(共45张PPT)
第一章
集合与函数概念
1．2 函数及其表示
1．2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
2．了解映射的概念．
3．分段函数求值是本课时的一个重点考查内容，通过分段函数的学习体会分类讨论的思想.
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1．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．
2．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．
答案：C
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(1)若f(a)＝3，求实数a的值；
(2)若f(m)>m，求实数m的取值范围．
[解] (1)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＝3，∴a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2
∴(a－1)(a＋3)＝0，∴a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，
∴a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，∴a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
解：对分段函数可先处理为若干段常见函数，在转折点的取舍上需格外注意．
可将此函数分成三段，分别画出它们的图象．如图1所示．
[分析] 判断两个集合之间的对应是否为映射，关键判断对于集合A中的任何一个元素，在集合B中是否有唯一的元素和它对应．
[解析] 在A项中，对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以是映射．B项也符合定义．在C项中，集合A中的负数在B中没有元素和它对应，故也不是映射；在D项中，集合A中的元素0，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射；故填AB.
[答案] AB
[点评] 判断一个对应是否是映射要抓住定义中的关键词语“任何”、“都有”、“唯一”．在两个集合间能否建立一个映射，集合中元素的个数并不重要．对于选项B，这里A中各个元素的象的集合是B的子集，即不要求B中每个元素都有原象．
变式体验2 对于下列集合A和B，能否建立从集合A到集合B的映射？如果能，如何建立？
(1)我国内地长途电话自动网的城市组成集合A，长途电话区号组成集合B；
(2)三角形的周长组成集合A，所有三角形组成集合B.
[分析] 从映射的定义去分析：A中元素的任意性，B中元素的唯一性．
[解] (1)能建立从A到B的映射，对应关系f：每一个城市对应一个区号．
(2)不能建立从A到B的映射，因为对于A中的一个周长，在B中对应着多个三角形．
类型三 分段函数的应用
[例3] 某市对市内电话收费方法作了调整．调整前的收费方法：以3分钟为计时单位(不足3分钟按3分钟计)，每个计时单位收0.2元；调整后的收费方法：3分钟内(含3分钟)收0.2元，以后每加1分钟加收0.1元．
(1)根据调整后的收费办法，求电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式(t>3时，设t(分钟)表示正整数)；
(2)试画出0(2)由(1)知，当0[点评] 电话费是大家生活中所熟悉的事情，不同的通话时间对应着不同的电话费，其数学模型就是分段函数，本题主要考查分段函数的解析式与图象．
变式体验3 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算；每月用电超过100度时，其中的100度仍按原标准计算，超过部分每度按0.50元计算．
(1)设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；
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1．分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．
理解分段函数应注意以下几点：
(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样；
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．
(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．
(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为分段函数的图象的关键所在．
2．对于含绝对值的函数问题，要先去掉绝对值号化为分段函数，再利用分段函数来解决．
3．映射
首先，要准确理解映射的概念：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即：
①映射的三要素：原象、象、对应关系；
②A中元素不可剩，B中元素可剩；
③多对一行，一对多不行；
④映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射．
其次，要准确把握映射与函数的关系：
(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．
(2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．
课时作业（8）(共49张PPT)
第一章
集合与函数概念
1.1 集合
1．1.2 集合间的基本关系
1.对空集的概念了解即可，但解题时切不可忽视空集．
2．子集、真子集的概念及集合间包含与相等的含义是本节的重点，一定要重点掌握！
3．集合间的基本关系问题是考试的重点又是难点，在学习时要用心！
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1．子集、真子集、集合相等
(1)子集的概念．
对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
解析：①错，{(1,2)}中只有一个元素(1,2)；②错，∈不能表示集合关系；③对，任何一个集合都是本身的子集；④对，空集是任何非空集合的真子集．
答案：C
解析：M＝{－2，－1,0,1}，
易知A、B中集合不是M的子集．
C中集合为{－3，－2}，不是M的子集．
D中集合为{0,1}，是M的子集．
答案：D
答案：a≥2
答案：7
5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
答案：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
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[点评] 这类题型在各种考试中是常见的题型．方法一对表达式进行化简，从元素的特性切入；方法二利用列举法，直观明了，这些都是常用、有效的解题方法，应注意掌握．
变式体验1 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)A＝{－1,1}，B＝{ ，{－1}，{1}，{－1,1}}；
(4)A＝{x|－1解：(1)由x2＝1得x＝±1，
∴B＝{－1,1}，故A＝B.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系
(3)这里集合B的元素也是集合，又观察发现集合A是集合B的一个元素，故A∈B.
类型二 子集、真子集的概念及应用
[例2] 已知集合M满足{2,3} M {1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．
[分析] 由题目可获取以下主要信息，由子集定义知
①M中至少含有元素2,3，且必须含有元素2,3；
②M中至多含有元素1,2,3,4,5.
解答本题可按M中所含元素的个数合理分类写出集合M.
[解] ①当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
②当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
③当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
④当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}．集合M的个数为8.
变式体验2 设集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x A}，求集合B.
解：∵A＝{1,2,3}，
∴A的子集为 ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
又∵B＝{x|x A}，
∴B＝{ ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}}．
变式体验3 已知A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|1≤x≤a}
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B A，求a的取值范围．
解：A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}．
类型三 集合相等及应用
[例4] 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．
[点评] 1.两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
3．证明两集合相等的思路是证A B且B A.
变式体验4 已知集合A＝{x|x＝3n－2，n∈Z}，B＝{y|y＝3k＋1，k∈Z}，证明：A＝B.
解：(1)设任意x0∈A，则x0＝3n0－2，且n0∈Z,3n0－2＝3(n0－1)＋1，因为n0∈Z，所以n0－1∈Z，所以x0∈B，故A B.
(2)设任意y0∈B，则有y0＝3k0＋1，
且k0∈Z,3k0＋1＝3(k0＋1)－2，
因为k0∈Z，
所以k0＋1∈Z，所以y0∈A，故B A.
综上可得A＝B.
思 悟 升 华
1．判断集合间的关系的关键是弄清集合由哪些元素组成，也就是把较为抽象的集合具体化、形象化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合．
课时作业（3）(共49张PPT)
第一章
集合与函数概念
1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
1.在回顾初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的图象后，理解函数的单调性的概念．
2．通过取值、描点分析函数值的变化规律，体会函数值的变化趋势，获得形成函数单调性这一概念的经验，探索函数单调性的实质.
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1．增函数
(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x12．减函数
(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间．
3．单调性与单调区间
定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
自 我 检 测
1．若函数y＝kx＋b(k≠0)是R上的减函数，那么( )
A．k>0 B．k<0
C．k≠0 D．无法确定
答案：B
2．函数y＝x2在区间[－1,2]上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．是增函数又是减函数 D．不具有单调性
答案：D
3．函数y＝f(x)的图象如图4所示，其增区间是( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
答案：C
4．函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则f(－3)与f(2)的大小关系是________．
答案：f(－3)>f(2)
5．求证f(x)＝x2－2x在区间(1，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是区间(1，＋∞)上的任意两个值，且x1f(x1)＝x12－2x1，f(x2)＝x22－2x2，
f(x2)－f(x1)＝x22－2x2－x12＋2x1
＝x22－x12－2x2＋2x1
＝(x2－x1)(x2＋x1)－2(x2－x1)
＝(x2－x1)(x2＋x1－2)．
∵x2>x1，∴x2－x1>0.
又∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴x2>x1>1.
∴x1＋x2>2.∴x1＋x2－2>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
故f(x)＝x2－2x在(1，＋∞)上是增函数．
互 动 课 堂
由此可知：y＝f(x)的单调增区间是(－ ∞，－1]，[0,1]．
y＝f(x)的单调减区间是(－1,0)，(1，＋∞)．
[点评] 利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．当单调递增(或递减)区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，应用“和”或“，”连接．
解：(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出f(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方，就得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图7所示．由图象易得：
递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)．
递减区间是(－∞，－3]和[－1,1]．
类型三 根据单调性求参数取值范围
[例3] 函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则( )
A．a∈(－∞，1]
B．a∈[2，＋∞)
C．a∈[1,2]
D．a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)
[解析] 本题是关于一个二次函数的单调区间问题．二次函数的单调区间取决于其对称轴，为此需先确定函数的对称轴．
不难得到函数的对称轴为x＝a，函数图象开口向上，如图8.
要使函数在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时函数在区间[1,2]上单调递增，当a≥2时函数在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.
[答案] D
变式体验3 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
分析：由题意可知是(－∞，4]应该是该函数的递减区间的子区间，从而可通过比较对称轴与4的大小来求得．
解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a，
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
类型四 函数单调性的应用
[例4] 已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且
f(x－2)[点评] 对于x1思 悟 升 华
1．函数f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，是函数的局部性质，所以求函数的单调区间须先求函数的定义域．
2．函数定义中的x1，x2应深刻理解，一是任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”两个字决不能丢掉，不能为某两个特殊值；二是x1，x2有大小，通常规定Δx＝x2－x1>0；三是同属于一个单调区间．
3．判断函数的单调性主要是利用定义，其中作差后变形是关键，常采用的方法有因式分解、通分、配方、有理化等．
4．根据函数单调性的定义，若f(x)为增函数，则x1f(x2)，它常用来比较大小或解抽象函数的不等式．
课时作业（9）(共40张PPT)
第一章
集合与函数概念
1．3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．奇、偶函数的定义域和图象特征，要在理解的基础上学习．
3．掌握判断函数奇偶性的方法.
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1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于y轴对称．
(2)奇函数的图象关于原点中心对称．
2．对于某个函数f(x)，存在x0使得f(－x0)＝f(x0)，这个函数是偶函数吗？
提示：不是．函数的奇偶性是函数整个定义域上的性质，必须是对任意的x都成立才能说明该函数具有奇偶性．
自 我 检 测
1．函数f(x)＝|x|是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：函数定义域为R，
且f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
答案：B
2．函数f(x)＝x＋x3的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x－x3＝－(x＋x3)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
答案：A
答案：D
4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.
解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数，
∴区间[3－a,5]关于原点对称，
∴3－a＝－5，a＝8.
答案：8
解：(1)f(x)的定义域为{2}，因此函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f(x)＝(x＋1)3－3(1＋x2)＋2＝x3＋3x.∵f(－x)＝－x3－3x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
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典 例 导 悟
类型一 函数奇偶性的判断
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)的解析式均已知；
②判断奇偶性问题．
解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证f(x)与f(－x)之间的关系来确定奇偶性．
[解] (1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．
不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)①当x<0时，－x>0.
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－f(x)；
②当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知f(x)为奇函数．
[点评] 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)
(4)当x<0时，
－x>0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，
另一方面，
当x>0时，
－x<0，f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，
而f(0)＝0，
∴f(x)是奇函数．
类型二 奇函数、偶函数图象的对称性
[例2] 奇函数y＝f(x)的局部图象如图1所示，试比较f(2)与f(4)的大小．
[解] 因为奇函数的图象关于原点对称，
所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，而由函数图象可知f(－2)－f(－4)，所以f(2)>f(4)．
[点评] 给出奇函数(或偶函数)的图象的一部分，根据奇函数(或偶函数)图象的对称性可以作出图象的另外一部分．如本题，因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，可以作出y轴右侧的图象，从而比较f(2)与f(4)的大小．
变式体验2 如图2，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
图2 图3
解：奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上的任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))．如图3为补充后的图象，易知f(3)＝－2.
类型三 根据奇偶性求函数解析式
[例3] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x2＋3x－1，求f(x)的解析式．
[分析] 由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)计算当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数．
[点评] 解题时不能漏掉x＝0这一特殊点．
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判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
1．定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
2．图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)
课时作业（11）(共48张PPT)
第一章
集合与函数概念
1．2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
1.函数是描述变量之间的依赖关系的重要模型，了解即可．
2．求简单函数的定义域以及用区间表示函数定义域、值域是本节的重点，一定要重点掌握．
3．函数的概念及构成函数的三要素是考试的重点又是难点，在学习时要用心.
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1．函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意的一个数，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}＝{y|y＝f(x)，x∈A}叫做函数的值域．
2．一个函数的构成要素为定义域、值域、对应法则，由于值域可由定义域和对应关系确定，所以，如果定义域和对应法则相同，我们称这两个函数相同．
3．函数的定义域：
(1)如果f(x)为整式，其定义域为R；
(2)如果f(x)为分式，其定义域为使分母不为零的自变量x的所有取值组成的集合；
(3)如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其定义域为使被开方数非负的自变量x的所有取值组成的集合；
(4)如果f(x)是由以上几个部分的代数式构成的，其定义域为几部分的交集；
(5)f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．
4．a、b∈R且a5．区间实质是表示数轴上一段实数的集合．
6．区间在数轴上表示时，用实心圆点表示包括区间的端点，用空心圆圈表示不包括区间的端点．
互 动 课 堂
[点评] 一般地，两个非空集合间的对应关系有三种，一对一、多对一、一对多．由函数的定义可知构成函数的对应包括：一对一和多对一两种方式，由一对多构成的对应不能构成函数．
解析：B项给x一个值，y可能没有元素与之对应或有两个元素与之对应；C项给x一个值，y可能没有或有两个元素与之对应；D项当x＝0时，y有两个值与之对应．故选A.
答案：A
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①已知函数的解析式；
②由解析式可确定函数定义域．
解答本题结合相等函数的定义判断函数三要素是否一致即可．
[解] (1)f(x)的定义域是{x|x≠1}，g(x)的定义域是R，它们的定义域不同，故不相等．
(2)定义域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相等．
(3)定义域相同，都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相等．
(4)定义域相同，都是R，解析式化简后都是y＝|x|，也就是对应关系相同，定义域和对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故两函数相等．
[点评] 讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等．
[点评] (1)求函数值时，要正确理解对应法则“f ”和“g”的含义；
(2)求f[g(x)]时，一般遵循先里后外的原则，先求g(x)，然后将f(x)解析式中的x代换为g(x)，同时要注意函数的定义域．
变式体验3 已知f(x)＝2x＋3，求f(1)，f(a)，f(m＋n)，f[f(x)]的值．
解：f(1)＝2×1＋3＝5；f(a)＝2a＋3；
f(m＋n)＝2(m＋n)＋3＝2m＋2n＋3；
f[f(x)]＝2f(x)＋3＝2(2x＋3)＋3＝4x＋9.
变式体验4 已知y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]．
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(2x－1)的定义域．
解：(1)由于y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，
∴1≤x≤2，∴3≤2x＋1≤5，
∴函数f(x)的定义域为[3,5]．
(2)由(1)可知，3≤2x－1≤5，∴2≤x≤3，
∴函数f(2x－1)的定义域为[2,3]．
类型五 函数的值域
[例5] 已知函数y＝x2－4x－5，求：
(1)x∈R时的函数值域；
(2)x∈{－1,0,1,2,3,4}时的值域；
(3)x∈[－2,1]时的值域．
[分析] 函数值域是由定义域与对应关系所确定的，在求函数有关问题时，始终要把握好“定义域优先”的原则．
[解] (1)x∈R，y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，值域为[－9，＋∞)．
(2)当x＝－1时，y＝(－1)2－4×(－1)－5＝0；
当x＝0时，y＝－5；
当x＝1时，y＝12－4×1－5
＝－8；
当x＝2时，y＝22－4×2－5
＝－9；
当x＝3时，y＝32－4×3－5
＝－8；
当x＝4时，y＝42－4×4－5
＝－5.
∴当x∈{－1,0,1,2,3,4}时函数y＝x2－4x－5的值域为{0，－5，－8，－9}．
(3)∵y＝x2－4x－5(x∈[－2,1])的图象如图1所示，由图象可知函数y＝x2－4x－5在x∈[－2,1]上的最小值为f(1)＝12－4×1－5＝－8，最大值为f(－2)＝(－2)2－4×(－2)－5＝7.
∴其值域为[－8,7]．
[点评] 1.求函数的值域应遵循“定义域优先”的原则．
2．求二次函数的值域要结合二次函数的图象求其值域．
思 悟 升 华
1．判断一个对应关系是否为函数要依据函数的定义，把握3个要点：(1)两集合是否为非空数集；(2)对集合A中的每一个元素，在B中是否都有元素与之对应；(3)A中任一元素在B中的对应元素是否唯一．简单地说，函数是两非空数集上的单值对应．
2．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．
3．确定抽象函数的定义域，一类是由f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域，只要求解不等式a≤g(x)≤b即可；一类是由f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域，只要求出g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
课时作业（6）(共40张PPT)
第一章
集合与函数概念
1.1 集合
1．1.1 集合的含义与表示
第2课时 集合的表示
1.理解列举法和特征性质描述法的实质，能运用它们表示集合．
2．体验用集合语言表示文字语言的过程，尝试用集合语言表示集合的方法．
3．集合语言是基本的数学语言，是数学所需要的语言之一，通过本节的学习，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，进一步体会形式化表达式在数学学习中的重要性.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号{__}括起来表示集合的方法，叫做列举法．
2．用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法称为描述法，具体做法是：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
3．对给定的集合用图形(常见的有圆和矩形)表示，图形上或图形内的点表示该集合的元素，图形外的点表示集合外的元素，这种表示集合的方法叫图示法，或称Venn图示．
(2)所有三角形的集合，能否表示为{所有三角形}
提示：在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可以省去竖线及其代表元素．但所有三角形的集合不能表示为{所有三角形}，因为“{}”本身就有“所有”、“全部”的意思．
(3)列举法和描述法分别适合于表示什么特点的集合？
提示：一般来讲，有限集(当集合中元素的个数有限时，称为有限集；否则，当集合中元素的个数无限时，称为无限集)宜采用列举法，它具有直观明了的特点；无限集或不宜一一列举的集合，宜采用描述法，若无限集有规律，也可以用列举法．
自 我 检 测
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
解析：集合{x|x2－2x＋1＝0}为方程x2－2x＋1＝0的解集，而x2－2x＋1＝0的解为x1＝x2＝1，由于集合元素的互异性，故只可写成{1}，故选B.
答案：B
答案：D
3．设集合A＝{2，a}，B＝{2，a2－2}，若A＝B，则a＝________.
解析：∵a＝a2－2，∴a＝－1或a＝2.
∵a＝2时与元素的互异性矛盾，
故a＝－1.
答案：－1
4．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，试用描述法表示该集合为________．(答案不唯一，写出一个便可)
解析：A中含有0,1,2,3,4五个自然数，故可以用描述法表示为{x∈N|x<5}，也可以表示为{x∈Z|－1答案：{x∈N|x<5}
5．将大于0不大于15且能被3整除的整数组成的集合分别用列举法和描述法表示出来．
解：列举法：{3,6,9,12,15}；
描述法：{x|0互 动 课 堂
[点评] 当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：
①元素之间必须用“，”隔开；
②集合的元素必须是明确的；
③不必考虑元素出现的先后顺序；
④集合中的元素不能重复；
⑤集合中的元素可以是任何事物．
类型二 用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合：
(1)被5除余1的正整数集合；
(2)大于4的全体奇数构成的集合；
(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；
(4)三角形的全体构成的集合．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：用描述法表示集合．解答此类问题要清楚集合中代表元素是什么，元素满足什么条件．
[解] (1){x|x＝5k＋1，k∈N}；
(2){x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；
(3){(x，y)|xy＝0}；
(4){x|x是三角形}或{三角形}．
[点评] (1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(1)(2)小题．
变式体验2 用描述法表示下列集合：
(1)坐标平面内抛物线y＝x2－1上的点的集合；
(2)所有偶数的集合；
(3)3和4的所有正的公倍数的集合．
解：(1){(x，y)|y＝x2－1}；
(2){x|x＝2n，n∈Z}；
(3){x|x＝12k，k∈N*}．
类型三 列举法与描述法的灵活运用
[例3] 用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)不等式x－3>2的解的集合；
(4)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知4个集合；②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，不等式的解有无数个，宜于描述法；对于(4)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．
[点评] 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
解：(1)列举法：{3,5,7}；
(2)描述法：{周长为10 cm的三角形}；
(3)列举法：
{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}；
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}。
思 悟 升 华
1．集合的表示方法常见的有列举法和特殊性质描述法，当集合中的元素个数有限但公共属性难以概括时，只能用列举法；当集合中的元素无法一一列举时，可先抽象出元素的特征性质，用描述法表示；描述法和列举法可以互化，同时也可以转化为自然语言表示．
2．用列举法表示集合时，注意以下三点：①元素之间用“，”隔开；②元素不重复、无顺序；③对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．
3．用描述法表示集合时，注意以下几点：①写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；②说明该集合中元素的特征；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；⑤所有描述的内容都要写在集合括号内；⑥用于描述法的语句力求简明、确切．
4．对于用特征性质描述法表示的集合，一定要搞清这个集合的代表元是数，还是有序实数对(点)，还是集合，还是其他形式．这一点对于我们解题至关重要．
课时作业（2）(共39张PPT)
第一章
集合与函数概念
1.1 集合
1．1.3 集合的基本运算
第2课时
补集及集合的综合应用
1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义与性质是本节的重点，一定要重点掌握．
2．并集、交集、补集的运算以及利用Venn图表达集合的关系与运算是考试的重点又是难点，在学习时要用心哦.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．全集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作U.
3.补集的性质
(1) U ＝U；
(2) UU＝ ；
(3) U( UA)＝A；
(4)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U；
(5)( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
自 我 检 测
1．设全集U＝{1,2,4,8}，B＝{2,4}，则 UB＝( )
A．{1} B．{8}
C．{1,8} D．
答案：C
2．已知全集U＝{0,1,2}，且 UA＝{2}，则集合A的真子集共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：∵U＝{0,1,2}，且 UA＝{2}，
∴A＝{0,1}．∴A的真子集是{0}，{1}， 共3个，故选A.
答案：A
3．设集合S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则 SA＝__________.
解析：三角形中去掉直角三角形，∴ SA＝{斜三角形}．
答案：{斜三角形}
4．设全集U＝R，集合X＝{x|x≥0}，Y＝{y|y≥1}，则
UY与 UX包含关系 UX__________ UY.
解析：∵X＝{x|x≥0}，Y＝{y|y≥1}，
∴ UX＝{x|x<0}， UY＝{y<1}，∴ UX? UY.
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 补集的运算
[例1] 设U＝{x|2<|x|≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求 UA， UB.
[解] 法1：∵2<|x|≤5，且x∈Z，
则x的值为－5，－4，－3,3,4,5；
方程x2－2x－15＝0的解为5，－3，
∵A＝{5，－3}，B＝{－3,3,4}，
U＝{－5，－4，－3,3,4,5}，
∴ UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
变式体验1 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}， UA＝{2,4,6,8}， UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B.
类型二 交、并、补的综合运算
[例2] 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2[分析] 由题目可获取以下主要信息：①全集U，集合A、B均为无限集；②所求问题为集合间交、并、补运算．解答此题可借助数轴求解．
[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如图3：
由图可知 UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2 U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
( UA)∩B＝{x|－3[点评] 求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．
变式体验2 已知集合A＝{x|xA．a≤2 B．a<1
C．a≥2 D．a>2
答案：C
类型三 Venn图的应用
有些集合问题比较抽象，解题时若借助Venn图进行分析或利用数轴、图象采取数形结合的思想方法，往往可将问题直观化、形象化，使问题简捷地获解．
[例3] 已知集合U＝{x|x是不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且满足A∩( UB)＝{5,13,23}，B∩( UA)＝{11,19,29}，( UA)∩( UB)＝{3,7}，求集合A，B.
[分析] 结合Venn图可把全集U划分为如下四部分，全集U中的任一元素必在且只在图5四部分之一中，由题意可知11、13不在前三部分内，必然在A∩B内．
变式体验3 如图7(1)所示，设U为全集，M，P，N是U的三个子集，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．(M∩P)∩N B．(M∩P)∪N
C．(M∩P)∩( UN) D．(M∩P)∪( UN)
解析：首先我们画出M∩P帮助我们思考，如图7(2)，再结合图7(1)，我们发现图中阴影部分为M∩P去掉被集合N覆盖的部分，换句话说即是与 UN做交运算．从而图7(1)中阴影部分表示的集合为(M∩P)∩( UN)，故选C.
答案：C
点评：对于给定集合求阴影部分所表示的集合问题，可先确定两个主要的集合运算，对于去掉的部分可用与补集相交的方法来解决．
思 悟 升 华
1．全集是相对于研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异．例如在研究数集时全集概念：在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．在立体几何中，三维空间是全集，这时平面是全集的一个子集．而在平面几何中，整个平面可以看做是一个全集．
2．补集符号： UA表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合(如R)时，则记号中“U”也必须换成相应的集合(即 RA)．
3．集合运算问题多与方程、函数、不等式等有关，在求解时，要注意等价转化思想的运用．常将集合化简或转化为熟知的代数、几何问题等．
4．处理集合的有关问题时，首先要将集合进行简化，在交、并、补的运算中，最容易被忽视、最常出错的地方是空集．
课时作业（5）(共43张PPT)
第一章
集合与函数概念
1．3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性
第2课时 函数奇偶性的应用
1.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．
2．掌握函数奇偶性与其他性质的综合运用．
3．进一步感悟数形结合思想的运用.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．奇(偶)函数图象的对称性
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，即自变量取－a时，函数值为－f(a)，故图象必过点(－a，－f(a))．
答案：C
2．若函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有两个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：∵偶函数图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的两个交点关于y轴对称，若一根为x1，则另一根必为－x1，故f(x)＝0的所有实根之和为0.
答案：C
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
A．－2 B．2
C．－98 D．98
解析：∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1)．
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，
∴f(7)＝－2，故选A.
答案：A
4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图1，则函数f(x)的增区间为________．
图1
答案：[－1,0]，[1，＋∞)
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 利用函数奇偶性和单调性解不等式
[例1] 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)[分析] 利用奇函数性质知f(x)在[－2,2]上是减函数，再结合单调性，脱去符号“f”，转化为关于m的不等式(组)．
[点评] 解决此类问题时，一定要充分利用已知的条件，奇函数在关于原点的对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反．另外，函数自身定义域对参数的影响很容易漏掉，从而导致错解，求解时应特别注意．
变式体验1 如果奇函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数，且最大值是－4，那么f(x)在x∈[3,5]上是( )
A．增函数且最大值是4
B．增函数且最小值是4
C．减函数且最大值是4
D．减函数且最小值是4
解析：作一个符合条件的函数的简图．
观察图形，可知f(x)在[3,5]上是增函数，且最小值为4.
答案：B
类型二 抽象函数的奇偶性问题
[例2] 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都满足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)，
(1)求f(0)、f(1)的值．
(2)证明f(x)为奇函数．
[解] (1)令a＝b＝0，
∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0.
令a＝b＝1，
∴f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)证明：∵a，b∈R，∴可赋a、b为某些特殊值．
令a＝b＝－1，则f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0，
∴f(x)为奇函数．
变式体验2 已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
分析：判定函数的奇偶性应凑f(－x)的形式，令y＝－x即可．
解：(1)证明：由题意知，f(x)的定义域是R，它关于原点对称．
在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)；
令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
把f(0)＝0代入f(0)＝f(x)＋f(－x)，得
f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)解：由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x)是奇函数，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.
∵x12＋1>0，x22＋1>0，x2－x1>0，
而x1，x2∈[0,1)时，x1x2－1<0，
x1，x2∈[1，＋∞)时，x1x2－1>0，
∴当x1，x2∈[0,1)时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)是增函数；
当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x)是减函数．
又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1,0]上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数．
[点评] 当f(x)是奇函数且在x＝0有意义时f(0)＝0，本题可利用f(0)＝0求得a＝0.但f(0)＝0时f(x)不一定是奇函数，需对a＝0时结合其他条件检验f(x)是奇函数．
解：F(x)在(－∞，0)上是减函数．
证明如下：
任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0.
∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，
∴f(－x2)又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)②
思 悟 升 华
1．奇偶性是函数在定义域上的对称性质，单调性反映函数在某一区间函数值的变化趋势．
函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解答数学问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意奇偶性与单调性的相互关系．
即：若y＝f(x)为奇函数，则y＝f(x)在关于原点对称的区间上的单调性相同．
若y＝f(x)为偶函数，则y＝f(x)在关于原点对称的区间上的单调性相反．
课时作业（12）