2020-2021学年高一下学期人教A版（2019）必修第二册第十章概率 单元质量测评

第十章　单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件的个数是(　　)
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.
A．1 B．2
C．3 D．4
2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
3．对于同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是 (　　)
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
4．若“A∪B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则，同时发生的概率为(　　)
A．0.6 B．0.36
C．0.24 D．0.4
5．两名实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A. B．
C. D．
6．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
7．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)
A. B．
C. D．
8．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位：个)，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2名进行培训，则这2名工人不在同一组的概率是(　　)
A. B．
C． D．
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是(　　)
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
10．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两枚骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法(　　)
A．公平，每个班被选到的概率都为
B．不公平，6班被选到的概率最大
C．不公平，2班和12班被选到的概率最小
D．不公平，7班被选到的概率最大
11．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是(　　)
A．颜色相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 D．无红球
12．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作掷骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配不合理的是(　　)
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录落在桌面的数字，得到如下频数表：
落在桌面的数字 1 2 3 4 5
频数 32 18 15 13 22
则落在桌面的数字不小于4的频率为____.
14．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为____.
15．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是____.
16．将号码分别为1,2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a－2b＋10>0成立的事件发生的概率等于____.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
顾客人数商品 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
18．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：人)：
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
19．(本小题满分12分)某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])：
(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；
(2)求这次考试平均分的估计值；
(3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．
20．(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字不同外其他完全相同．现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
21．(本小题满分12分)已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试互不影响．求：
(1)3人都通过体能测试的概率；
(2)只有2人通过体能测试的概率；
(3)只有1人通过体能测试的概率．
22．(本小题满分12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用比例分配的分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用按比例分配的分层随机抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分为：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
第十章　单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件的个数是(　　)
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．故选B.
2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案　A
解析　由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．
3．对于同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是 (　　)
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
答案　C
解析　∵事件A，B不可能同时发生，但必有一个发生，∴事件A，B的关系是互斥且对立．
4．若“A∪B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则，同时发生的概率为(　　)
A．0.6 B．0.36
C．0.24 D．0.4
答案　D
解析　“A∪B”发生指A，B中至少有一个发生，它的对立事件为A，B都不发生，即，同时发生．故选D.
5．两名实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A. B．
C. D．
答案　B
解析　所求概率为P＝×＋×＝或P＝1－×－×＝.
6．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
答案　D
解析　设2名男同学为A1，A2,3名女同学为B1，B2，B3，从以上5名同学中任选2人总共有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种等可能的情况，选中的2人都是女同学的情况共有B1B2，B1B3，B2B3 3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为P＝＝0.3.故选D.
7．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(5,2,2)，共有10种等可能的情况．而丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2,4,3)，(2,5,2)，(3,3,3)，(3,4,2)，共4种，故所求概率为＝，故选C.
8．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位：个)，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2名进行培训，则这2名工人不在同一组的概率是(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　根据频率分布直方图可知，生产产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2，5×0.04×20＝4.设生产产品的数量在[10,15)内的2人分别是A，B，[15,20)内的4人分别为C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机选取2名工人的样本点有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的.2名工人不在同一组的样本点有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8个，则选取的2名工人不在同一组的概率为.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是(　　)
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
答案　BCD
解析　概率表示某个随机事件发生的可能性大小，因此B，C，D正确，A错误．
10．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两枚骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法(　　)
A．公平，每个班被选到的概率都为
B．不公平，6班被选到的概率最大
C．不公平，2班和12班被选到的概率最小
D．不公平，7班被选到的概率最大
答案　CD
解析　设i班被选到的概率为P(i)，i＝2,3,4，…，12，
则P(2)＝P(12)＝，P(3)＝P(11)＝，P(4)＝P(10)＝，P(5)＝P(9)＝，P(6)＝P(8)＝，P(7)＝，故选CD.
11．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是(　　)
A．颜色相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 D．无红球
答案　ACD
解析　有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全相同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不相同的结果有6种，其概率为＝；无红球的结果有8种，其概率为.故选ACD.
12．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作掷骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配不合理的是(　　)
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
答案　BCD
解析　由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，所以继续游戏甲获胜的概率是＋×＝，乙获胜的概率是×＝.所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张)，故选BCD.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录落在桌面的数字，得到如下频数表：
落在桌面的数字 1 2 3 4 5
频数 32 18 15 13 22
则落在桌面的数字不小于4的频率为____.
答案　0.35
解析　落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以所求频率＝＝0.35.
14．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为____.
答案　
解析　画树状图如下：
共20种等可能的结果，其中摸出的两个球的编号之和大于6的结果有8种，故所求概率为＝.
15．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是____.
答案　0.46
解析　设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件(A1A2A3)∪(A12A3)∪(1A2A3)发生，故所求概率为P＝P[(A1A2A3)∪(A12A3)∪(1A2A3)]
＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
16．将号码分别为1,2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a－2b＋10>0成立的事件发生的概率等于____.
答案　
解析　甲、乙两人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(9,7)，(9,8)，(9,9)，共81个．由不等式a－2b＋10>0得2b四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
顾客人数商品 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解　(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理，可得
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
18．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：人)：
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解　(1)设“该同学至少参加上述一个社团”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.
(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的．其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.
19．(本小题满分12分)某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])：
(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；
(2)求这次考试平均分的估计值；
(3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．
解　(1)第四小组的频率＝1－(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋0.005)×10＝0.25.
(2)依题意可得，
平均分＝(45×0.005＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.025＋85×0.030＋95×0.005)×10＝72.5.
故这次考试平均分的估计值为72.5.
(3)[40,50)与[90,100]的人数分别是3和3，所以从成绩在[40,50)与[90,100]内的学生中选两人，将[40,50)分数段的3人编号为A1，A2，A3，将[90,100]分数段的3人编号为B1，B2，B3从中任取两人，则样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．其中，在同一分数段内的事件所含样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共6个，故所求概率P＝＝.
20．(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字不同外其他完全相同．现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解　(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种，且这27种结果发生的可能性是相等的．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)＝＝.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P()＝1－＝.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
21．(本小题满分12分)已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试互不影响．求：
(1)3人都通过体能测试的概率；
(2)只有2人通过体能测试的概率；
(3)只有1人通过体能测试的概率．
解　设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)设M1表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1＝ABC，则由A，B，C相互独立，可得
P(M1)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)设M2表示“只有2人通过体能测试”，则M2＝AB＋AC＋BC，由于事件A与B，A与C，B与C均相互独立，且事件AB，AC，BC两两互斥，则
P(M2)＝P(AB∪AC∪BC)
＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××
＝＋＋＝.
(3)设M3表示事件“只有1人通过体能测试”．
则M3＝A＋B＋C，由于事件A、、，、B、，、、C均相互独立，并且事件A，B，C两两互斥，所以所求的概率为
P(M3)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋
P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
22．(本小题满分12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用比例分配的分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用按比例分配的分层随机抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分为：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解　(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意，得＝，所以n＝2000.
则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意，得＝，即a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，
用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则试验的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共10个等可能的样本点．
事件E包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则样本空间中共有8个等可能的样本点，事件D包含的样本点为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.