挑战满分大题专练（十一）—圆锥曲线（3）-2021届高三高考数学三轮复习 Word版含解析

挑战满分大题专练（十一）—圆锥曲线（3）
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点的坐标为，延长线段交椭圆于点，轴．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线交椭圆于，两点，若，求椭圆的标准方程．
解：（1）因为轴，令，可得，解得，
所以，
由为△的中位线，可得，
即有，即，
所以椭圆的离心率；
（2）由（1）可得椭圆的方程为，
抛物线的焦点为，，准线方程为，
则，解得，
可设，则直线的方程为，
与椭圆方程联立，可得，
设，，，，则，，
因为，
所以
，
解得，则，
所以椭圆的方程为．
2．已知双曲线的焦距为，且双曲线右支上一动点，到两条渐近线，的距离之积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线是曲线在点，处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值．
解：（1）双曲线的渐近线方程为和，
由动点，到两条渐近线，的距离之积为，
则，
又，即，
解得，，
则双曲线的方程为
（2）证明：设直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
直线与双曲线的右支相切，可得△，可得，
设直线与轴交于，则，，
，
又双曲线的渐近线方程为，
联立，可得，，
同理可得，，
则．
即有面积为定值2．
3．已知椭圆的两个焦点为，，过右焦点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，且的面积为．
（1）求的值；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，．若直线在轴、轴上的截距分别是，，问是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
解：（1）设椭圆的焦距为，则，，
过右焦点作斜率为1的直线为：，显然，
故椭圆方程为，
联立方程，整理可得：，设，，，，
则，因为三角形的面积，
且，则，解得，
所以，又，所以；
（2）设点，，由是椭圆上的一点，，
可知点在圆外，
过作圆的切线有两条，设切点，，，，是过作圆的切线产生的切点弦，
由，是切点知，，
所以直线，因为，在上，
所以，即直线，
又因为，在上，则，
所以直线，同理直线，
所以直线上有两点满足方程，
因为两点定唯一一条直线，所以直线的方程为：，
由直线在轴，轴的截距分别为，，于是，
，又因为，
故为定值．
4．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线交双曲线于，两点．
（1）若，四边形的面积12，求双曲线的方程；
（2）若，且四边形是矩形，求双曲线的离心率的取值范围．
解：（1）由题意可得，，则，
设，可得到直线的距离为，
又四边形的面积12，可得，
即有，所以，
又，解得，，
所以双曲线的方程为；
（2）设，，在第一象限，设，
由双曲线的定义可得，，
可得，
则△的面积为，
所以，，，
由，可得，
可得，
又，即，
由，可得，
解得，
即的取值范围是，．
5．如图，已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于点，直线与抛物线的另一个交点为．
（Ⅰ）证明：直线轴；
（Ⅱ）设准线与轴的交点为，连接，且．证明：．
解：（Ⅰ）证明：由抛物线的性质可得焦点，准线方程为，
设，，，，
所以直线的方程为：，由题意可得，
设直线的方程为：，
联立，整理可得，
所以，可得，所以，
所以轴；
（Ⅱ）证明：因为准线方程为，由题意可得，
，，，，
因为，所以，
即，解得，，
由（Ⅰ）可得，所以，
，，
所以可证：．
6．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交拋物线于点（异于原点，抛物线上点处的切线交轴于点，设线段的中点为，连结线段交于点．
（1）求的值；
（2）过点作圆的切线交于另一点，设直线的斜率为，证明：为定值．
解：（1）设，，则在点处的切线方程为，，
联立方程组，消去整理可得：，
由，解得，则切线方程为，
则，，
联立方程组，解得，即即为的中点，
所以；
（2）证明：当直线的斜率不存在时，其直线为，
解得，，，，则，
当直线的斜率存在时，设方程为，由题意知，，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立方程组，得到，
设，，，，，则，
又，则
，
综上可知为定值2．