《分解因式》题型解读2
“提取公因式法”题型
【知识梳理】
1.题型特点：有关“公因式提取”的题目
2.解题方法：
（1）找公因式的方法：①找各系数的最大公因数；②找相同字母的最低次幂；③多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.
（2）用“公因式法”进行因式分解的步骤：①“提”、②“公”、③“分”、④“变”；
【典型例题】
例1．下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A．m?+n?
B．m?+4m+1
C．m?-n
D．m?-2m+1
例2.多项式-2x?-12xy?+8xy?的公因式是（ ）
A．2xy
B．24x?y?
C．-2x
D．2x
例3．下列多项式中能用提公因式法分解的是（ ）
A．x?+y?
B．x?-y?
C．x?+2x+1
D．x?+2x
例4．下列各式中，不含因式a+1的是（ ）
A．a?-1
B．2a?+4a+2
C．a?+a-2
D．a?-2a-3
例5．下列因式分解中，是利用提公因式法分解的是（ ）
A．a?-b?=（a+b）（a-b）
B．a?-2ab+b?=（a-b）?
C．ab+ac=a（b+c）
D．a?+2ab+b?=（a+b）?
例6．
3m（a-b）-9n（b-a）的公因式是_____________
例7．多项式12ab?c-8a?b的公因式是__________
例8．多项式15m?n?+5m?n-20m?n?的公因式是______________
例9．代数式15ax?-15a与10x?+20x+10的公因式是________________
例10．多项式mx?-m与多项式x?-2x+1的公因式是________________
例11．若x?-4x+3与x?+2x-3的公因式为x-c，则c=_________
例12．将-a?b-ab?提公因式后，另一个因式是_________
例13．分解因式（a-b）（a?-ab+b?）-ab（b-a）为________________
例14．已知a+b=3，ab=2，计算：a?b+ab?=____________
例15.计算：计算：
例16．分解因式
（1）因式分解：a2﹣5a= ．
（2）因式分解：2x2﹣8= ．
（3）因式分解：ab+ac= ．
（4）（x+2）x﹣x﹣2= ．
（5）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= 4 ．
（6）分解因式：m2﹣3m= ） ．
（7）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）=
．
（8）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（ ）
A．a（4﹣a2）
B．a（2﹣a）（2+a）
C．a（a﹣2）（a+2）
D．a（2﹣a）2
（9）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（ ）
A．x（x2﹣1）
B．x（1﹣x2）
C．x（x+1）（x﹣1）
D．x（1+x）（1﹣x）
《分解因式》题型解读2
“提取公因式法”题型
【知识梳理】
1.题型特点：有关“公因式提取”的题目
2.解题方法：
（1）找公因式的方法：①找各系数的最大公因数；②找相同字母的最低次幂；③多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.
（2）用“公因式法”进行因式分解的步骤：①“提”、②“公”、③“分”、④“变”；
【典型例题】
例1．下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A．m?+n?
B．m?+4m+1
C．m?-n
D．m?-2m+1
解析:并不是所有的多项式都要以因式分解.一般我们遵循以下步骤来判断是否可以因式分解或进行因式分解：
(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
(2)看看多项式能否采用"十字相乘法"进行因式分解;
(3)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；选项A不符合平方差公式,选项B不符合完全平方公式,选项C没有公因式,而
(4)选项D是一个完全平方公式,故选D
例2.多项式-2x?-12xy?+8xy?的公因式是（ ）
A．2xy
B．24x?y?
C．-2x
D．2x
解析:在找一个多项式的公因式时,要遵循三点:(1)找各系数的最大公因数;(2)找相同字母的最低次幂;(3)多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.答案选C
例3．下列多项式中能用提公因式法分解的是（ ）
A．x?+y?
B．x?-y?
C．x?+2x+1
D．x?+2x
解析：选D，公因式是x；
例4．下列各式中，不含因式a+1的是（ ）
A．a?-1
B．2a?+4a+2
C．a?+a-2
D．a?-2a-3
解析：选项A分解为：(a+1)(a-1)，
选项B分解为：2(a+1)(a+1)，
选项C分解为：(a-1)(a+2)，
选项D分解为：(a+1)(a-3)，
选C.
例5．下列因式分解中，是利用提公因式法分解的是（ ）
A．a?-b?=（a+b）（a-b）
B．a?-2ab+b?=（a-b）?
C．ab+ac=a（b+c）
D．a?+2ab+b?=（a+b）?
解析：选项A：平方差公式，
选项B和选项D：完全平方公式，
选C
例6．
3m（a-b）-9n（b-a）的公因式是_____________
解析：公因式是3(a-b)
例7．多项式12ab?c-8a?b的公因式是__________
解析：公因式是4ab
例8．多项式15m?n?+5m?n-20m?n?的公因式是______________
解析：公因式是5m?n
例9．代数式15ax?-15a与10x?+20x+10的公因式是________________
解析：公因式是5(x+1)
例10．多项式mx?-m与多项式x?-2x+1的公因式是________________
解析：公因式是
(x-1)
例11．若x?-4x+3与x?+2x-3的公因式为x-c，则c=_________
解析：公因式是：(x-1),∴c=1；
例12．将-a?b-ab?提公因式后，另一个因式是_________
解析：公因式是：-ab,∴另一个因式是a+2b；
例13．分解因式（a-b）（a?-ab+b?）-ab（b-a）为________________
解析：原式分解为：(a-b)(
a?
+b?);
例14．已知a+b=3，ab=2，计算：a?b+ab?=____________
解析：原式=ab(a+b)=2×3=6;
例15.计算：计算：
解析：原式=原式=
例16．分解因式
（1）因式分解：a2﹣5a= ．
解：a2﹣5a=a（a﹣5）．
（2）因式分解：2x2﹣8= ．
解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
（3）因式分解：ab+ac= ．
解：ab+ac=a（b+c）．
（4）（x+2）x﹣x﹣2= ．
解：原式=（x+2）（x﹣1）．
（5）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= 4 ．
解：∵a+b=4，ab=1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=1×4=4．
（6）分解因式：m2﹣3m= ） ．
解：m2﹣3m=m（m﹣3）．
（7）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）=
．
解：原式=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1），
（8）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（ ）
A．a（4﹣a2）
B．a（2﹣a）（2+a）
C．a（a﹣2）（a+2）
D．a（2﹣a）2
解：4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．故选：B．
（9）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（ ）
A．x（x2﹣1）
B．x（1﹣x2）
C．x（x+1）（x﹣1）
D．x（1+x）（1﹣x）
解：x﹣x3=x（1﹣x2）=x（1﹣x）（1+x）．故选：D．《分解因式》题型解读3
“平方公式法”题型
【知识梳理】
1.题型特点-----有关能否运用两个平方公式进行因式分解的题目
2.解题方法-----记熟两个平方公式及注意它的各种变形运用
【典型例题】
例1.下列四个多项式：①；②--；③；④，其中能用平方差公式分解因式的有（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③
例2.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3.两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？
例4.利用几何图形可以得到一些相关的代数关系式，请根据右图分解因式：2a?+5ab+2b?=________
例5.分解因式（2x+3）?-x?的结果是（ ）
A．3（x?+4x+3）
B．3（x?+2x+3）
C．（3x+3）（x+3）
D．3（x+1）（x+3）
例6．把ax?-4ay?分解因式正确的是（ ）
A．a（x+2y）（x-2y）
B．a（x-2y）?
C．a（x-4y）?
D．a（x+4y）（x-4y）
例7．分解因式4x?-16y?的结果是（ ）
A．（2x-4y）?
B．（2x-4y）（2x+4y）
C．4（x?-4y?）
D．4（x-2y）（x+2y）
例8．下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．2x?+4x+1
B．4x?-12xy+9y?
C．2x?+4xy+y?
D．x?-y?+2xy
例9．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）
①9a?-1；
②x?+4x+4；
③m?-4mn+n?；
④-a?-b?+2ab；⑤m??mn+n?；⑥（x-y）?-6z（x+y）+9z?．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
例10．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）
A．a?+a+
B．a?+b?-2ab
C．-a?+25b?
D．-4-b?
例11．下列多项式：①4x?+4x；②x?-2xy+4y?；③a?-ab+b?；④-a?+4b?中，能用公式法分解因式的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例12．多项式x?-mxy+9y?能用完全平方因式分解，则m的值是_________
例13．分解因式8a?-8a?+2a的结果是_____________
例14．把多项式4x?y-4xy?-x?分解因式的结果是____________
例15.对于任何整数a，多项式(3a+5)?-4能被下列哪个数整除（
）
A.
9
B.
a
C.
a+1
D.
a-1
例16．如图，用一张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片，三张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙），通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．
（1）你得到的等式是___________________________;
（2）借助拼图的方法，将多项式分解因式
例17．因式分解：
（1）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）= ．
（2）若a+b=4，a﹣b=1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为 ．
（3）若a，b互为相反数，则a2﹣b2= ．
（4）分解因式：a3﹣2a2b+ab2= ．
（5）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
《分解因式》题型解读3
“平方公式法”题型
【知识梳理】
1.题型特点-----有关能否运用两个平方公式进行因式分解的题目
2.解题方法-----记熟两个平方公式及注意它的各种变形运用
【典型例题】
例1.下列四个多项式：①；②--；③；④，其中能用平方差公式分解因式的有（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③
解析：①；
②--=-(+)，不能用平方差公式；
③；
④，是完全平方公式。故选B
例2.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：选项A：，可以；
选项B：，可以；
选项C：，不符合完全平方公式的特征，不能；
选项D：，可以，故选C.
例3.两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？
解析：设这两个连续奇数分别为2n-1,2n+1,
则(2n+1)?-(2n-1)?=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=4n×2=8n,
因为8n能被8整除,
所以任意两个连续奇数的平方差能被8整除
例4.利用几何图形可以得到一些相关的代数关系式，请根据右图分解因式：2a?+5ab+2b?=________
解析:利用几何图形的面积，来验证平方公式及进行因式分解
求此图形的面积第一种方法是：b?+ab+ab+a?+ab+ab+a?+ab+b?，=2a?+5ab+2b?，
求此图形的面积第二种方法是：（a+b+b）（a+a+b），=（a+2b）（2a+b），
这两种方法都表示图形的面积∴2a?+5ab+2b?=（a+2b）（2a+b）．
例5.分解因式（2x+3）?-x?的结果是（ ）
A．3（x?+4x+3）
B．3（x?+2x+3）
C．（3x+3）（x+3）
D．3（x+1）（x+3）
解析：利用平方差公式和公因式法可分解为：(2x+3+x)(2x+3-x)=(3x+3)(x+3)=3(x+1)(x+3)，选D
例6．把ax?-4ay?分解因式正确的是（ ）
A．a（x+2y）（x-2y）
B．a（x-2y）?
C．a（x-4y）?
D．a（x+4y）（x-4y）
解析：利用公因式法和平方差公式可分解为：a(x
2-4y
2)=a(x+2y)(x-2y)，选A
例7．分解因式4x?-16y?的结果是（ ）
A．（2x-4y）?
B．（2x-4y）（2x+4y）
C．4（x?-4y?）
D．4（x-2y）（x+2y）
解析：利用平方差公式和公因式法可分解为：(2x)
?-(4y)?=(2x+4y)(2x-4y)=4(x+2y)(x-2y)，选D
例8．下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．2x?+4x+1
B．4x?-12xy+9y?
C．2x?+4xy+y?
D．x?-y?+2xy
解析：4x?-12xy+9y?=(2x-3y)?,
选B
例9．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）
①9a?-1；
②x?+4x+4；
③m?-4mn+n?；
④-a?-b?+2ab；⑤m??mn+n?；⑥（x-y）?-6z（x+y）+9z?．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：①平方差公式；②可以，分解为(x+2)?；③不可以，中间项的系数不符合；④可以，分解为-(a-b)?；⑤可以，分解为：(m-1/3n)?；⑥不可以，中间项(x+y)的符号不符合，故选B
例10．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）
A．a?+a+
B．a?+b?-2ab
C．-a?+25b?
D．-4-b?
解析：选项A和选项B可以用完全平方公式分解，选C可以用平方差公式分解，选项D：中符号不符合平方差公式，故选D
例11．下列多项式：①4x?+4x；②x?-2xy+4y?；③a?-ab+b?；④-a?+4b?中，能用公式法分解因式的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①是用公因式法分解，不符合；②不可以，中间项的系数不符合完全平方公式；③可以用完全平方公式分解，分解为：(a-1/2b)?；④可以用平方差公式分解，分解为：(2b+a)(2b-a)，故选B.
例12．多项式x?-mxy+9y?能用完全平方因式分解，则m的值是_________
解析：m=±6,注意不能因为中间项有个负号，就把m=-6忽视掉了.
例13．分解因式8a?-8a?+2a的结果是_____________
解析：利用公因式法和完全平方公式可分解为：2a(2a-1)?.
例14．把多项式4x?y-4xy?-x?分解因式的结果是____________
解析：利用公因式法和完全平方公式可分解为：-x(x-2y)?.
例15.对于任何整数a，多项式(3a+5)?-4能被下列哪个数整除（
）
A.
9
B.
a
C.
a+1
D.
a-1
解析：利用平方差公式和公因式法可分解为：(3a+5+2)(3a+5-2)=(3a+7)(3a+3)=3(3a+7)(a+1),∴选C.
例16．如图，用一张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片，三张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙），通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．
（1）你得到的等式是___________________________;
（2）借助拼图的方法，将多项式分解因式
解析：(1)
补割法求长方形面积为：，公式法求长方形面积为：(a+2b)(a+b)，所以得到的等式为：.
（2）可以将面积为的长方形看做是由一张边长为a的正方形纸片、4张边长为b的正方形纸片、5张长为b宽为a的长方形纸片拼成的新的长方形，其长、宽分别为(a+b)、(a+4b)，∴
例17．因式分解：
（1）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）= ．
解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）=（a﹣b）（a2﹣4）=（a﹣b）（a﹣2）（a+2），
（2）若a+b=4，a﹣b=1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为 ．
解：∵a+b=4，a﹣b=1，
∴（a+1）2﹣（b﹣1）2=（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）=（a+b）（a﹣b+2）=4×（1+2）=12．
（3）若a，b互为相反数，则a2﹣b2= ．
解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0．
（4）分解因式：a3﹣2a2b+ab2= ．
解：a3﹣2a2b+ab2=a（a2﹣2ab+b2）=a（a﹣b）2．
（5）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2），=ab（a+b）2，=﹣3×4，=﹣12．《分解因式》题型解读7
材料阅读理解题型
【题型介绍】
在因式分解的各类题型中，有一类很特别的题型，它以材料阅读题的形式，介绍一些分解因式的新方法，以考查同学们的数学阅读理解能力及灵活运用新方法的类比能力.
【典型练习】
例1.阅读并解答：已知多项式的一个因式是，把它分解因式
例2.阅读并解答：对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出m,n后再代入，就可以把多项式因式分解。
（1）求式子中m,n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式
例3.阅读并解答：由多项式乘多项式的法则可得：，即。我们把这个等式叫做多项式乘法的立方和公式。利用这个公式相反方向的变形，我们可以得到：。利用这个结论我们了可以将某些多项式因式分解，如：。试将多项式因式分解，并验证你的结果是否正确。
例4.请观察以下解题过程，分解因式：
例5.先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目。分解因式：
《分解因式》题型解读7
材料阅读理解题型
【题型介绍】
在因式分解的各类题型中，有一类很特别的题型，它以材料阅读题的形式，介绍一些分解因式的新方法，以考查同学们的数学阅读理解能力及灵活运用新方法的类比能力.
【典型练习】
例1.阅读并解答：已知多项式的一个因式是，把它分解因式
解：如图，则,我们把这种分解因式的方法称之为“竖式相除法”，按图表这个思路，试解答下列题目：已知有因式，把它分解因式。
解析：因式分解，即是把一个多项式分解成两个因式的乘积，此小题相当于已知积和一个因式，求另一个因式，有如小学数学中的“已知积和一个因数，求另一个因数，可以用除法”，这里也可以用除法，材料中所说的因式分解的方法“竖式相除法”也就是这个意思，按小学除法竖式计算的方式与格式相除即可，如图，商就是题目所求的另一个因式，被除式=除式×商式，所以多项式分解为：2x
3-7x
2-17x+55=(2x-5)(x
2-x-11).
例2.阅读并解答：对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出m,n后再代入，就可以把多项式因式分解。
（1）求式子中m,n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式
【解析】：
（1）由题可知，原多项式分解成两个因式相乘，并组成了一个等式，即x取任意数时，此等式都会成立，所以采用特殊值法，即题（2）中所说的“试根法”，要假设x=0及x=1代入，即可求出m、n的值；
（2）由题可知，“试根法”需分两步进行：第一步，先找一个让多项式等于0的x值，就可以把多项式分成两个因式的乘积，且一个因式中含有两个字母参数；第二步，再用特殊值法，任取x的两个特殊值，代入即可求出这两个字母参数，多项式也得以分解。
【解答】：
（1）在等式中，
假设x=0、x=1分别代入，即可求出：m=-3，n=-5；
（2）把x=-1代入，可得，
则多项式可分解为：,
假设x=0、x=1分别代入，即可求出：a=4，b=4，
所以
例3.阅读并解答：由多项式乘多项式的法则可得：，即。我们把这个等式叫做多项式乘法的立方和公式。利用这个公式相反方向的变形，我们可以得到：。利用这个结论我们了可以将某些多项式因式分解，如：。试将多项式因式分解，并验证你的结果是否正确。
【解析】：
“套用”立方和公式分解因式即可,再用多项式的乘法（多项式乘多项式）化简合并即可验证。
；
∵
，
∴
例4.请观察以下解题过程，分解因式：
解：以上分解因式的方法称为拆项法，请你运用拆项法分解因式:
【解析】：
由材料所提供的分解方法可知：把多项式先拆出一个完全平方式，且剩下的项是减去一个平方项，这样完全平方式与剩下的平方项，正好组成一个平方差公式，依平方差公式即可分解为两个因式的乘积。
∴
例5.先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目。分解因式：
解：
以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值不变，必须减去同样的一项。按照这个思路，试把多项式分解因式。
【解析】：
由材料所提供的分解方法可知：把原式中的第二项的系数1变为2-1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式，此题介绍的分解因式的方法实质就是添项构造完全平方式。
∴《分解因式》题型解读5
“分组分解法”题型
【题型特点】出现四项或四项以上的多项式因式分解题目
【解题方法】“分组分解法”，也叫“二次分解法”
【方法特征】先给多项式分组，两次运用“提取公式法或公式法”进行因式分解
【典型例题】
例1.先阅读材料，然后回答问题：
用分组分解法分解多项式mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny).组内公因式分别为x,y，组间公因式为(m+n)，最后分解的结果为(m+n)(x+y).
（1）材料中的多项式也可以这样分解：mx+nx+my+ny=_______+______，组内公因式分别为______，组间公因式为______，最后分解的结果为________；
（2）上述两种分组的目的都是_______，分组分解的另一个目的是分组后能运用公因式法分解，请你设计一个关于字母的二次四项式的因式分解，要求用到分组分解法和完全平方公式。
例2.分解下列因式：
例3.有人说，无论x取何实数，代数式的值总是正数，你的看法如何？请说说你的理由.
例4.已知△ABC三边分别是a,b,c，且满足，求△ABC是什么三角形？
例5.将下列多项式因式分解
①
；
②
；
③
；
④
例6.无论a,b取何值，的值都是（
）
A.
正数
B.
负数
C.
零
D.非负数
例7.
已知△ABC三边分别是a,b,c，且满足，求△ABC是什么三角形？
例8.
若△ABC三边分别是a,b,c，且满足，则△ABC是（
）
A.
等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等腰直角三角形
D.
等腰或直角三角形
例9．阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4
………………………………（A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）…………………
（B）
∴c2=a2+b2
……………………………………………..（C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为：
；
（3）本题正确的结论为：
．
《分解因式》题型解读5
“分组分解法”题型
【题型特点】出现四项或四项以上的多项式因式分解题目
【解题方法】“分组分解法”，也叫“二次分解法”
【方法特征】先给多项式分组，两次运用“提取公式法或公式法”进行因式分解
【典型例题】
例1.先阅读材料，然后回答问题：
用分组分解法分解多项式mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny).组内公因式分别为x,y，组间公因式为(m+n)，最后分解的结果为(m+n)(x+y).
（1）材料中的多项式也可以这样分解：mx+nx+my+ny=_______+______，组内公因式分别为______，组间公因式为______，最后分解的结果为________；
（2）上述两种分组的目的都是_______，分组分解的另一个目的是分组后能运用公因式法分解，请你设计一个关于字母的二次四项式的因式分解，要求用到分组分解法和完全平方公式。
【解析】
（1）材料中的多项式也可以这样分解：mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx+ny)，组内公因式分别为m,n，组间公因式为(x+y)，最后分解的结果为(m+n)(x+y)；
（2）上述两种分组的目的都是提取公因式
例：
【点评】
要把多项分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，并提出公因式，从而得到，这时，又有公式因，再提，最终多项式分解成，像这种分解因式的方法叫分组分解法，又叫二次分解法，适合于项数超过三项的多项式因式分解，且在分组之后，先第一次运用“提取公式法或公式法”进行分解，分解变形后，第二次运用“提取公式法或公式法”，即可把多项式分解彻底。
例2.分解下列因式：
【解析】
【点评】将多项式分组后，分别出现平方差公式和有公因式的项，第一次分解后，再次出现公式式(x-3y)，再运用提取公因式法即可求解。
例3.有人说，无论x取何实数，代数式的值总是正数，你的看法如何？请说说你的理由.
【解析】
∵,∴,∴无论x取何实数，代数式的值总是正数
【点评】将多项式分组后，出现完全平方式，运用完全平方公式平方的“非负性”即可求解，实质就是“配方法”。
例4.已知△ABC三边分别是a,b,c，且满足，求△ABC是什么三角形？
【解析】△ABC是等边三角形，理由是：
∵，∴，
即则，∴a-b=0,a-c=0,b-c=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形.
【点评】将多项式分组后，出现完全平方式，运用完全平方公式及平方的“非负性”即可求解，实质就是“配方法”。
例5.将下列多项式因式分解
①
；
②
；
③
；
④
解析:
①
②
③
④
例6.无论a,b取何值，的值都是（
）
A.
正数
B.
负数
C.
零
D.非负数
解析：,选A.
例7.
已知△ABC三边分别是a,b,c，且满足，求△ABC是什么三角形？
解析：∵，
∴，
则，
∴a-b=0,a-4=0,b-1=0，∴a=c=4，
∴△ABC是等腰三角形.
例8.
若△ABC三边分别是a,b,c，且满足，则△ABC是（
）
A.
等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等腰直角三角形
D.
等腰或直角三角形
解析：∵，
∴
当时，即a=b，则△ABC是等腰三角形；
当时，等式可变形为：，
∴△ABC是直角三角形.∴选D.
例9．阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4
………………………………（A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）…………………
（B）
∴c2=a2+b2
……………………………………………..（C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为：
；
（3）本题正确的结论为：
．
【分析】
（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
【解答】
解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．第四章
《分解因式》题型全解读
【知识结构图】
总体解题思维：对照整式乘法的相关知识帮助理解分解因式的知识运用。
归纳：①出现两项的因式分解：考虑提取公因式法和平方差公式法；
②出现三项的因式分解:考虑提取公因式法、完全平方公式法和十字相乘法；
③出现四项或以上的因式分解：考虑分组分解法、配方法；
④求最值的因式分解：配方法；
《分解因式》题型解读1
因式分解识别题型
【知识梳理】
1.题型特点----判别多项式的变形是否是因式分解
2.解题方法----记熟因式分解概念的三条判别标准及不属于因式分解的最常见的六种情形
3.方法特征
（1）因式分解概念的三条判别标准：①是否是多项式分解；②结果是否是整式的乘积；③是否分解彻底；
（2）不属于因式分解的最常见的六种情形见例1.
【典型例题】
例1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（
）
例2.已知多项式2x?+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），求b、c的值.
例3.下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x?+5x-1=x（x+5）-1
B．x?-4+3x=（x+2）（x-2）+3x
C．x?-9=（x+3）（x-3）
D．（x+2）（x-2）=x?-4
例4．从左到右的变形，是因式分解的为（ ）
A．（3-x）（3+x）=9-x?
B．（a-b）（a?+ab+b?）=a?-b?
C．a?-4ab+4b?-1=a（a-4b）+（2b+1）（2b-1）
D．4x?-25y?=（2x+5y）（2x-5y）
例5.下列各式从左到右的变形为分解因式的是（ ）
A．m?-m-6=（m+2）（m-3）
B．（m+2）（m-3）=m?-m-6
C．x?+8x-9=（x+3）（m-3）+8x
D．18x?y?=3x?y??6
例6．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ）
A．（a+1）（a-1）=a?-1
B．-18x?y?=-6x?y??3xy
C．x?+2x+1=x（x+2x）+1
D．a?-6a+9=（a-3）?
例7．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a?-2ab+b?-1=（a-b）?-1
B．2x?+2x=2x?（1+）
C．（x+2）（x-2）=x?-4
D．x?-1=（x?+1）（x+1）（x-1）
例8．若多项式x?+ax+b分解因式的结果为a（x-2）（x+3），则a=________，b=__________
例9．如果多项式x?-mx-35分解因式为（x-5）（x+7），则m的值为_________
例10．若多项式x?+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则2m-n为________________
第四章
《分解因式》题型全解读
【知识结构图】
总体解题思维：对照整式乘法的相关知识帮助理解分解因式的知识运用。
归纳：①出现两项的因式分解：考虑提取公因式法和平方差公式法；
②出现三项的因式分解:考虑提取公因式法、完全平方公式法和十字相乘法；
③出现四项或以上的因式分解：考虑分组分解法、配方法；
④求最值的因式分解：配方法；
《分解因式》题型解读1
因式分解识别题型
【知识梳理】
1.题型特点----判别多项式的变形是否是因式分解
2.解题方法----记熟因式分解概念的三条判别标准及不属于因式分解的最常见的六种情形
3.方法特征
（1）因式分解概念的三条判别标准：①是否是多项式分解；②结果是否是整式的乘积；③是否分解彻底；
（2）不属于因式分解的最常见的六种情形见例1.
【典型例题】
例1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（
）
例2.已知多项式2x?+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），求b、c的值.
【解析】逆向考查多项式的因式分解，用整式的乘法解答。
由题意可知:
2x?+bx+c=2（x-3）（x+1）
=2(x?-2x-3)
=2x?-4x-6.
所以:
b=-4,c=-6
例3.下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x?+5x-1=x（x+5）-1
B．x?-4+3x=（x+2）（x-2）+3x
C．x?-9=（x+3）（x-3）
D．（x+2）（x-2）=x?-4
解析：选项A：结果不是乘积式；
选项B：结果不是乘积式；
选项D：结果不是乘积式；
选C.
例4．从左到右的变形，是因式分解的为（ ）
A．（3-x）（3+x）=9-x?
B．（a-b）（a?+ab+b?）=a?-b?
C．a?-4ab+4b?-1=a（a-4b）+（2b+1）（2b-1）
D．4x?-25y?=（2x+5y）（2x-5y）
解析：选项A：结果不是乘积式；
选项B：结果不是乘积式；
选项C：结果不是乘积式；
选D.
例5.下列各式从左到右的变形为分解因式的是（ ）
A．m?-m-6=（m+2）（m-3）
B．（m+2）（m-3）=m?-m-6
C．x?+8x-9=（x+3）（m-3）+8x
D．18x?y?=3x?y??6
解析：选项B：结果不是乘积式；
选项C：结果不是乘积式；
选项D：不是多项式的分解；
选A.
例6．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ）
A．（a+1）（a-1）=a?-1
B．-18x?y?=-6x?y??3xy
C．x?+2x+1=x（x+2x）+1
D．a?-6a+9=（a-3）?
解析：选项A：结果不是乘积式；
选项B：不是多项式的分解；
选项C：结果不是乘积式；
选D.
例7．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a?-2ab+b?-1=（a-b）?-1
B．2x?+2x=2x?（1+）
C．（x+2）（x-2）=x?-4
D．x?-1=（x?+1）（x+1）（x-1）
解析：选项A：结果不是乘积式；
选项B：结果不是整式的乘积；
选项C：结果不是乘积式；
选D.
例8．若多项式x?+ax+b分解因式的结果为a（x-2）（x+3），则a=________，b=__________
解析：x?+ax+b=a（x-2）（x+3）
=ax?+ax-6a,
∴a=1,b=-6.
例9．如果多项式x?-mx-35分解因式为（x-5）（x+7），则m的值为_________
解析：x?-mx-35=（x-5）（x+7）
=x?+2x-35,
∴m=-2.
例10．若多项式x?+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则2m-n为________________
解析：x?+mx+5=（x+5）（x+n）
=x?+(5+n)x+5n,
∴n=1,m=6,
∴2m-n=11.《因式分解》题型解读6
“十字相乘分解法”题型
【知识要点】
1.
2.方法特征：“拆第一项和第三项系数，交叉相乘得中间项系数”
3.解题注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：①没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；②由十字相乘写出的因式漏写字母．
【典型例题】
例1.把下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）
例2.把下列各式分解因式
例3.要在二次三项式的□中填上一个整数，使它能按型分解为的形式，那么这些数只能是（
）
A.
1，-1
B.
5，-5
C.
1，-1，5，-5
D.
以上答案都不对
例4．多项式可分解为，则
例5．不能用十字相乘法分解的是(
)
A．
B．
C．
D．
例6．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是
( )
A．
B．
C．
D．
例7．分解因式：2x3﹣6x2+4x= ．
例8．如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
《因式分解》题型解读6
“十字相乘分解法”题型
【知识要点】
1.
2.方法特征：“拆第一项和第三项系数，交叉相乘得中间项系数”
3.解题注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：①没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；②由十字相乘写出的因式漏写字母．
【典型例题】
例1.把下列各式分解因式：
（1）
解析：
（2）
解析：
（3）
解析：
例2.把下列各式分解因式
解析：
（1）
例3.要在二次三项式的□中填上一个整数，使它能按型分解为的形式，那么这些数只能是（
）
A.
1，-1
B.
5，-5
C.
1，-1，5，-5
D.
以上答案都不对
解析：.解析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：□中填上的整数应该是-6的两个因数的和，而-6可以分成：(-2)×3、2×（-3）、（-1）×6、1×（-6），所以□可填的数只能是：1、-1、5、-5，选C
例4．多项式可分解为，则
解析：解析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：（-5）+（-b）=-3，（-5）×（-b）=a，∴b=-2,a=-10；
例5．不能用十字相乘法分解的是(
)
A．
B．
C．
D．
解析：选项B不可以用十字相乘法，它合并后多项式只有两项，能运用十字相乘法的是三项式。
例6．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是
( )
A．
B．
C．
D．
解析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：（-4）+（-5）=-9，是中间项系数，（-4）×（-5）=20，是常数项，选D.
例7．分解因式：2x3﹣6x2+4x= ．
【分析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】
解：2x3﹣6x2+4x
=2x（x2﹣3x+2）
=2x（x﹣1）（x﹣2）．
故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）．
例8．如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
【解答】（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即x2+5x+6，
同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），
所以x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
故答案为：x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CH，
∴CH＝＝＝；
答：CH的长为；
（3）证明：如图（4），
∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC，
∴AB?CH＝AB?OM+AC?ON，
∵AB＝AC，
∴CH＝OM+ON．
即OM+ON＝CH．《分解因式》题型解读4
“因式是否正确分解”识别题型
【题型特点】判别多项式的分解是否正确
【解题方法】记熟因式分解中最常见的八种错误情形
【典型例题】
例.下列因式分解正确的是（
）
A.
→→→→注：没提干净，还可以提取公因式a：ab(a+5)；
B.
→→→→注：3ab全部提完后，还剩1：3ab(4abc-3a+1)；
C.
→→→→注：没分解彻底：3n(m+1)(m-2)；
D.
→→→→注：首项为负，没提负：-x(x-y+z)；
E.
→→→→注：提负没变号：-3m(x+2y)；
F.
→→→→注：变，因奇数次幂要变号：
=；
G.
→→→→注：变，因偶数次幂不用变号：
=；
H.
→→→→注：分解错误；
M.
→→→→注：正确；
故选M
例2.下列因式分解正确的是（ ）
A．a?-b?=（a-b）?
B．x?+4y?=（x+2y）?
C．2-8a?=2（1+2a）（1-2a）
D．x?-4y?=（x+4y）（x-4y）
例3.下列因式分解正确的是（ ）
A．x?+y?=（x+y）?
B．y?-x?=（x+y）（y-x）
C．x?+2xy-y?=（x-y）?
D．x?-2xy+y?=（x+y）（x-y）
例4.下列因式分解正确的是（ ）
A．x?-x=x（x-1）
B．x?-y?=（x-y）?
C．-4x?+9y?=（2x+3y）（2x-3y）
D．x?+6x+9=（x+3）?
例5.下列各式的因式分解中正确的是（ ）
A．-a?+ab-ac=-a（a+b-c）
B．9xyz-6x?y?=3xyz（3-2xy）
C．3a?x-6bx+3x=3x（a?-ab）
D．xy?+x?y=xy（x+y）
例6.下列分解因式结果正确的是（ ）
A．a?b+7ab-b=b（a?+7a）
B．3x?y-3xy+6y=3y（x?-x-2）
C．8xyz-6x?y?=2xyz（4-3xy）
D．-2a?+4ab-6ac=-2a（a-2b+3c）
例7.把x?-xy?分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x+xy）（x-xy）
B．x（x?-y?）
C．x（x-y?）
D．x（x-y）（x+y）
例8.下列代数式3（x+y）?-27（x+y）因式分解的结果正确的是（ ）
A．3（x+y）（x+y+3）（x+y-3）
B．3（x+y）[（x+y）?-9]
C．3（x+y）（x+y+3）?
D．3（x+y）（x+y-3）?
例9.分解因式（a?+1）?-4a?，结果正确的是（ ）
A．（a?+1+2a）（a?+1-2a）
B．（a?-2a+1）?
C．（a-1）?
D．（a+1）?（a-1）?
例10．下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣x2+4x=﹣x（x+4）
B．x2+xy+x=x（x+y）
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2
D．x2﹣4x+4=（x+2）（x﹣2）
例11．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美
B．宜晶游
C．爱我宜昌
D．美我宜昌
《分解因式》题型解读4
“因式是否正确分解”识别题型
【题型特点】判别多项式的分解是否正确
【解题方法】记熟因式分解中最常见的八种错误情形
【典型例题】
例.下列因式分解正确的是（
）
A.
→→→→注：没提干净，还可以提取公因式a：ab(a+5)；
B.
→→→→注：3ab全部提完后，还剩1：3ab(4abc-3a+1)；
C.
→→→→注：没分解彻底：3n(m+1)(m-2)；
D.
→→→→注：首项为负，没提负：-x(x-y+z)；
E.
→→→→注：提负没变号：-3m(x+2y)；
F.
→→→→注：变，因奇数次幂要变号：
=；
G.
→→→→注：变，因偶数次幂不用变号：
=；
H.
→→→→注：分解错误；
M.
→→→→注：正确；
故选M
例2.下列因式分解正确的是（ ）
A．a?-b?=（a-b）?
B．x?+4y?=（x+2y）?
C．2-8a?=2（1+2a）（1-2a）
D．x?-4y?=（x+4y）（x-4y）
解析：选项A：分解错误；选项B：分解错误；选项D：分解错误；选C.
例3.下列因式分解正确的是（ ）
A．x?+y?=（x+y）?
B．y?-x?=（x+y）（y-x）
C．x?+2xy-y?=（x-y）?
D．x?-2xy+y?=（x+y）（x-y）
解析：选项A：分解错误；选项C：分解错误；选项D：分解错误；选B.
例4.下列因式分解正确的是（ ）
A．x?-x=x（x-1）
B．x?-y?=（x-y）?
C．-4x?+9y?=（2x+3y）（2x-3y）
D．x?+6x+9=（x+3）?
解析：选项A：分解错误；选项B：分解错误；选项C：首项没提负；选D.
例5.下列各式的因式分解中正确的是（ ）
A．-a?+ab-ac=-a（a+b-c）
B．9xyz-6x?y?=3xyz（3-2xy）
C．3a?x-6bx+3x=3x（a?-ab）
D．xy?+x?y=xy（x+y）
解析：选项A：提负没变号；选项B：提取错误；选项C：提取错误；选D.
例6.下列分解因式结果正确的是（ ）
A．a?b+7ab-b=b（a?+7a）
B．3x?y-3xy+6y=3y（x?-x-2）
C．8xyz-6x?y?=2xyz（4-3xy）
D．-2a?+4ab-6ac=-2a（a-2b+3c）
解析：选项A：全部提完没留1；选项B：没分解彻底；选项C：没提干净；选D.
例7.把x?-xy?分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x+xy）（x-xy）
B．x（x?-y?）
C．x（x-y?）
D．x（x-y）（x+y）
解析：x?-xy?=x(x?-y?)=x(x+y)(x-y)；选D.
例8.下列代数式3（x+y）?-27（x+y）因式分解的结果正确的是（ ）
A．3（x+y）（x+y+3）（x+y-3）
B．3（x+y）[（x+y）?-9]
C．3（x+y）（x+y+3）?
D．3（x+y）（x+y-3）?
解析：3（x+y）?-27（x+y）=3(x+y)[(x+y)?-9]=3(x+y)(x+y+3)(x+y-3)；选A.
例9.分解因式（a?+1）?-4a?，结果正确的是（ ）
A．（a?+1+2a）（a?+1-2a）
B．（a?-2a+1）?
C．（a-1）?
D．（a+1）?（a-1）?
解析：（a?+1）?-4a?=(a?+1+2a)(a?+1-2a)=
（a+1）?（a-1）?；选D.
例10．下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣x2+4x=﹣x（x+4）
B．x2+xy+x=x（x+y）
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2
D．x2﹣4x+4=（x+2）（x﹣2）
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式分别分析得出答案．
【解答】
A、﹣x2+4x=﹣x（x﹣4），故此选项错误；
B、x2+xy+x=x（x+y+1），故此选项错误；
C、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项正确；
D、x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故此选项错误；
故选：C．
例11．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美
B．宜晶游
C．爱我宜昌
D．美我宜昌
【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．
【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），
∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，
∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，
故选C．
