＝.
答案：
三、解答题
10．等差数列{an} 中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则公差d的值为多少？
解：由题意，得
即得：－答案：d＝－5
11．屋顶的一斜面成等腰梯形，最上面一行铺瓦片21块，下一行总是比上一行多铺2块瓦片，已知斜面上共铺了19行瓦片，试问：
(1)最下面一行铺了多少块瓦片？
(2)从上往下数，哪一行铺了39块瓦片？
解：(1)根据题意，瓦片数组成等差数列{an}，且a1＝21，公差d＝2，则由等差数列的通项公式得a19＝a1＋(n－1)d＝21＋18×2＝57.所以，斜面最下面一行的瓦片数为57块．
(2)因为an＝a1＋(n－1)d＝21＋(n－1)×2＝2n＋19，所以39＝2n＋19，得 n＝10.因此，第10行铺了39块瓦片．
B创新达标
12．已知在数列{an}中，a1＝，an＝2－(n∈N*，n≥2)，又数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项．
解：(1)∵bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝1，
∴数列{bn}为等差数列．
(2)由(1)得bn＝n－，
∴an＝1＋＝1＋.
an＋1－an＝1＋－
＝
＝
∴a3当n≥4且n∈N*时，an＋11，又a4>3，
∴{an}中，最小项为a3＝－1，最大项为a4＝3.课时作业13 等比数列的前n项和
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为( )
A．81 B．120
C．168 D．192
解析：公比q3＝＝＝27，即q＝3，a1＝＝3，S4＝＝120.
答案：B
2．在等比数列{an}中，a1＝4，q＝5，使Sn>107的最小n值是( )
A．11 B．10
C．12 D．9
解析：Sn＝＝＝5n－1>107，得n>11，∴选A.
答案：A
3．在等比数列{an}中，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( )
A．3 B．－3
C．－1 D．1
解析：a4－a3＝2(S3－S2)，∴a4＝3a3，∴q＝3.
答案：A
4．若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a等于( )
A．－4 B．－2
C．0 D．－1
解析：∵a1＝S1＝3＋a，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18.由a1·a3＝a，得a＝－1.
答案：D
5．等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．2或－1
解析：由题设条件可得a1＋a1q＋a1q2＝3a1，∴q2＋q－2＝0，∴q＝1或q＝－2.故选C.
答案：C
6．等比数列{an}中，公比q≠1，它的前n项和为M，数列{}的前n项和为N，则的值为( )
A．2aqn B.a1qn－1
C.aqn－1 D．2aqn－1
解析：{an}是公比为q的等比数列，则{}是首项为，公比为的等比数列，由题意得
M＝，N＝，
解得＝aqn－1.
答案：C
二、填空题
7．在等比数列{an}中，a3＝3，S3＝9，则首项a1＝________，公比q＝________(q≠1)．
解析：由
即2q2－q－1＝0，(2q＋1)(q－1)＝0，∵q≠1，
∴q＝－，
代入①得a1＝12.
答案：a1＝12，q＝－
8．1＋3＋5＋…＋15＝________.
解析：S＝1＋3＋5＋…＋15＝(1＋3＋5＋…＋15)＋(＋＋＋…＋)
＝＋＝64＋(1－)＝64.
答案：64
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，则S1＝a1,2S2＝2(a1＋a1q)＝2a1(1＋q)，3S3＝3(a1＋a1q＋a1q2)＝3a1(1＋q＋q2)．
∵S1,2S2,3S3成等差数列，
∴4S2＝S1＋3S3，
∴4a1(1＋q)＝a1＋3a1(1＋q＋q2)，
即3q2－q＝0.解得q＝.
答案：
三、解答题
10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17，求{an}的通项公式．
解：设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以＝1.①
＝17.②
由①②整理，得＝17.解得q4＝16.
所以q＝2或q＝－2.
将q＝2代入①式得a1＝， 所以an＝.
将q＝－2代入①式得a1＝－，所以an＝.
11．已知等比数列{an}的各项都是正数，且a2＝6，a3＋a4＝72.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)记数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＋2·Sn解：(Ⅰ)an＝2×3n－1；
(Ⅱ)Sn＝3n－1 Sn＋2·Sn－S＝－4×3n<0 Sn＋2·SnB创新达标
12．已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和．
解：(1)设数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12.又∵a1＝2，∴d＝2，∴an＝2n.
(2)由bn＝an·3n＝2n·3n，得Sn＝2×3＋4×32＋…＋(2n－2)×3n－1＋2n×3n， ①
3Sn＝2×32＋4×33＋…＋(2n－2)×3n＋2n×3n＋1 ②
①－②得－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n×3n＋1＝3(3n－1)－2n×3n＋1.
∴Sn＝＋n×3n＋1.课时作业15 数列求和的常用方法
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20等于( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：由于S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等差数列，且S4＝1，S8－S4＝3，∴上述数列为1,3,5,7,9，故S20－S16＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝9.
答案：C
2．在等比数列{an}中，若a4a7＋a5a6＝20，则此数列的前10项之积等于( )
A．50 B．210
C．105 D．1010
解析：a4·a7＝a5·a6＝10，∴a1·a2·…·a10＝(a5·a6)5＝105.
答案：C
3．已知等差数列{an}中，a1＝－10，d＝2，如果前n项和Sn取最小值，则n为( )
A．5 B．6
C．7 D．5或6
解析：∵Sn＝a1n＋n(n－1)·d＝－10n＋n(n－1)×2＝n2－11n＝(n－)2－，当n＝5或n＝6时，Sn有最小值．
答案：D
4．{an}的前n项和为Sn＝n2，则＋＋…＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：由Sn＝n2得an＝2n－1，因此＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝(－1＋－＋…－)
＝(－1)，故选D.
答案：D
5．使等式1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立的a、b、c的值是( )
A．a＝，b＝c＝
B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝
D．不存在
解析：设Sn＝1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1，则3Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋4×34＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n.∴Sn－3Sn＝1＋3＋32＋…＋3n－1－n×3n.
∴Sn＝3n·(n－)＋.
答案：A
6．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于( )
A．13 B．10
C．9 D．6
解析：∵an＝1－
∴Sn＝(1－)＋(1－)＋(1－)＋…＋(1－)
＝n－(＋＋＋…＋)
＝n－＝n－1＋
由Sn＝＝n－1＋，观察可得出n＝6.
答案：D
二、填空题
7．已知数列{an}，当n≥2时，有关系式an＋1－2an＋an－1＝2，且a1＝0，a2＝2，则an＝________.
解析：由an＋1－2an＋an－1＝2有(aa＋1－an)－(an－an－1)＝2，∴数列{an＋1－an}是等差数列．a2－a1＝2，d＝2，∴an＋1－an＝2＋(n－1)×2，即：an＋1－an＝2n，∴an－an－1＝2(n－1)．
答案：n2－n
8．已知数列{an}满足a50＝50，且an＋1＝an＋n，则a1的值是________．
解析：∵an－an＋1＝－n，∴a1＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(a49－a50)＋a50＝－1175.
答案：－1175
9．数列{an}、{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前n项之和为________．
解析：∵bn＝＝＝＝－.
答案：
三、解答题
10．求数列，2，4，6，…的前n项之和．
解：∵an＝2(n－1)＋，即an＝2n－－1
∴Sn＝2(1＋2＋3＋…＋n)－(＋＋＋…＋)－n
＝2×－－n＝n2＋－1.
11．求下列式子的和：＋＋＋…＋.
解：令Sn＝＋＋＋…＋①
则Sn＝＋＋…＋＋②
①－②得：
Sn＝＋2×(＋＋…＋)－
＝＋2×－
＝－－，∴Sn＝3－.
B创新达标
12．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，点(Sn＋1，Sn)在直线－＝1(n∈N*)上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝＋－2，求证：≤T1＋T2＋T3＋…＋Tn<3.
解：(1)∵(Sn＋1，Sn)在直线－＝1上，∴－＝1，
∴{}构成以S1＝a1＝2为首项，公差为1的等差数列，
∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴Sn＝n2＋n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，而a1＝2.
∴an＝2n(n∈N*)．
(2)证明：∵Sn＝n2＋n，
∴Tn＝＋－2
＝1－＋1＋－2＝－.
∵n∈N*时，Tn＝>0，
∴T1＋T2＋…＋Tn≥T1＝(n＝1时取等号)．
又T1＋T2＋…＋Tn＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝3－－<3.
13．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1＋)an＋.
(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)由已知得b1＝a1＝1，且＝＋，
即bn＋1＝bn＋，从而b2＝b1＋，
b3＝b2＋，
……
bn＝bn－1＋(n≥2)，
于是bn＝b1＋＋＋…＋
＝2－(n≥2)．
又b1＝1，故所求的通项公式bn＝2－.
(2)由(1)知，an＝n(2－)＝2n－.
令Tn＝，则2Tn＝.
于是Tn＝2Tn－Tn
＝－＝4－.
又(2k)＝n(n＋1)，所以Sn＝n(n＋1)＋－4.课时作业9 等差数列的前n项和
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝( )
A．16 B．24
C．36 D．48
解析：∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d＝48.
答案：D
2．设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项的和为( )
A．128 B．80
C．64 D．56
解析：设数列的前n项和为Sn，则
S8＝＝＝＝64.
答案：C
3．已知数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于( )
A．30 B．45
C．90 D．186
解析：由等差数列{an}易得公差d1＝3.又bn＝a2n，所以{bn}也是等差数列，公差d2＝6.S5＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5×6＋×6＝90.
答案：C
4．已知数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于( )
A．－1 B．－11
C．－13 D．－15
解析：由(a3＋a8)2＝9且an<0，知a1＋a10＝a3＋a8＝－3，故S10＝＝－15.
答案：D
5．一个等差数列的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由知a1＋an＝＝70.又＝210，故n＝6.
答案：B
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于( )
A．100 B．101
C．200 D．201
解析：∵＝a1＋a200，且A，B，C三点共线，∴a1＋a200＝1，∴S200＝＝100.
答案：A
二、填空题
7．等差数列{an}中，如果a3＋a8＝24，那么S10＝________.
解析：∵a1＋a10＝a3＋a8＝24，∴S10＝5(a1＋a10)＝120.
答案：120
8．等差数列{an}中，a11＝10，则S21＝________.
解析：∵a1＋a21＝2a11＝20，∴S21＝＝210.
答案：210
9．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a、b为常数，则ab＝________.
解析：an－an－1＝4n－－[4(n－1)－]＝4知该数列为等差数列．a1＝4－＝，又Sn＝na1＋d＝2n2－n＝an2＋bn，得∴ab＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n.
解：(1)设{an}的首项为a1，公差为d，则
∴
∴通项an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242，得
12n＋×2＝242.
解得n＝11，或n＝－22(舍去)．
11．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c的值．
解：(1)∵{an}为等差数列，
∴a3＋a4＝a2＋a5＝22.
又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根．
又公差d>0，∴a3∴a3＝9，a4＝13.
∴
解得∴an＝4n－3.
(2)由(1)知Sn＝n·1＋·4＝2n2－n.
∵bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，
即·2＝＋.
∴2c2＋c＝0.
∴c＝－(c＝0舍去)．
故c＝－.
B创新达标
12．(2009·江苏卷)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．
解：(1)设公差为d，则a－a＝a－a.
由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0.所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0，又由S7＝7得7a1＋d＝7.解得a1＝－5，d＝2，所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.
(2)＝.令2m－3＝t，则＝＝t＋－6，因为t是奇数，所以t可取的值为±1.当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3,2×5－7＝3是数列{an}中的项：t＝－1，m＝1时，t＋－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5不符合．所以满足条件的正整数m＝2.课时作业8 等差数列的性质
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．数列{an}是等差数列，则有( )
A．a2007＋a2008＝a2009＋a2010
B．a2007＋a2009＝a2008＋a2010
C．a2007＋a2010＝a2008＋a2009
D．a2007＋a2008≤a2009＋a2010
解析：若m，n，p，q∈N*，且{an}是等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，C成立．
答案：C
2．等差数列{an}的公差为d，则数列{can}(c为常数且c≠0)是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为cd的等差数列
C．不是等差数列
D．以上都不对
解析：设bn＝can，
则bn＋1－bn＝can＋1－can＝c(an＋1－an)＝cd.
答案：B
3．已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )
A．20 B．48
C．60 D．72
解析：a6－a7＋a8＝a7＝(a3＋a11)＝20.
答案：A
4．已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )
A．20 B．22
C．24 D．－8
解析：∵a8是a1和a15的等差中项，所以a1＋a15＝2a8，于是由已知条件可得a8＝24，∴2a9－a10＝a9＋(a9－a10)＝a9－d＝a8＝24.
答案：C
5．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )
A．a1a8>a4a5 B．a1a8C．a1＋a8>a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
解析：a8＝a1＋7d，a4＝a1＋3d，a5＝a1＋4d，
∴a1·a8＝a＋a1·7d＝a＋7a1d，
a4a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a＋7a1d＋12d2.
又∵d≠0，∴d2>0，
∴a1·a8答案：B
6．将含k项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，已知原等差数列的公差为3，则k值为( )
A．21 B．20
C．19 D．18
解析：新的等差数列共有k＋2项，且a1＝4，ak＋2＝67，d＝3，∴d＝＝＝3，∴k＝20.
答案：B
二、填空题
7．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝________.
解析：a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13，
所以a9＝117.
则a3＋a15＝a9＋a9＝234.
答案：234
8．等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，则a105＝________.
解析：a15，a60，a105成等差数列，
则a15＋a105＝2a60，
∴a105＝2a60－a15＝2×20－8＝32.
答案：32
9．在递增的等差数列{an}中，已知a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝187，则a4＝________，d＝________.
解析：∵a4＋a7＝a5＋a6，∴由a4＋a5＋a6＋a7＝56得a4＋a7＝28.又∵a4·a7＝187.
解得或又∵{an}是递增的数列，
∴a4＝11，a7＝17，∴d＝＝2.
答案：11 2
三、解答题
10．已知等差数列{an}中，a3a7＝－12，a4＋a6＝－4.求它的通项公式．
解：依题意 ∴a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两根，∴或
当a3＝－6，a7＝2时，d＝＝2，an＝a7＋(n－7)×d＝2n－12，同理当a3＝2，a7＝－6时，an＝－2n＋8.
11．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通项公式；
(3){bn}中的第110项是{an}的第几项？
解：(1)∵a1＝3，d＝－5.所以an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.
数列{an}中项数被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…，∴{bn}的首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n(n∈N＋)．
∵bn－bn－1＝－20(n∈N＋，n≥2)，∴{bn}是等差数列，其通项公式为bn＝13－20n(n∈N＋)．
(3)∵b110＝13－20×110＝－2187，设它是{an}中的第m项，则－2187＝8－5m，则m＝439.
B创新达标
12．已知a，，c是公差不为零的等差数列的前三项，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
解析：∵a，，c构成等差数列，∴b＝a＋c，∴二次函数对应的二次方程判别式Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2，∵a，，c的公差不为零，∴a≠c，∴Δ>0.
∴f(x)的图象与x轴有两个交点．
答案：C
13．在数列{an}中，相邻两项an和an＋1是相应的二次方程x2＋3nx＋bn＝0(n∈N*)的两根．若a1＝2，试求b100的值．
解：依题意得an＋an＋1＝－3n， ①
an·an＋1＝bn(n∈N*)， ②
由②知b100＝a100·a101.
∵an＋an＋1＝－3n， ①
∴an＋1＋an＋2＝－3(n＋1)． ③
③－①，得an＋2－an＝－3.
∴a1，a3，a5，…，a99，a101构成公差为－3的等差数列．
∴a101＝a2×51－1＝a1＋(51－1)d＝2＋50×(－3)＝－148，代入a100＋a101＝－3×100得a100＝－152.
∴b100＝a100·a101＝(－152)×(－148)＝22496.课时作业12 等比数列的性质
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a4＝2，a5＝1，则公比q等于( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：q＝＝.
答案：A
2．等比数列{an}的各项都为正数，且a5a6＋a4a7＝18，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于( )
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
解析：a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以a5a6＝9.
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)…(a5a6)]＝log395＝10.
答案：B
3．若k,2k＋2,3k＋3是等比数列的前3项，则第4项为( )
A．12 B．－13.5
C．13.5 D．－27
解析：由已知，得(2k＋2)2＝k(3k＋3)，
∴k＝－1，或k＝－4.
若k＝－1，则k＋1＝0，不合题意，
∴k＝－4，∴a4＝－13.5.
答案：B
4．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于( )
A. B.
C.或 D．－或－
解析：在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6 ①
又a4＋a14＝5 ②
由①、②组成方程组得，或
∵＝＝或.
答案：C
5．在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100等于( )
A. B．()9
C. D．()10
解析：由等比数列的性质知：
a9＋a10，a19＋a20，…，a99＋a100成等比数列，
且首项为a(a≠0)，公比为，
∴a99＋a100＝a·()10－1＝.
答案：A
6．已知a1，a2，…，an为各项都大于0的等比数列，公比q≠1，则( )
A．a1＋a8>a4＋a5
B．a1＋a8C．a1＋a8＝a4＋a5
D．a1＋a8与a4＋a5的大小关系不能确定
解析：a1＋a8－(a4＋a5)
＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4
＝a1(1－q3－q4＋q7)
＝a1(1－q3)(1－q4)
由题意知a1>0，q>0且q≠1，
所以，当q>1时，1－q3<0,1－q4<0，
∴a1(1－q3)(1－q4)>0，
即a1＋a8>a4＋a5；
当00,1－q4>0，
∴a1(1－q3)(1－q4)>0
即a1＋a8>a4＋a5，
综上可知：a1＋a8>a4＋a5，
故应选A.
答案：A
二、填空题
7．等比数列{an}中，a2009a2010a2011＝8，则a2010＝________.
解析：a2009a2010a2011＝a＝8，
∴a2010＝2.
答案：2
8．在等比数列{an}中，已知a1＝，a4＝12，则q＝________，an＝________.
解析：∵q3＝＝8，∴q＝2.
又an＝a1qn－1＝·2n－1＝3·2n－2
∴an＝3·2n－2
答案：2 an＝3·2n－2.
9．若{an}是等比数列，下列数列中是等比数列的代号为________．
①{a}；②{a2n}；③{}；④{lg|an|}．
解析：利用定义＝q(q≠0，n∈N＋)进行判断，可知①②③是等比数列．
答案：①②③
三、解答题
10．等比数列{an}中，已知：a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
解：∵a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
∴或，
∵q4＝＝4或，∴q＝±或q＝±.
11．若a≠c，三数a、1、c成等差数列，a2、1、c2成等比数列，求.
解：∵a,1，c成等差数列，∴a＋c＝2，
又a2,1，c2成等比数列，∴a2c2＝1，有ac＝1或ac＝－1，
当ac＝1时，由a＋c＝2得a＝1，c＝1，与a≠c矛盾，
∴ac＝－1，a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝6，
∴＝.
B创新达标
12．在△ABC中，tanA是以－4为第3项、4为第7项的等差数列的公差，tanB是以为第3项、9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是________．
解析：tanA＝＝2，tanB＝3，
即在△ABC中，tanA＝2>0，tanB＝3>0，
tan(A＋B)＝＝－1，
∴A＋B＝π.
∴C＝ ∴△ABC为锐角三角形．
答案：锐角三角形
13．在公差d不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1＝1，且a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3.
(1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q；
(2)是否存在常数a、b使得对于一切正整数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a和b；若不存在，说明理由．
解：(1)由已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，可得 或(舍去)
(2)假设存在a、b使得an＝logabn＋b(n∈N*)成立，
即1＋5(n－1)＝loga6n－1＋b
5n－4＝(n－1)loga6＋b
(5－loga6)n－(4＋b－loga6)＝0.
∵an＝logabn＋b对一切正整数n恒成立，
∴ a＝，b＝1.课时作业10 等差数列前n项和的性质
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．等差数列{an}，{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为( )
A．0 B．100
C．1000 D．10000
解析：易知数列{an＋bn}为等差数列，首项为a1＋b1＝100，S100＝＝10000.
答案：D
2．在等差数列{an}中，公差d＝，S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )
A．57 B．58
C．59 D．60
解析：∵S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)，又(a2＋a4＋a6＋…＋a100)－(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝50d，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝＝－＝60.
答案：D
3．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为( )
A．21 B．24
C．27 D．30
解析：由a1＋a4＋a7＝36得3a4＝36，∴a4＝12.由a2＋a5＋a8＝33，得3a5＝33，∴a5＝11，∴公差d＝11－12＝－1，故a3＋a6＋a9＝3a6＝3(a5＋d)＝3(11－1)＝30.故选D.
答案：D
4．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，若{an}的前n项和Sn<0，则n的最大值是( )
A．17 B．18
C．19 D．20
解析：等差数列{an}中，S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)>0，S19＝＝19a10<0.故选C.
答案：C
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B.
C. D.
解析：设S3＝m，∵＝，∴S6＝3m，∴S6－S3＝2m，由等差数列依次每k项之和仍为等差数列，得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，∴S6＝3m，S12＝10m，∴＝.
答案：A
6．等差数列{an}的公差d不为0，Sn是其前n项和，则下列命题错误的是( )
A．若d<0，且S3＝S8，则{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大项
B．给定n，对于一切k∈N*(kC．若d>0，则{Sn}有最小值的项
D．存在k∈N*，使ak－ak＋1和ak－ak－1同号
解析：A中，d<0，S3＝S8，则S8－S3＝0，∴a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∴S5和S6最大，A正确；B中，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2[a1＋(n－1)d]＝2an，∴B正确；C中，d>0，S1＝a1最小，∴C正确；D中，(ak－ak＋1)(ak－ak－1)＝(－d)×d＝－d2<0，∴D错误，故选D.
答案：D
二、填空题
7．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________，＝________.
解析：∵＝＝＝＝＝，∴＝＝.
答案：
8．一个等差数列共有2003项，那么它的偶数项之和与奇数项之和的比为________．
解析：设项数为2n－1，公差为d，
则＝
＝＝.
∴当2n－1＝2003时，＝.
答案：
9．已知等差数列{an}的公差为－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
解析：∵a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×(－4)＝50＋(－132)＝－82.
答案：－82
三、解答题
10．等差数列{an}奇数项的和为51，偶数项的和为42，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项及通项公式．
解：运用等差数列的性质，求出项数n，公差d，再求an.设项数为n＝2k＋1，中间项为ak＋1，偶数项有k项，奇数项有k＋1项．则S奇＝(k＋1)(a1＋a2k＋1)＝(k＋1)ak＋1＝51，S偶＝(a2＋a2k)＝kak＋1＝42，两式相除，得k＝5，∴n＝11，∴ak＋1＝a6＝＝，又a1＝1，a1＋a11＝2a6，∴a11＝16＝1＋10d，∴d＝，∴an＝1＋(n－1)d＝，a11＝16.
11．等差数列{an}中，S3＝21，S6＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解： d＝－2，a1＝9.
∴a5＝q＋4d＝9－8＝1>0，
a6＝9－10＝－1<0，∴当n<6时有an>0，
若n≤5，则Tn＝Sn＝－n2＋10n.
若n≥6，则Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50，
∴Tn＝
B创新达标
12．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
解析：∵{an}为等差数列，
∴a1＋a3＋a5＝105 a3＝35，
a2＋a4＋a6＝99 a4＝33，
d＝a4－a3＝33－35＝－2，
∴{an}是递减数列．
an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，
an≥0，－2n＋41≥0，n≤，
∴当n≤20时，an>0.
∴n＝20时，Sn最大，故选B.
答案：B
13. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，且S7最大，|a7|<|a8|，求使Sn>0的最大的正整数n.
解：由S7最大，可得a7≥0，a8<0.
∵|a7|<|a8|，∴a7<－a8，
即a7＋a8<0.
∴a1＋a14＝a7＋a8<0.
∴S14＝＝7(a1＋a14)<0.
若a7≠0，即a7>0，则S13＝＝13a7>0，即Sn>0的最大的正整数n＝13.
若a7＝0，则a6>0，S13＝13a7＝0，S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＝6a6>0，即Sn>0的最大的正整数n＝12.
综上所述，当a7≠0时，使Sn>0的最大正整数n为13，当a7＝0时，使Sn>0的最大正整数n为12.课时作业14 等比数列前n项和的性质
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．等比数列{an}中，如果公比q>1，那么等比数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．无法确定数列的增减性
解析：a1>0时，{an}是递增数列；a1<0时，{an}是递减数列．
答案：D
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2 B．4
C. D.
解析：∵a1＝，a3＝a2q，a4＝a2q2，
∴＝1＋＋q＋q2＝1＋＋2＋4＝.
答案：C
3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )
A．180 B．108
C．75 D．63
解析：由题意S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48,12,3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.
答案：D
4．在公比为整数的等比数列{an}中，已知a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8等于( )
A．480 B．493
C．495 D．498
解析：已知
由等比数列的通项公式得 2q3－3q2－3q＋2＝0 (q＋1)(2q2－5q＋2)＝0 q＝－1或q＝2或q＝.
q＝－1，q＝均与已知矛盾，∴q＝2.
a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)＝24(18＋12)＝480.
答案：A
5．一个等比数列共有3m项，若前2m项和为15，后2m项之和为60，则中间m项的和为( )
A．12 B．16
C．20 D．32
解析：由已知S2m＝15，S3m－Sm＝60，又(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)，
解得Sm＝3，∴S2m－Sm＝15－3＝12.
答案：A
6．已知等比数列{an}的公比q<0，前n项和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是( )
A．S4a5＝S5a4 B．S4a5>S5a4
C．S4a5解析：S4a5－S5a4＝S4a4q－(a1＋qS4)a4＝S4a4q－a1a4－S4a4q＝－a1a4.∵q<0，∴a1和a4异号，∴S4a5－S5a4>0.
答案：B
二、填空题
7．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析：＝＝15.
答案：15
8．某工厂的月生产总值平均增长率为p，则年平均生产总值的平均增长率为________．
解析：∵＝
＝(1＋p)12.
答案：(1＋p)12－1
9．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则 S20＝________.
解析：由S30＝13S10，S10＋S30＝140，得S10＝10，S30＝130.
再由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，得S10(S30－S20)＝(S20－S10)2，
∴10(130－S20)＝(S20－10)2.
整理得S－10S20－1200＝0，解得S20＝40，或S20＝－30(舍去)．
答案：40
三、解答题
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1(－)2＝3，解得a1＝4.
从而Sn＝＝[1－(－)n]．
11．在等比数列{an}中，已知对n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，求a＋a＋…＋a.
解：由a1＋a2＋…＋an＝2n－1，①
知a1＝1.
且当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1.②
①－②得an＝2n－1，n≥2.
又a1＝1，∴an＝2n－1，n∈N＋.
＝＝4，即{a}为公比为4的等比数列．
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
B创新达标
12．(2009·辽宁卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B.
C. D．3
解析：由等比数列的性质：
S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.故选B.
答案：B
13．有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n列的数表，如下图所示)，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：a24＝1，a42＝，a43＝.
(1)求公比q；
(2)用k表示a4k；
(3)求a11＋a22＋a33＋…＋ann的值．
解：(1)∵每一行的数成等差数列，∴a42，a43，a44成等差数列，∴2a43＝a42＋a44，a44＝；又因每一列的数成等比数列，故a44＝a24·q2，a24＝1，∴q2＝，且an>0，∴q＝.
(2)a4k＝a42＋(k－2)d＝＋(k－2)(a43－a42)＝.
(3)∵第k列的数成等比数列，
∴akk＝a4k·qk－4＝·()k－4
＝k·()k(k＝1,2，…，n)．
记a11＋a22＋a33＋…＋ann＝Sn，由错位相减法，可得Sn＝2－.课时作业11 等比数列的概念与通项公式
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝4，公比q＝3，则通项公式an等于( )
A．3n B．4n
C．3·4n－1 D．4·3n－1
解析：an＝a1·qn－1＝4·3n－1.
答案：D
2．在等比数列{an}中，已知a1a2a12＝64，则a4a6的值为( )
A．16 B．24
C．48 D．128
解析：设公比为q，则a1a2a12＝aq12＝64，
所以a1q4＝4.
所以a4a6＝(a1q4)2＝16.
答案：A
3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1等于( )
A. B.
C. D．2
解析：设公比为q，由已知得a1q2a1q8＝2(a1q4)2，
则q2＝2，因为等比数列{an}的公比为正数，
所以q＝.所以a1＝＝＝.
答案：B
4．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是( )
A．4 B．3
C．2 D.
解析：设公差为d，则a＝a1a17，
即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，整理，得a1＝2d.
所以＝＝＝3.
答案：B
5．若a、b、c成等比数列，则函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析：∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，函数y＝ax2＋2bx＋c的二次项系数a≠0，且Δ＝(2b)2－4ac＝4(b2－ac)，∴Δ＝4(b2－ac)＝4(ac－ac)＝0.故函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴只有一个交点．故选B.
答案：B
6．等差数列{an}中，公差d≠0，若a1，a3，a9成等比数列，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：∵a＝a1·a9，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴a1＝d.
∴原式＝＝.故选A.
答案：A
二、填空题
7．2和4的等比中项等于________．
解析：设x是2和4的等比中项，则x2＝2×4＝8，
∴x＝±2.
答案：±2
8．若等比数列{an}中，a3＝3，a5＝9，则此数列的公比为________．
解析：q2＝＝＝3，∴q＝±，故应填±.
答案：±
9．等比数列{an}的各项均为正，公比q满足q2＝4，则＝________.
解析：∵{an}为各项为正的等比数列，∴q＝2.
∴＝＝＝＝.故应填 .
答案：
三、解答题
10．{an}为等比数列，求下列各值：
(1)a6－a4＝24，a3a5＝64，求an；
(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
解：(1)设数列{an}的公比为q，
由题意得
由②得a1q3＝±8，
将a1q3＝－8代入①中得q2＝－2(舍去)．
将a1q3＝8代入①中，得q2＝4，q＝±2.
当q＝2时，a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1.
当q＝－2时，a1＝－1，∴an＝a1qn－1＝－(－2)n－1.
∴an＝2n－1或an＝－(－2)n－1.
(2)∵a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
∴或
∴q4＝＝4或.
∴q＝±或q＝±.
11．已知数列{an}满足：lgan＝3n＋5，求证：{an}是等比数列．
证明：由lgan＝3n＋5，得an＝103n＋5，
∴＝＝1000＝常数．
∴{an}是等比数列．
B创新达标
12．(2009·江苏卷)设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
解析：∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1，而{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．
∵{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，
∴{an}中的连续四项依次为－24,36，－54,81，∴q＝－＝－，∴6q＝－9.
答案：－9
13．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解：由已知，得解得d＝2，
则an＝＋1＋(n－1)2＝2n－1＋，
Sn＝n(＋1)＋2＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，∴
∴()2－pr＝0.∴(p－r)2＝0.
∴p＝r与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．课时作业6 数列的递推公式
时间：45分钟 分值：100分
A学习达标
一、选择题
1．已知a1＝2，an＋1＝2an＋3，n∈N*，则a5等于( )
A．37 B．77
C．157 D．317
解析：a1＝2，an＋1＝2an＋3，
∴a2＝7，a3＝17，a4＝37，a5＝77.故选B.
答案：B
2．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a－1，则此数列的前4项和为( )
A．0 B．1
C．2 D．－2
解析：a1＝1，a2＝a－1＝0，a3＝a－1＝－1，a4＝a－1＝0，∴a1＋a2＋a3＋a4＝0.
答案：A
3．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n2an－1(n≥2)，则a5等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：利用相邻两项关系求某一项．
答案：B
4．数列{an}中，已知a61＝2000，且an＋1＝an＋n，则a1等于( )
A．168 B．169
C．170 D．171
解析：∵an＋1－an＝n，∴a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，a61－a60＝60，∴a61－a1＝1＋2＋…＋60，∴a1＝170.
答案：C
5．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a9等于( )
A. B.
C. D.
解析：a1＝∈[，1)，∴a2＝2a1－1＝，
∴a3＝2a2－1＝∈[0，)．
∴a4＝2a3＝，同理a5＝.
a6＝，a7＝，a8＝，a9＝.故选C.
答案：C
6．如图1所示是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键( )
图1
A．6n个 B．4n＋2个
C．5n－1个 D．5n＋1个
解析：各图中的“短线”依次为6,6＋5,6＋5＋5，….
若视6为5＋1，则上述数列为
1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…
于是结构第n个图有化学键应为an＝5n＋1个，故选D.
答案：D
二、填空题
7．{an}满足a1＝1，an＋1＝pan＋q，且a2＝3，a4＝15，则p＝________，q＝________.
解析：a2＝pa1＋q，p＋q＝3，①，a3＝pa2＋q＝3p＋q，a4＝pa3＋q＝p(3p＋q)＋q＝15，②，由①②联立解方程，得p＝2，或－3，∴q＝1或6.
答案：2或－3 1或6
8．已知{an}满足an＝＋1(n≥2)，a7＝，则a5＝________.
解析：a7＝＋1，a6＝＋1，∴a5＝.
答案：
9．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.
解析：a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列为循环数列，∴a1＝a4＝a7＝a10＝a13＝a16＝.
答案：
三、解答题
10．数列{an}中，a1＝a，an＋1＝，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．
解：∵a1＝a，an＋1＝ ∴a2＝，a3＝＝＝同理：a4＝
观察规律：an＝
11．已知数列{an}的首项a1＝3，an－an－1＝4(n>1)，求它的通项公式．
解：由题设，可得a2－a1＝4，a3－a2＝4，a4－a3＝4，…，an－an－1＝4，将上面n－1个等式相加，得an－a1＝4(n－1)．又a1＝3，所以an＝4n－4＋3＝4n－1(n>1)．故数列{an}的通项公式为an＝4n－1(n>1)．
B创新达标
12．已知数列{an}满足：
a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，求an.
解：由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，①
得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝n(n＋1)(n－1)(n≥2)②
①－②得
nan＝3n(n＋1)，
∴an＝3(n＋1)(n≥2)，
当n＝1时，a1＝6适合上式，
∴an＝3(n＋1)．