挑战满分大题专练（十）—圆锥曲线（2）-2021届高三数学三轮复习 Word版含解析

挑战满分大题专练（十）—圆锥曲线（2）
1．已知椭圆的离心率为，且左顶点到右焦点的距离为5．
（1）求椭圆方程；
（2）椭圆上有两点，，为坐标原点，且，证明存在定点，使得到直线的距离为定值，并求出定值．
解：（1）由已知可得，且，解得，，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）设，，，，
则由，可得，即，
①当直线轴时，，，
所以，又，解得，即，
所以此时原点到直线的距离为；
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
联立方程，消去整理可得，
△，
则，
所以，
所以
，化简可得，
设点，，则点到直线的距离为，
当时， 为定值，
综上，存在定点，使得到直线的距离为定值，定值为．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上存在点，使．
（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）若椭圆的，，，设点，在椭圆上，点在的平分线上，求的取值范围．
解：（1）因为椭圆上总存在点满足，
所以以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆总有交点，
所以，
所以，
所以，即，
又，
所以，
所以离心率的取值范围为，．
（2）因为椭圆的，，，
所以，，
所以，
所以椭圆的方程为，
因为点，，且点在的角平分线上，
所以，
所以，
因为，
即，
设，，则，，，
所以，，
即，，
所以，，
因为点在线段上，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围为，．
3．已知点在椭圆上，且点到的两焦点的距离之和为．
（1）求的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交于点，，是线段的中点，求的值．
解：（1）点在椭圆上，且点到的两焦点的距离之和为．
，．
，．
综上，椭圆的方程为：．
（2）当切线的斜率存在时，设方程为：，设，，，，
直线与圆相切，所以，即，
联立，整理可得：，
，，
又因为又，
．
当直线的斜率不存在时，，的坐标分别可为，，，
有，
综上，．
，为中点，．
4．已知点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点，，当时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线，分别交轴于，两点，问：轴上是否存在点，使得，，为坐标原点）成等比数列？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，解得．（3分）
故所求椭圆的方程为．（4分）
（2）假设存在点使得，，成等比数列，则．（5分）
因为直线交椭圆于，两点，则，两点关于轴对称．（6分）
设，，则，，
因为，则直线的方程为：，令，得．（7分）
直线的方程为：，令，得．（8分）
因为，所以．（9分）
又因为点，在椭圆上，所以．（10分）
所以，即．（11分）
故存在点，使得，，成等比数列．（12分）
5．已知椭圆的方程为．
（1）设，是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；
（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为、，点在直线上的射影为点，求点的坐标；
（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且、都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程．
解：（1）证明：当时，，
直线线即直线，与椭圆只有一个公共点，
当时，由，
得，
△，
又，
所以有△，从而方程组只有一组解，
所以直线与椭圆有且只有一个公共点．
（2）设，，，，
则两条直线为，，
又，是它们的交点，
所以，，
从而有，，，的坐标满足直线方程，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
由，得，，即，，
由，
得，
由△，得，
解得．
（3）设，，
当直线与有一条斜率不存在时，，，，
当直线与有一条斜率存在时，设为和，
由，得，
所以△，
整理得，，
所以，是这个方程的两个根，
所以，
所以，
所以点的轨迹方程为．
6．如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率为定值；
（Ⅱ）求焦点到直线的距离（用表示）；
（Ⅲ）在中，记，，求的最大值．
解：（Ⅰ）证明：将点代入抛物线方程可得，
所以抛物线的方程为，
设直线的方程为，
联立抛物线方程得，
所以，即，
用代入可得，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，，，
所以直线的方程为：，
所以，到直线的距离，
（Ⅲ），
因为，
所以，
，
令，由得，
所以，
当且仅当时，，即时，等号成立．