(共54张PPT)
第三章
函数的应用
3．2 函数模型及其应用
3．2.2 函数模型的应用举例
1.对指数函数、对数函数的应用作简单的了解．
2．幂函数、分段函数模型的应用是本节的重点，应重点掌握．
3．建立函数模型解决实际应用问题是高考的重点，应认真对待.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．应用函数模型解决问题的基本过程
自 我 检 测
1．今有一组数据，如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是( )
A．指数函数 B．反比例函数
C．一次函数 D．二次函数
解析：画出散点图，结合图象可见各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．
答案：C
2．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次由一个分裂成两个，这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过的小时数为( )
A．12小时 B．4小时
C．3小时 D．2小时
解析：设需要x个15分钟，由题意2x＝4096，∴x＝12.
∴共需15×12＝180分钟，选C.
答案：C
3．某工厂2006年生产一种产品2万件，计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是________年．(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )
A．2015 B．2016
C．2017 D．2018
解析：此题是平均增长率问题的变式考题，哪一年的年产量超过12万件，其实就是求在2006年的基础上再过多少年其年产量大于12万件．
设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件，
根据题意，得2(1＋20%)n>12，即1.2n>6，两边取对数，得nlg1.2>lg6.
答案：B
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 利用已知函数模型解决问题
[例1] 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力信赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲授开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
[解] (1)当0
f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.
故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为
f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16f(x)<－3×16＋107＝59.
因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.
(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f(5)．
因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些．
(3)当0则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.
所以x＝20或x＝6.
但0当16[点评] 本题是常数函数、一次函数、二次函数混合在一起的分段函数，自变量的取值不同函数解析式可能不一样，这一点要特别注意．另外，函数的最值也是通过先求每一段的最值，然后再作比较而求得．
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？并求此时每台产品的售价为多少？
类型二 建立函数模型解决问题
[例2] 随着我国加入WTO，某市某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)
项目
类别 年固定成本 每件产
品成本 每件产品销售价 每年可最多生产的件数
甲产品 20 a 10 200
乙产品 40 8 18 120
其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3≤a≤8.另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(x∈N)之间的函数关系；
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；
(3)如何决定投资可获最大年利润．
[解] (1)y1＝(10－a)x－20 (1≤x≤200，x∈N*)，
y2＝－0.05x2＋10x－40 (1≤x≤120，x∈N*)．
(2)∵10－a>0，故y1为关于x的增函数，
∴x＝200时，y1获得最大年利润S1＝1980－200a万美元，
y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)．
∴x＝100时，y2获得最大利润，S2＝460万美元．
(3)S1－S2＝200(7.6－a)，故当3≤a<7.6时，S1>S2，投资生产200件甲产品可获较大利润．
a＝7.6时S1＝S2，投资200件甲产品与100件乙产品可获相同利润，
7．6(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)当140类型三 建立拟合函数模型解决问题
[例3] 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字)．
[分析] 只给出数据，没明确函数关系，这样就需要准确的画出散点图．然后根据图形选择合适的函数模型来解决实际问题．
[解] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图2所示．
观察散点图可以看出，A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图2①所示．
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A、B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
[点评] 根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题，这是本节新的解题思路．请同学们在用待定系数法求解析式时，选择其它数据点，观察结果的差异．
变式体验3 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进入市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数t及最低种植成本？
解：(1)由所提供的数据知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数，故用上述四个函数中任意一个来反映时都应有a≠0，而函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt均为单调函数，这与表格所给数据不符合，所以应选择二次函数y＝at2＋bt＋c，将上述表格中的数据代入可得：
思 悟 升 华
1．建立数学模型是解决数学问题的主要方法．对于确定性函数模型，只需对应用问题进行定量分析，这类问题相对简单．
2．对于已经过提炼加工，忽略了次要因素，保留下来的诸因素之间的数量关系比较清楚的实际问题，建立函数模型，解决实际问题，只要学会阅读题目，分析条件，归纳出变量之间的函数关系，写出函数关系式即可．
3．建立拟合函数模型解决实际问题，其基本过程是
图3
4．在根据数据特点选择函数模型时，由于应用问题本身的繁杂性、开放性，根据自己理解所建立的模型也有局限性，最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修正模型，直到满意为止．
但有时由于要面临的问题比较复杂，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，可利用表中数据输入计算器或计算机，然后通过拟合功能选择合适的函数模型．
由于选择的数据不同，有时从收集的数据中得到的拟合模型结果会有所差别，但只要误差在允许范围内就认为是合适的．
课时作业（25）(共37张PPT)
第三章
函数的应用
3.1 函数与方程
3．1.2 用二分法求方程的近似解
1.能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法．
2．理解二分法的步骤与思想.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)；
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
思考感悟
能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？
提示：不能．看一个函数能否用二分法求其零点关键要看是否具备应用二分法的条件，即函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号．
自 我 检 测
1．以下函数图象中，不能用二分法求函数零点的是( )
答案：D
2．下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可求函数所有零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有在求函数零点时才用二分法
答案：B
答案：B
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________.
解析：∵f(0)<0，f(0.5)>0，
∴f(0)·f(0.5)<0，
故f(x)在(0,0.5)内必有零点．
答案：(0,0.5)
解：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 用二分法求方程的近似解
[例1] 借助计算器或计算机，用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x，在区间(1,2)内的近似解(精确度0.1)．
[解] 原方程即ln(2x＋6)＋2－3x＝0，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表如下：
x －2 －1 0 1 2
f(x) 2.5820 3.0530 2.7918 1.0794 －4.6974
由上表可以知道f(1)f(2)<0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，
用计算器可得f(1.5)≈－1.00，
由于f(1)f(1.5)<0，那么x0∈(1,1.5)，
再取(1,1.5)的中点x2＝1.25，
用计算器可得f(1.25)≈0.19，
由于f(1.25)f(1.5)<0，
那么x0∈(1.25,1.5)，
同理，可得x0∈(1.25,1.375)，x0∈(1.25,1.3125)．
由于|1.3125－1.25|<0.1，所以方程ln(2x＋6)＋2＝3x在区间(1,2)内的近似解为1.3125.
[点评] 由方程f(x)＝0设函数y＝f(x)，在给定区间上判断是否存在零点，当存在零点时，用二分法依次取中点求值判断，直到x的值符合精确度要求为止．用二分法找函数的零点体现了逐步逼近的数学思想．通过不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而找到零点近似值．
变式体验1 利用计算器，求方程x3＋lgx＝18的近似解(精确度0.1) .
解：这个解记为x0，
设f(x)＝18－x3－lgx，用计算器计算，得
f(2)>0，f(2.5)>0，f(3)<0，则x0∈(2.5,3)．
又f(2.5)>0，f(2.75)<0，则x0∈(2.5,2.75)．
f(2.5)>0，f(2.625)<0，x0∈(2.5,2.625)，
f(2.5625)>0，f(2.625)<0，则x0∈(2.5625,2.625)．
由于|2.5625－2.625|<0.1，所以原方程的近似解为x0＝2.5625.
类型二 用二分法求函数零点的近似值
[例2] 判断函数y＝x3－x－1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断；
②精确度0.1解答本题在判断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解．
[解] 因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点值 中点函数近似值
(1,1.5) 1.25 －0.3
(1.25,1.5) 1.375 0.22
(1.25,1.375) 1.3125 －0.05
(1.3125,1.375) 1.34375 0.08
由于|1.34375－1.3125|＝0.03125<0.1，
所以函数的一个近似零点可取1.3125.
变式体验2 求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)．
解：由于f(－2)＝－1<0，
f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：
由于|－2.25－(－2.1875)|＝0.0625<0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.
区间 中点 中点函数值(或近似值)
(－3，－2) －2.5 1.25
(－2.5，－2) －2.25 0.0625
(－2.25，－2) －2.125 －0.4844
(－2.25，－2.125) －2.1875 －0.2148
(－2.25，－2.1875) －2.21875 －0.0771
类型三 二分法的实际应用
[例3] 一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？
[解] 对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的．如图1所示，只需选线路AB的中点C，然后判断出焊接点脱落处所在的线路是AC还是BC，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置．根据二分法的思想，具体分析如下：
第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个，
第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个，
第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个，
第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个，
第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个，
第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个，
所以至多需要检测6次．
[点评] 本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度(或焊接点个数)减半，就逐步逼近了函数的零点(或焊接点脱落处)，从而使问题得到解决．
变式体验3 2008年初我国南方遭遇了50年不遇的雪灾．雪灾发生后，停水断电，交通受阻．一日，某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
解：可以利用二分法的思想进行方案的设计．
如图2，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，断定故障在BC段，
再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段，
再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可容易找到．
思 悟 升 华
1．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同，精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，此时区间内的任意值可作为零点的近似值；否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．
2．用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标，区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间．
3．用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小；二是随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．
课时作业（23）(共40张PPT)
第三章
函数的应用
本章小结
网 络 建 构
知 识 归 纳
1．方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判断方法．
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是f(x)＝0的根．
3．二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4．几种不同增长的函数模型．
(1)一次函数型模型：y＝kx＋b(k≠0)；
(2)二次函数型模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(3)指数函数型模型：y＝abx＋c(a≠0)；
(4)对数函数型模型：y＝mlogax＋n(m≠0，且a>0，a≠1，x>0)；
(5)幂函数型模型：y＝axn＋b(a≠0)．
5．函数模型的应用实例．
根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程如下：
(1)收集数据；
(2)画散点图；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验；
(6)若符合实际就解决了问题，不符合就回到(3)重新选择模型．
热 点 剖 析
一、方程的根与函数的零点
一般结论：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
函数值变号——零点具有的性质：
对于任意函数y＝f(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有：
①当它通过零点时(不是二重零点)，函数值变号．如函数f(x)＝x2－2x－3的图象在零点－1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点－1时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正．
②在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号．
注意：函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程f(x)＝0没有实数根，则函数f(x)没有零点．
[例1] 若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
[分析] 要判断某区间上是否有零，关键判断区间端点函数值的符号，若异号，必有零点．
[解析] ∵f(1)f(2)f(4)<0
∴f(1)，f(2)，f(4)中有奇数个负数
因此f(1)，f(2)，f(4)中有一个或三个负数
又f(0)>0
∴在(0,4)内有零点．
其他区间(0,1)，(1,2)，(0,2)内不一定有零点．故选D.
[答案] D
[例2] 已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(aA．mC．a[分析] 由m，n是f(x)的零点知f(m)＝f(n)＝0，采用数形结合法知，f(x)的零点实际上就是(x－a)(x－b)＝1的根，即y＝(x－a)(x－b)与y＝1交点的横坐标．
[解] 作出y＝1与y＝(x－a)(x－b)的图象如图1.
由图得知m[答案] A
[例3] 若方程|ax|＝x＋a(a>0)有两个解，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(0，＋∞) D．
[解析] 分三种情况，在同一坐标系中画出y＝|ax|和y＝x＋a的图象如下：
图2
结合图象可知方程|ax|＝x＋a有两个解时有a>1.
[答案] A
[例4] 已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
[分析] 可结合二次函数的图象找到等价条件．
[解] 令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，
(1)由题意知抛物线与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图3所示．
二、函数模型及应用
把握函数模型的应用实例类型的分类，熟练掌握不同类型应用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给定的函数模型解决实际问题；2.建立确定性函数模型解决问题；3.建立拟合函数模型解决实际问题．
[例6] 从2004年8月1日起执行新的居民生活用电价格，一户一表居民用户将实施阶梯式累进电价：
月用电量低于50千瓦时(含50千瓦时)的部分，电价每千瓦时0.53元；
月用电量在51～200千瓦时的部分，电价每千瓦时上调0.03元；
月用电量超过200千瓦时的部分，电价每千瓦时上调0.10元．
双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行．对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半按照调整后新电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量．
居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调0.02元．
小明家属一户一表居民用户，将实施阶梯式累进电价.7月份至10月份的电费缴费情况如下表：
计算日期 上期
示度 本期
示度 用电量
(千瓦时) 电费
(元)
2004—08—10 3230 3296 66 34.98
2004—09—10 3296 3535 239 135.07
2004—10—10 3535 3850 315 182.95
2004—11—10 3850 3965 115 62.9
(1)解析小明家9月份电费的详情；
(2)根据上述资料对阶梯式累进电价建构数学模型并画出图象；
(3)若小明家属一户一表居民用户双月抄表，试分析这4个月的电费缴费情况；
(4)若小明家属集体用户，试分析这4个月的电费缴费情况，并比较三种情况下小明家这4个月的电费缴费的多少．
[解] (1)基本部分：239×0.53＝126.67元．
调价部分：51～200千瓦时之间调价部分：(200－50)×0.03＝4.5元．
超过200千瓦时的调价部分：(239－200)×0.10＝3.9元．
合计调价部分电费：4.5＋3.9＝8.4元．
合计电费：126.67＋8.4＝135.07元．
(3)8、9月份电量抄见：66＋239＝305千瓦时，
应缴电费：305÷2×0.53＋305÷2×0.53＋(305÷2－50)×0.03＝164.725元；
10、11月份电量抄见：315＋115＝430千瓦时，
应缴电费：430×0.53＋300×0.03＋30×0.10＝239.9元．
(4)7月份应缴电费：34.98元，
8至10月份应缴电费：
(239＋315＋115)×0.55＝367.95元，
合计：34.98＋367.95＝402.93元．
当月抄表合计缴费：
34．98＋135.07＋182.95＋62.9＝415.9元，
双月抄表合计缴费：164.725＋239.9＝404.625元．
所以，小明家若属双月抄表用户比当月抄表可少付电费11.275元．
小明家若属集体用户比当月抄表可少付电费12.97元，比双月抄表可少付电费1.695元．(共42张PPT)
第三章
函数的应用
本章视点
数学中的函数知识是与生产实践及生活实际密切相关的，不同的函数从不同角度反映了自然界中变量与变量间的依存关系．
在高中数学新课程标准中，系统地安排了函数应用这一章，其目的是让理论与实际相结合，能运用函数的思想理解和处理现实中的相关问题，培养解决实际问题的能力．
在此基础上运用函数思想研究函数的零点和方程解的关系，初步建立用函数观点看待实际问题的思路，用函数的模型解决实际问题的方法，将实际问题中的客观现象用函数表示，对现象进行分析和解释，明确现象的规律和特征．
本章主要内容如下：
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程的存在性及根的个数．
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
1.对函数图象与x轴交点与方程根的关系，简单的了解即可．
2．对函数零点的概念要理解，函数零点的求法一定要掌握．
3．零点存在性及函数零点个数的判定是本节重点，在高者中经常出现，应引起高度重视.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．方程的根与函数的零点
(1)函数零点的概念．
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫函数y＝f(x)的零点．函数的零点是一个实数．
(2)方程的根与函数零点的关系．
求函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判断
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
思考感悟
1．函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？
提示：函数的零点不是点，而是对应方程的根；并不是任何函数都有零点，如函数y＝x2＋x＋1就没有零点．
2．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)>0，在区间(a，b)上就没有零点吗？
提示：当f(a)f(b)<0时，则在(a，b)上一定有零点，但不一定说明有几个，可以有若干个，至少有一个．但并不是说当f(a)f(b)>0时，在(a，b)上就没有零点，当f(a)f(b)>0时，(a，b)上亦可能有零点．并且当f(a)f(b)<0时，(a，b)上也不一定只有一个零点，若另有f(x)在(a，b)上单调，可说明f(x)在(a，b)上有一个零点．
答案：B
2．函数y＝x2－3x＋1的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
答案：C
3．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上( )
A．至少有三个零点 B．可能有两个零点
C．没有零点 D．必有唯一的零点
答案：D
4．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1
解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，故判别式Δ＝4－4a<0，解得a>1.
答案：B
5．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数所有零点之和为__________．
解析：∵f(x)为偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)的零点也关于y轴对称，
∴即零点之和为0.
答案：0
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 函数零点的概念及求法
[例1] 求函数y＝－x2－2x＋3的零点，并指出y>0，y<0时，x的取值范围．
[解] 如图1所示，解二次方程
－x2－2x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝1，
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3,1.
y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当－30；当x<－3或x>1时，y<0.
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3,1.
当y>0时，x的取值范围是(－3,1)；
当y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
[点评] 函数的零点即对应方程的根．本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2＋bx＋c>0(<0)的解集，体现了数形结合的思想方法．
变式体验1 (1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a、b的值．
(2)若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
类型二 函数零点的判断
[例2] 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；
(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
[分析] 零点的存在性判断可依据零点的存在性定理，有时也可以结合图象进行判断．
[解] (1)法1：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝64－24－18＝22>0.
∴f(1)·f(8)<0，∴f(x)在[1,8]内存在零点．
法2：令x2－3x－18＝0，得x＝6或x＝－3.又6∈[1,8]．
∴函数f(x)在[1,8]内存在零点．
(2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝8－2－1＝5>0，
∴f(－1)·f(2)<0，
∴函数f(x)在[－1,2]内存在零点．
变式体验2 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解：解法1：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，
故f(x)有且只有一个实根．
解法2：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．
由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
点评：判断函数零点个数的方法主要有：
①用计算器或计算机计算并描点作出函数f(x)＝g(x)－h(x)的图象，由图象、函数的单调性及零点的判断方法作出判定，如本例法一；
②由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的叠合图，利用图象判定方程根的个数，如本例法二；在实际运用中，大多数选用法二．
类型三 函数零点的应用
[例3] 函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，求p的取值范围．
[分析] 二次函数的零点即函数图象与x轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究．
[解] 解法1：记f(x)＝x2＋2px＋1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在(1,0)的左方，另一个在(1,0)的右方，
∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0.
∴p<－1.
∴p的取值范围为(－∞，－1)．
变式体验3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的值．
分析：设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数的性质加以限制，通过解不等式组来解决．
思 悟 升 华
1．对于函数零点的概念，应注意以下几点问题：
(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．
(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
2．对函数零点的判定定理的理解
(1)函数零点的判定定理是一个存在性定理，也就是说，当函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，而不是只有一个，即方程f(x)＝0在(a，b)上至少有一个根．例如，如图4(1)所示，f(x)＝x3－3x2＋2x，有f(－1)＝－6<0，f(3)＝6>0，但f(x)＝0在(－1,3)内有三个根：x1＝0，x2＝1，x3＝2.
3．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
课时作业（22）